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Esercizio urti 6

Urti in Meccanica classica

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L’Esercizio Urti 6 è il sesto della raccolta dedicata agli esercizi misti sugli urti. Questo esercizio segue l’Esercizio Urti 5. Successivamente, gli studenti potranno affrontare l’Esercizio Urti 7. Pensato per gli studenti di Fisica 1, è particolarmente utile per coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

L’argomento successivo agli urti riguarda gli esercizi sulla gravitazione, mentre l’argomento precedente tratta gli esercizi svolti sulla dinamica del corpo rigido.

 

Testo esercizio urti 6

Esercizio 6  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Una sbarra rettilinea si trova in quiete sopra un piano orizzontale liscio; la sua lunghezza è \ell e la massa m. Mediante un colpo di martello dato a un estremo viene comunicata alla sbarra un impulso \vec{J} orientato come nella figura che segue. Calcolare:

  1. la velocità del centro di massa della sbarra;
  2. la velocità angolare della sbarra;
  3. ‘energia cinetica della sbarra.

 

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Figura 1: schema del problema.

Richiami teorici.

Ricordiamo la prima e la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(1) \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt}\\ \\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -m \vec{v}_O \wedge \vec{V}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_O}{dt} \end{cases} \end{equation*}

dove \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutte le forze esterne, \vec{P}_t è la quantità di moto totale del sistema, \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutti i momenti esterni al sistema, \vec{v}_O è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema , \vec{v}_{CM} è la velocità del centro di massa ed infine \vec{L}_O è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo O.

 


Svolgimento punto 1.

Integriamo ambo i membri della prima equazione di (1) tra l’istante t^\star, ovvero un istante dopo aver applicato l’impulso \vec{J}, e l’istante t=0\,\,(s), ottenendo

(2) \begin{equation*} \int_{t=0\,\text{s}}^{t^\star}\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}}\,dt = \int_{t=0\,\text{s}}^{t^\star}\dfrac{d\vec{P}_t}{dt}\,dt \end{equation*}

dove

(3) \begin{equation*} \int_{t=0\,\text{s}}^{t^\star}\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}}\,dt=\vec{J} \end{equation*}

e

(4) \begin{equation*} \int_{t=0\,\text{s}}^{t^\star}\dfrac{d\vec{P}_t}{dt}\,dt =\vec{P}_t(t^\star)-\vec{P}_t(0), \end{equation*}

quindi

(5) \begin{equation*} \vec{P}_t(t^\star)-\vec{P}_t(0)=\vec{J}; \end{equation*}

abbiamo ottenuto che la variazione della quantità di moto totale del sistema (asta rigida) nell’intervallo di tempo \Delta t = t^\star-0\,[\text{s}] è uguale all’impulso. È noto che \vec{P}_t=m\vec{V}_{CM}, cioè che la quantità di moto totale del sistema è uguale alla massa totale del sistema per la velocità del centro si massa, pertanto (5) diventa

(6) \begin{equation*} m\left( \vec{V}_{CM}(t)-\vec{V}_{CM}(0)\right)=\vec{J}, \end{equation*}

ma all’istante t=0\,(\text{s}) è tutto in quiete, allora \vec{V}_{CM}(0)=0\,\,(\text{m}/\text{s}), e quindi (6) diventa

(7) \begin{equation*} m\vec{V}_{CM}(t)=\vec{J}\quad \Leftrightarrow \quad \vec{V}_{CM}(t^\star)=\dfrac{\vec{J}}{m}. \end{equation*}

La formula (7) ci dice che la velocità del centro di massa nell’istante t^\star, ovvero un istante dopo che sia stato applicato l’impulso \vec{J}, ha modulo J/m, direzione e verso come il vettore \vec{J}.

 

 

 

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Figura 2: rappresentazione della velocità del centro di massa.

 

 

Si conclude con la seguente soluzione

\[\boxcolorato{fisica}{\vec{V}_{CM}(t^\star)=\dfrac{\vec{J}}{m}.}\]

 


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