Esercizio urti 7

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Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un’asta lunga $\ell$ e di massa $M$ è in un piano verticale, ed è vincolata a ruotare, senza attrito, attorno al proprio centro $O$ . Un punto materiale di massa $m$ , lanciato verticalmente dal basso verso l’alto, colpisce l’asta a distanza $R$ da $O$ e vi rimane attaccato; la velocità prima dell’urto di $m$ è $v$ ed è diretta come in figura 1. Calcolare:

la velocità angolare subito dopo l’urto;
l’energia dissipata nell’urto;
la velocità angolare del sistema quando ha compiuto una rotazione di $\pi/2$ ;
(punto bonus) determinare il momento angolare del centro di massa rispetto ad $O$ e del sistema $m+M$ rispetto al centro di massa, un istante prima dell’urto, e dopo l’urto.

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Svolgimento. Ricordiamo la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(1) $\begin{equation*} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -m \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_O}{dt} \end{equation*}$

dove $\displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}}$ è la somma di tutti i momenti esterni al sistema, $\vec{v}_O$ è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema, $\vec{v}_{CM}$ è la velocità del centro di massa ed infine $\vec{L}_O$ è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo $O$ .

Punto 1. Se per il calcolo dei momenti esterni scegliamo come polo $O$ , si ha

(2) $\begin{equation*} \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM}=\vec{0}\,\, (\text{m}^2\cdot \text{s}^{-2}), \end{equation*}$

poiché il polo $O$ è fisso, ovvero ha velocità nulla, e in particolare, siccome l’unica forza esterna è applicata nel vincolo $O$ , si ha anche

(3) $\begin{equation*} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}}=\vec{0}\,\,(\text{N}\cdot \text{m}); \end{equation*}$

pertanto (1) diventa

(4) $\begin{equation*} \dfrac{d\vec{L}}{dt}=\vec{0}\,\,(\text{N}\cdot \text{m}), \end{equation*}$

cioè

(5) $\begin{equation*} L=\text{costante}, \end{equation*}$

o in altri termini, il momento angolare totale del sistema si conserva, prima e dopo l’urto, rispetto al polo $O$ . Quello che succede è questo: nell’urto si genera una forza impulsiva sull’asta e una forza sempre impulsiva su $m$ , uguale ed opposta a quella applicata sull’asta (terzo principio della dinamica), di conseguenza il vincolo in $O$ genera una forza esterna, sempre impulsiva, applicata in $O$ , che ha quindi momento nullo e pertanto si conserva il momento angolare; eccetto la forza impulsiva che si manifesta nel vincolo $O$ , le altre forze impulsive che si manifestano nell’urto, sull’asta e sul punto materiale $m$ , sono forze interne, e quindi hanno momento complessivo nullo (la somma dei loro momenti rispetto al polo $O$ ). Inoltre si noti che la forza peso di $m$ e di $M$ sono forze esterne, ma molto piccole rispetto alle forze impulsive, e pertanto trascurabili.

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Calcoliamo il momento angolare totale del sistema prima dell’urto (notare che l’asta è in quiete, quindi non dà contributo al momento angolare)

(6) $\begin{equation*} L_i=mvR, \end{equation*}$

dopo l’urto il sistema $M+m$ diventerà unico (urto completamente anelastico) e ruoterà rispetto al polo $O$ ; nuovamente, applicando la definizione di momento angolare, si ottiene

(7) $\begin{equation*} L_f=I_0\omega_1=\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)\omega_1 \end{equation*}$

dove $L_f$ è il momento angolare un istante subito dopo l’urto, $\omega_1$ è la velocità angolare, e $I_O$ il momento d’inerzia totale del sistema rispetto al polo $O$ . Sfruttando la conservazione del momento angolare si ottiene

(8) $\begin{equation*} L_i=L_f, \end{equation*}$

cioè

(9) $\begin{equation*} mvR=\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)\omega_1, \end{equation*}$

da cui

(10) $\begin{equation*} \omega_1=\dfrac{mvR}{\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2}. \end{equation*}$

Si conclude che

$\boxcolorato{fisica}{ \omega_1=\dfrac{mvR}{\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)}.}$

Punto 2. L’energia cinetica dissipata nell’urto è

(11) $\begin{equation*} E_i-E_f \end{equation*}$

dove $E_i$ è l’energia cinetica prima dell’urto e $E_f$ è l’energia cinetica dopo l’urto.
L’energia iniziale è data solo dal punto materiale $m$ , poiché l’asta è in quiete, cioè

(12) $\begin{equation*} E_i=\dfrac{1}{2}mv^2. \end{equation*}$

Dopo l’urto il sistema $m+M$ ruota rispetto al polo $O$ , e quindi l’energia è solo rotazionale, e vale

(13) $\begin{equation*} E_f=\dfrac{1}{2}I_O\omega_f^2=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{12}m\ell^2+mR^2\right)\left(\dfrac{m^2v^2R^2}{\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)^2}\right)=\dfrac{m^2v^2R^2}{2\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)}. \end{equation*}$

Sfruttando (12) e (13) possiamo riscrivere (11) come segue

(14) $\begin{equation*} E_i-E_f=\dfrac{1}{2}mv^2-\dfrac{m^2v^2R^2}{2\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)}, \end{equation*}$

cioè

(15) $\begin{equation*} E_i-E_f=\dfrac{mv^2}{2}\left(\dfrac{\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2-mR^2}{\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2}\right)=\dfrac{mMv^2\ell^2}{24\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)}=\dfrac{mMv^2\ell^2}{2\left(M\ell^2+12mR^2\right)}. \end{equation*}$

Si conclude che

$\boxcolorato{fisica}{ E_i-E_f= \dfrac{mMv^2\ell^2}{2\left(M\ell^2+12mR^2\right)}.}$

Punto 3. Dopo l’urto l’asta si muove di moto circolare rispetto ad $O$ ; si noti inoltre che si conserva l’energia perché non sono presenti attriti. Come calcolato nel punto precedente l’energia dopo l’urto è

(16) $\begin{equation*} E_f=\tilde{E}_i=\dfrac{m^2v^2R^2}{2\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)}. \end{equation*}$

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Quando l’asta è ruotata di $\pi/2$ avremo un contributo all’energia totale che è dato dalla somma dell’energia cinetica rotazionale, perché l’asta sta ruotando, e potenziale, poiché si è spostato il centro di massa del sistema.

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In tale istante l’energia totale del sistema è

(17) $\begin{equation*} \tilde{E}_f=mgR+\dfrac{1}{2}I_O\omega_2^2=mgR+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)\omega_2^2. \end{equation*}$

Dalla conservazione dell’energia abbiamo

$\begin{aligned} &\tilde{E}_i=\tilde{E}_f\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{m^2v^2R^2}{2\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)}=mgR+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)\omega_2^2\quad \Leftrightarrow \quad \\ &\Leftrightarrow \quad m^2v^2R^2=2mgR\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)+\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)^2\omega_2^2\quad \Leftrightarrow \quad\\ &\Leftrightarrow \quad\omega_2^2=\dfrac{m^2v^2R^2-2mgR\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)}{\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)^2}\quad \Leftrightarrow \quad\\ &\quad \Leftrightarrow \quad\omega_2=\dfrac{1}{\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2}\sqrt{m^2v^2R^2-2mgR\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)}. \end{aligned}$

Si conclude che

$\boxcolorato{fisica}{\omega_2=\dfrac{1}{\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2}\sqrt{m^2v^2R^2-2mgR\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)}.}$

Chiaramente deve valere $m^2v^2R^2-2mgR\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)\geq0$ .

Punto 4. Vogliamo calcolare il momento angolare iniziale (un istante prima dell’urto) applicando il teorema di König per il momento angolare.

Pertanto abbiamo

(18) $\begin{equation*} \vec{L}_O=\vec{L}_{CM}+\vec{L}^\prime \end{equation*}$

dove $\vec{L}_{CM}$ è il momento angolare del centro di massa del sistema rispetto ad $O$ e $\vec{L}^\prime$ è il momento angolare del sistema rispetto al centro di massa del sistema. Calcoliamo le coordinate del centro di massa e la sua velocità un istante prima dell’urto, fissato un sistema di riferimento fisso $Ox$ con asse $x$ coincidente con l’asta e orientato positivamente nella direzione del punto materiale $m$ , cioè tale per cui il punto materiale $m$ abbia coordinate $(R,0)$ , si ha

(19) $\begin{equation*} x_{cm}=\dfrac{mR}{m+M} \end{equation*}$

(20) $\begin{equation*} {v}_{CM}=\dfrac{mv}{m+M}. \end{equation*}$

Quindi, un istante prima dell’urto, il momento angolare del centro di massa è

(21) $\begin{equation*} L_{CM}=(m+M)x_{CM}v_{CM}=(m+M)\left(\dfrac{mR}{m+M}\right)\left(\dfrac{mv}{m+M}\right)=\dfrac{m^2vR}{m+M}. \end{equation*}$

Il momento angolare del sistema rispetto al centro di massa, ovvero $L^\prime$ , è dato dalla somma del contributo del momento angolare della massa $m$ e del momento angolare dell’asta, sempre rispetto al centro di massa del sistema. La velocità relativa $v^\prime_m$ di $m$ rispetto al centro di massa del sistema, un istante prima dell’urto, è

(22) $\begin{equation*} v^\prime_m=v-v_{CM}=v-\dfrac{mv}{m+M}=\dfrac{Mv}{m+M}, \end{equation*}$

da cui è possibile determinare $L^\prime_m$ , cioè

(23) $\begin{equation*} L^\prime_m= m r^\prime_m v^\prime_m=m \left \vert x_{CM}-R\right \vert \cdot \dfrac{MV}{m+M}=m \left \vert \dfrac{mR}{m+M}-R\right \vert \cdot \dfrac{MV}{m+M}=m\left(\dfrac{MR}{m+M}\right)\left(\dfrac{Mv}{m+M}\right), \end{equation*}$

o anche

$\boxcolorato{fisica}{ L^\prime_m=\dfrac{mM^2Rv}{\left(m+M\right)^2}.}$

Sfruttando la (6) si ha che

(24) $\begin{equation*} mvR=L_{CM}+L^\prime_m+L^\prime_M \end{equation*}$

dove $L^\prime_M$ è il momento angolare dell’asta rispetto al centro di massa del sistema, inoltre tenendo conto delle posizioni ottenute, si può riscrivere (24) come segue

$\begin{aligned} &mvR=\dfrac{m^2vR}{m+M}+\dfrac{mM^2Rv}{\left(m+M\right)^2}+L^\prime_M\quad \Leftrightarrow \quad L^\prime_M=\dfrac{mvR\left(m+M\right)^2-m^2vR\left(m+M\right)-mM^2vR}{\left(m+M\right)^2}=\\ &=\dfrac{mvR\left(m^2+M^2+2mM-m^2-mM-M^2\right)}{\left(m+M\right)^2}=\dfrac{m^2MvR}{\left(m+M\right)^2}, \end{aligned}$

altrimenti

(25) $\begin{equation*}\boxcolorato{fisica}{ L^\prime_M=\underbrace{\dfrac{mR}{m+M}}_{x_{CM}}\cdot \underbrace{\dfrac{mv}{m+M}}_{v_{CM}}\cdot M=M x_{CM} v_{CM},} \end{equation*}$

cioè la quantità di moto dell’asta rispetto al centro di massa del sistema ( $m+M$ ) è uguale alla massa dell’asta, per la distanza del centro di massa dell’asta al centro di massa del sistema, moltiplicato per la velocità del centro di massa del sistema. In realtà il fattore $v_{CM}$ che compare nella formula (25) è la velocità del centro di massa dell’asta rispetto al centro di massa del sistema; infatti, un istante prima dell’urto, l’asta è ferma rispetto ad un sistema di riferimento fisso, ed il centro di massa del sistema ha una velocità $v_{CM}$ rispetto al sistema fisso. Pertanto, scegliendo un sistema di riferimento solidale con il centro di massa del sistema si ha che il centro di massa dell’asta ha una velocità $-v_{CM}$ rispetto al centro di massa del sistema. Alla luce di quanto detto, si può riformulare la relazione (25) come segue: il momento angolare dell’asta rispetto al centro di massa del sistema è uguale alla massa dell’asta per la distanza tra il centro di massa dell’asta e il centro di massa totale del sistema, moltiplicato per la velocità del centro di massa dell’asta rispetto al centro di massa del sistema.

E’ altresì era possibile calcolare $L^\prime_M$ considerando un punto materiale $dM$ dell’asta e notando che un istante prima dell’urto tutti i punti materiale possiedono una velocità $-v_{CM}$ rispetto al centro di massa.

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Il momento angolare di $dM$ rispetto al centro di massa è ( $\lambda=dM/dx=M/\ell$ )

(26) $\begin{equation*} dL_M^\prime=x^\prime v^\prime dM=- v_{CM} x^\prime \lambda\,d x^\prime , \end{equation*}$

da cui, integrando su tutta l’asta, si ottiene

(27) $\begin{equation*} L^\prime=- v_{CM}\lambda \int^{\ell/2-x_{CM}}_{-\ell/2-x_{CM}}x^\prime\,dx^\prime = v_{CM}\lambda \ell x_{CM}=Mx_{CM}V_{CM}, \end{equation*}$

che è esattamente quello che ci aspettavamo.

Dopo l’urto il sistema diventa unico (urto completamente anelastico) e pertanto abbiamo che il momento angolare del centro di massa è

(28) $\begin{equation*} L_{CM}=\left(m+M\right)\omega_f x^2_{CM}. \end{equation*}$

Quindi sommando il contributo di $m$ e $M$ si ottiene

(29) $\begin{equation*} L^\prime_i=L^\prime_m+L^\prime_M=\dfrac{mM^2Rv}{\left(m+M\right)^2}+\dfrac{m^2MvR}{\left(m+M\right)^2}=\dfrac{mMRv\left(m+M\right)}{\left(n+M\right)^2}=\dfrac{mMRv}{m+M}, \end{equation*}$

ovvero

$\boxcolorato{fisica}{ L^\prime_i=\dfrac{mMRv}{m+M},}$

cioè il momento angolare del sistema rispetto al centro di massa un istante prima dell’urto.

Per calcolare il momento angolare del sistema $m+M$ rispetto al centro di massa, un istante subito dopo l’urto, sfruttiamo (7) e otteniamo

(30) $\begin{equation*} L_f=L_{CM}+L^\prime_f, \end{equation*}$

cioè

(31) $\begin{equation*} \left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)\omega_1=\left(m+M\right)\omega_1 x^2_{CM}+L^\prime_f= \dfrac{m^2R^2\omega_f}{\left(m+M\right)}+L^\prime_f, \end{equation*}$

da cui

(32) $\begin{equation*} L^\prime_f=\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2-\dfrac{m^2R^2}{m+M}\right)\omega_1=\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+\dfrac{MmR^2}{m+M}\right)\omega_1. \end{equation*}$

Si conclude che il momento angolare del sistema, un istante dopo l’urto, rispetto al centro di massa è

$\boxcolorato{fisica}{ L^\prime_f=\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+\dfrac{MmR^2}{m+M}\right)\omega_1.}$

Fonte: esercizio tratto dal libro elementi di fisica meccanica e termodinamica di P.Mazzoldi-M.Nigro e C.Voci.

Niccolò Cocciaglia

22/08/2023

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