Esercizio urti 3

Urti in Meccanica classica

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Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un corpo puntiforme si muove lungo un’asse orizzontale. All’istante t=0 [s] esso passa nell’origine con velocità v_0=3.317 \left[\dfrac{\text{m}}{\text{s}}\right] diretta verso le x positive. Per t>0 [s] il corpo è sottoposto a un’accelerazione a(x)=-5x\,\left[\dfrac{1}{\text{s}^2}\right]-3\,\left[\dfrac{\text{m}}{s}^2\right].
Calcolare:

a) dove si ferma.

Se durante il moto nella posizione x=0.4 [m], il corpo ne urta uno eguale e fermo e vi rimane attaccato, calcolare:

b) la velocità del sistema subito dopo l’urto.

 

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Svolgimento. Si osserva che, una volta superata l’origine O, e dunque il punto x_0=0 [m], il moto è soggetto ad un’accelerazione negativa non costante, ma dipendente dalla posizione stessa del corpo; non è possibile pertanto adoperare le leggi del moto uniformemente accelerato. Al fine di risolvere il punto a) del problema, in particolare, siamo interessati a determinare il punto in cui il corpo puntiforme in esame si ferma, ossia in cui la sua velocità sarà nulla. Iniziamo osservando che partendo dalla definizione di accelerazione, ossia a=\dfrac{dv}{dt}, è possibile scrivere l’accelerazione anche come

(1)   \begin{equation*} a=\frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot v, \end{equation*}

dove si è usato il fatto che la velocità è una funzione composta, in quanto v(x(t)) ha una dipendenza dallo spazio che a sua volta dipende dal tempo, e si è pertanto adoperata la regola di derivazione della funzione composta; nella seconda uguaglianza, si è semplicemente usata la definizione v=\dfrac{dx}{dt}. Siamo in presenza, in definitiva, di una equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili, che possiamo anche scrivere come

(2)   \begin{equation*} a\ dx=v\ dv. \end{equation*}

Inserendo la legge di a(x) presente nel testo ed integrando l’equazione precedente determineremo pertanto

(3)   \begin{equation*} \int^{x}_{x_0}(-5x'-3)dx'=\int^v_{v_0} v' dv', \end{equation*}

in cui abbiamo integrato tra il punto di partenza (l’origine O) e il punto di arresto in cui, come già discusso precedentemente, è possibile porre la velocità finale v=0 \left[\dfrac{\text{m}}{\text{s}}\right]. Calcolando gli integrali a primo e secondo membro avremo [1].

(4)   \begin{equation*} -5\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x_0^2}{2}\right)-3x+3x_0=-\frac{v_0^2}{2}, \end{equation*}

e sostituendo x_0=0 [m] troveremo facilmente un’equazione di secondo grado completa in x:

(5)   \begin{equation*} 5x^2+6x-(v_0)^2=0, \end{equation*}

le cui due soluzioni possono essere trovate calcolando il delta ed applicando la formula risolutiva

(6)   \begin{equation*} x_{1,2}=\frac{-6\pm\sqrt{36+4\cdot 5(v_0)^2}}{10} [\text{m}]. \end{equation*}

Otterremo  x_1=1.0 [m] e  x_2=-2.2 [m], determinate considerando rispettivamente il segno + e il segno - nell’equazione precedente; naturalmente, poiché è noto nel problema in esame che il corpo prosegue il suo moto verso le x positive, possiamo scartare la soluzione x_2. In definitiva, dunque, il corpo termina il suo moto nel punto

    \[\boxcolorato{fisica}{ x=1.0\ [\text{m}],}\]

 

che rappresenta la soluzione al punto a del problema}.

Supponiamo adesso che prima di arrestare il suo moto, ed in particolare nel punto x=0.4 [m], il corpo in esame urti un altro corpo uguale ad esso rimanendovi attaccato, dunque considerando un urto completamente anelastico [2]. In questo caso, non essendoci vincoli di alcun tipo, la quantità di moto del sistema si conserva. Possiamo pertanto considerare l’equazione

(7)   \begin{equation*} p_1 + p_2 = p_T, \end{equation*}

dove p_1=m_1v_1 e p_2=m_2v_2 rappresentano le quantità di moto dei due corpi, mentre p_T=(m_1+m_2)v_T indica la quantità di moto del sistema dopo l’urto; etichettiamo per convenienza con 1 le grandezze fisiche riferite al corpo in movimento e con 2 quelle associate al corpo fermo localizzato in x=0.4 [m]. Per quest’ultimo, in particolare, conosciamo dai dati del problema che m_2=m_1, in quanto i due corpi sono uguali, e che v_2=0 \left[\dfrac{\text{m}}{\text{s}}\right], in quanto il corpo è fermo. Possiamo dunque riscrivere l’equazione (7) come segue

(8)   \begin{equation*} m_1 v_1 = 2m_1v_T, \end{equation*}

e dunque

(9)   \begin{equation*} v_T = \frac{v_1}{2}, \end{equation*}

al raddoppiare della massa, dunque, segue un dimezzamento della velocità del sistema.
Per ricavare la velocità v_1 è ancora possibile adoperare l’equazione 3, che in questo contesto avrà come soluzione [1].

(10)   \begin{equation*} -5\left(\frac{x'^2}{2}\right)-3\cdot x'=\frac{v_1^2}{2}-\frac{v_0^2}{2}, \end{equation*}

in cui abbiamo etichettato x'=0.4 [m], per maggiore chiarezza, mentre l’estremo superiore dell’integrale a secondo membro dell’equazione (3) diventa v_1, variabile per la quale vogliamo risolvere l’ equazione (10). Otteniamo, isolando v_1^2

(11)   \begin{equation*} v_1^2 = (v_0)^2-5(x')^2-6\cdot x'. \end{equation*}

Effettuando i calcoli nell’equazione precedente, si ricava facilmente v_1^2=7.78 \left[\dfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}\right], e cioè v_1\simeq 2.79 \left[\dfrac{\text{m}}{\text{s}}\right]. Dato che v_T è la metà di v_1, si ottiene immediatamente

      \[\boxcolorato{fisica}{ v_T\simeq 1.4\ \left[\dfrac{\text{m}}{\text{s}}\right],}\]

che rappresenta la soluzione al punto b del problema.

 

 

1. E’ interessante osservare che i termini presenti in entrambi i membri dell’equazione avranno le dimensioni di una velocità al quadrato e dunque, come unità di misura, \left[\dfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}\right]. E’ possibile rendersi conto di questo fatto analizzando l’equazione (2), il cui primo membro ha le dimensioni di un’accelerazione per uno spazio, e dunque \left[\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\right]\cdot[\text{m}], mentre il secondo membro è di fatto un prodotto tra velocità, con unità di misura \left[\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\right] \cdot \left[\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\right]. ↩

2. Ricordiamo che un urto di tipo completamente anelastico è un urto anelastico, ossia un urto in cui si conserva solo la quantità di moto del sistema ma non l’energia cinetica, in cui, in particolare, i due corpi in gioco rimangono attaccati dopo l’urto. ↩

3. E’ importante osservare che, ancora una volta, tutti i termini presenti in questa equazione hanno le unità di misura del quadrato di una velocità; si rimanda alla spiegazione data come commento all’equazione (4). ↩

 

 

 

Fonte: Fonte: Esercizio 8.5 del libro elementi di fisica meccanica e termodinamica di P.Mazzoldi-M.Nigro e C.Voci.