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Esercizio urti 7

Urti in Meccanica classica

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Esercizio 7  (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un’asta lunga \ell e di massa M è in un piano verticale, ed è vincolata a ruotare, senza attrito, attorno al proprio centro O. Un punto materiale di massa m, lanciato verticalmente dal basso verso l’alto, colpisce l’asta a distanza R da O e vi rimane attaccato; la velocità prima dell’urto di m è v ed è diretta come in figura 1. Calcolare:

  1. la velocità angolare subito dopo l’urto;
  2. l’energia dissipata nell’urto;
  3. la velocità angolare del sistema quando ha compiuto una rotazione di \pi/2;
  4. (punto bonus) determinare il momento angolare del centro di massa rispetto ad O e del sistema m+M rispetto al centro di massa, un istante prima dell’urto, e dopo l’urto.

 
 

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Figura 1: schema del problema.

Svolgimento.

Ricordiamo la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(1)   \begin{equation*} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -m \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_O}{dt}, \end{equation*}

dove \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutti i momenti esterni al sistema rispetto ad un polo generico O, \vec{v}_O è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema, \vec{v}_{CM} è la velocità del centro di massa ed infine \vec{L}_O è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo O.    


Svolgimento punto 1.

Se per il calcolo dei momenti esterni scegliamo come polo O, si ha

(2)   \begin{equation*} \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM}=\vec{0}, \end{equation*}

poiché il polo O è fisso, ovvero ha velocità nulla, e in particolare, siccome l’unica forza esterna è applicata nel vincolo O, si ha anche

(3)   \begin{equation*} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}}=\vec{0}; \end{equation*}

pertanto (1) diventa

(4)   \begin{equation*} \dfrac{d\vec{L}}{dt}=\vec{0}, \end{equation*}

cioè

(5)   \begin{equation*} L=\text{costante}, \end{equation*}

o in altri termini, il momento angolare totale del sistema si conserva, prima e dopo l’urto, rispetto al polo O. Quello che succede è questo: nell’urto si genera una forza impulsiva sull’asta e una forza sempre impulsiva su m, uguale ed opposta a quella applicata sull’asta (terzo principio della dinamica), di conseguenza il vincolo in O genera una forza esterna, sempre impulsiva, applicata in O, che ha quindi momento nullo e pertanto si conserva il momento angolare; eccetto la forza impulsiva che si manifesta nel vincolo O, le altre forze impulsive che si manifestano nell’urto, sull’asta e sul punto materiale m, sono forze interne, e quindi hanno momento complessivo nullo (è nulla la somma dei loro momenti rispetto al polo O). Inoltre, si noti che la forza peso di m e di M sono forze esterne, ma molto piccole rispetto alle forze impulsive, e pertanto i loro momenti rispetto al polo O sono trascurabili dato che l’urto avviene in un intervallo di tempo molto breve. Di seguito, in figura 2, rappresentiamo le forze descritte in precedenza.  

 

 

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  Calcoliamo il momento angolare totale del sistema prima dell’urto (notare che l’asta è in quiete, quindi non da contributo al momento angolare), cioè

(6)   \begin{equation*} \boxed{L_i=mvR.} \end{equation*}

Dopo l’urto il sistema M+m diventerà unico (urto completamente anelastico), e ruoterà rispetto al polo O; nuovamente, applicando la definizione di momento angolare, si ottiene

(7)   \begin{equation*} \boxed{L_f=I_0\omega_1=\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)\omega_1,} \end{equation*}

dove L_f è il momento angolare un istante subito dopo l’urto, \omega_1 è la velocità angolare subito dopo l’urto, e I_O il momento d’inerzia totale del sistema rispetto al polo O. Imponendo la conservazione del momento angolare e avvalendoci delle due precedenti equazioni, si ottiene

(8)   \begin{equation*} L_i=L_f, \end{equation*}

cioè

(9)   \begin{equation*} mvR=\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)\omega_1, \end{equation*}

da cui

(10)   \begin{equation*} \omega_1=\dfrac{mvR}{\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)}. \end{equation*}

Si conclude che

    \[\boxcolorato{fisica}{ \omega_1=\dfrac{mvR}{\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)}.}\]

   


Svolgimento punto 2.

L’energia cinetica dissipata nell’urto è

(11)   \begin{equation*} E_i-E_f, \end{equation*}

dove E_i è l’energia cinetica un’istante prima dell’urto e E_f è l’energia cinetica un’istante dopo l’urto. L’energia iniziale è data solo dal contributo del punto materiale m, poiché l’asta è in quiete, cioè

(12)   \begin{equation*} E_i=\dfrac{1}{2}mv^2. \end{equation*}

Dopo l’urto il sistema m+M ruota rispetto al polo O, e quindi l’energia è solo rotazionale, e vale

(13)   \begin{equation*} E_f=\dfrac{1}{2}I_O\omega_f^2=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{12}m\ell^2+mR^2\right)\left(\dfrac{m^2v^2R^2}{\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)^2}\right)=\dfrac{m^2v^2R^2}{2\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)}. \end{equation*}

Sfruttando (12) e (13) possiamo riscrivere (11) come segue

(14)   \begin{equation*} E_i-E_f=\dfrac{1}{2}mv^2-\dfrac{m^2v^2R^2}{2\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)}, \end{equation*}

cioè

(15)   \begin{equation*} E_i-E_f=\dfrac{mv^2}{2}\left(\dfrac{\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2-mR^2}{\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2}\right)=\dfrac{mMv^2\ell^2}{24\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)}=\dfrac{mMv^2\ell^2}{2\left(M\ell^2+12mR^2\right)}. \end{equation*}

Si conclude che

    \[\boxcolorato{fisica}{ E_i-E_f= \dfrac{mMv^2\ell^2}{2\left(M\ell^2+12mR^2\right)}.}\]

   


Svolgimento punto 3.

Dopo l’urto l’asta si muove di moto circolare rispetto ad O; inoltre, si noti che, si conserva l’energia perché non sono presenti attriti. Come calcolato nel punto precedente l’energia dopo l’urto è

(16)   \begin{equation*} \boxed{E_f=\tilde{E}_i=\dfrac{m^2v^2R^2}{2\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)}.} \end{equation*}

   

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    Quando l’asta è ruotata di \pi/2 avremo un contributo all’energia totale che è dato dalla somma dell’energia cinetica rotazionale, perché l’asta sta ruotando, e potenziale, poiché si è spostato il centro di massa del sistema. In tale istante l’energia totale del sistema è

(17)   \begin{equation*} \boxed{\tilde{E}_f=mgR+\dfrac{1}{2}I_O\omega_2^2=mgR+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)\omega_2^2,} \end{equation*}

dove \omega è la velocità angolare nell’istante in cui l’asta è ruotata di \pi/2. Di seguito, in figura 2, rappresentiamo l’asta ruotata di \pi/2.

   

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    Dalla conservazione dell’energia abbiamo

    \[\begin{aligned} &\tilde{E}_i=\tilde{E}_f\quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{m^2v^2R^2}{2\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)}=mgR+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)\omega_2^2\quad \Leftrightarrow \quad \\ &\Leftrightarrow \quad m^2v^2R^2=2mgR\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)+\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)^2\omega_2^2\quad \Leftrightarrow \quad\\ &\Leftrightarrow \quad\omega_2^2=\dfrac{m^2v^2R^2-2mgR\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)}{\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)^2}\quad \Leftrightarrow \quad\\ &\quad \Leftrightarrow \quad\omega_2=\dfrac{1}{\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2}\sqrt{m^2v^2R^2-2mgR\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)}. \end{aligned}\]

Si conclude che

    \[\boxcolorato{fisica}{\omega_2=\dfrac{1}{\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2}\sqrt{m^2v^2R^2-2mgR\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)}.}\]

Chiaramente affinché la precedente relazione sia ben definita deve valere

(18)   \begin{equation*} m^2v^2R^2-2mgR\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)\geq0. \end{equation*}

   


Svolgimento punto 4.

Calcoliamo le coordinate del centro di massa e la sua velocità un istante prima dell’urto, fissato un sistema di riferimento fisso Ox con asse x coincidente con l’asta e orientato positivamente nella direzione del punto materiale m, cioè tale per cui il punto materiale m abbia coordinate (R,0), si ha

(19)   \begin{equation*} x_{CM}=\dfrac{mR}{m+M} \end{equation*}

e

(20)   \begin{equation*} {v}_{CM}=\dfrac{mv}{m+M}. \end{equation*}

Quindi, un istante prima dell’urto, il momento angolare del centro di massa rispetto al polo O è

(21)   \begin{equation*} L_{CM,i}=(m+M)x_{CM}v_{CM}=(m+M)\left(\dfrac{mR}{m+M}\right)\left(\dfrac{mv}{m+M}\right)=\dfrac{m^2vR}{m+M}. \end{equation*}

Si conclude che il momento angolare del centro di massa un istante prima dell’urto è

    \[\boxcolorato{fisica}{L_{CM,i}=\dfrac{m^2vR}{m+M}.}\]

Per calcolare il momento angolare rispetto al centro di massa applichiamo il teorema di König. Pertanto abbiamo

(22)   \begin{equation*} \vec{L}_O=\vec{L}_{CM}+\vec{L}^\prime,\end{equation*}

dove \vec{L}_O è il momento angolare del sistema di m+M rispetto al polo O, \vec{L}_{CM} è il momento angolare del centro di massa del sistema m+M rispetto ad O e \vec{L}^\prime è il momento angolare del sistema rispetto al centro di massa del sistema. Come calcolato al primo punto (equazione (6)) un istante prima dell’urto abbiamo

(23)   \begin{equation*} L_i=L_O=mvR. \end{equation*}

Sia L_{i}^\prime il momento angolare un istante prima l’urto rispetto al centro di massa del sistema fisico composto dalle due masse. Dunque, applicando il teorema di König (equazione (24)), grazie alla precedente equazione e l’equazione (21), abbiamo

(24)   \begin{equation*} \vec{L}_i=\vec{L}_{CM,i}+\vec{L}_i^\prime,\end{equation*}

ovvero

(25)   \begin{equation*} \dfrac{m^2vR}{m+M}+L_{i}^\prime=mvR, \end{equation*}

o anche

(26)   \begin{equation*} L_{i}^\prime=mvR-\dfrac{m^2vR}{m+M}, \end{equation*}

cioè

(27)   \begin{equation*} L_{i}^\prime=\dfrac{m^2vR+mMvR-m^2vR}{m+M}, \end{equation*}

infine

(28)   \begin{equation*} L_{i}^\prime=\dfrac{mMvR}{m+M}. \end{equation*}

Si conclude che il momento angolare del sistema fisico composto dalle due masse rispetto al centro di massa un istante prima dell’urto è

    \[\boxcolorato{fisica}{L_{i}^\prime=\dfrac{mMvR}{m+M}.}\]

Come calcolato al primo punto (equazione (7)) un istante dopo l’urto il momento angolare è

(29)   \begin{equation*} \boxed{L_f=\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)\omega_1.} \end{equation*}

Un istante dopo l’urto il centro di massa si muove di moto circolare con velocità angolare \omega_1 rispetto ad O, pertanto ricordando che la distanza tra O e il centro di massa è x_{CM}, si trova che il momento angolare un istante dopo l’urto del centro di massa è

(30)   \begin{equation*} \boxed{L_{CM,f}=\left(m+M\right)\omega_i x^2_{CM}.} \end{equation*}

Avvalendoci dell’equazione (19) la precedente equazione diventa

(31)   \begin{equation*} \boxed{L_{CM,f}=\left(m+M\right)\omega_1 \left(\dfrac{mR}{m+M}\right)^2=\dfrac{m^2R^2\omega_1}{m+M}.} \end{equation*}

Sia L_f^\prime il momento angolare un istante dopo l’urto rispetto al centro di massa del sistema fisico composto dalle due masse. Applicando di nuovo il teorema di König, grazie alla precedente equazione e l’equazione (29), si ha

(32)   \begin{equation*} L_f=L_{CM,f}+L^\prime_f, \end{equation*}

cioè

(33)   \begin{equation*} \left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2\right)\omega_1=\dfrac{m^2R^2\omega_1}{m+M}+L^\prime_f, \end{equation*}

da cui

(34)   \begin{equation*} L^\prime_f=\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2-\dfrac{m^2R^2}{m+M}\right)\omega_1=\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+\dfrac{MmR^2}{\left(m+M\right)}\right)\omega_1. \end{equation*}

Grazie all’equazione (10) la precedente equazione diventa

(35)   \begin{equation*} L^\prime_f=\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+\dfrac{MmR^2}{m+M}\right)\left(\dfrac{mvR}{\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2}\right). \end{equation*}

Si conclude che il momento angolare del sistema, un istante dopo l’urto, rispetto al centro di massa è

    \[\boxcolorato{fisica}{ L^\prime_f=\left(\dfrac{1}{12}M\ell^2+\dfrac{MmR^2}{m+M}\right)\left(\dfrac{mvR}{\dfrac{1}{12}M\ell^2+mR^2}\right).}\]


Fonte Esercizio.

Esercizio tratto dal libro elementi di fisica meccanica e termodinamica di P.Mazzoldi-M.Nigro e C.Voci.


 
 

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