Esercizio urti 8

Urti in Meccanica classica

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Esercizio 8 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Siano un punto materiale di massa m e un sistema di riferimento fisso Oxy. Il punto materiale di massa m all’istante iniziale t=0 ha la velocità \vec{v}_0, diretta nel verso positivo dell’asse delle x, come rappresentato in figura 1a. Successivamente il punto materiale colpisce un secondo punto materiale di uguale massa ed inizialmente fermo. Entrambi i punti materiali sono vincolati a muoversi nel piano xy. Dopo l’urto, considerato elastico, la prima particella ha una velocità \vec{v}_{f,1} formante un angolo \theta con l’asse delle x, come rappresentato in figura 1b. Determinare modulo e direzione della velocità \vec{v}_{f,2} della seconda particella un’istante dopo l’urto. I risultati vanno espressi in funzione del modulo della velocità \vec{v}_0 e l’angolo \theta.

 

 

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Svolgimento. Dal sistema di riferimento Oxy, si ha

(1)   \begin{equation*} \vec{v}_0=v_0\,\hat{x}, \end{equation*}

(2)   \begin{equation*} \vec{v}_{f,1}={v}_{f,1}\cos \theta \,\hat{x}+{v}_{f,1}\sin \theta \,\hat{y}, \end{equation*}

e

(3)   \begin{equation*} \vec{v}_{f,2}={v}_{f,2}\cos \alpha \,\hat{x}-{v}_{f,2}\sin\alpha \,\hat{y}, \end{equation*}

dove \hat{x} e \hat{y} sono rispettivamente i versori dell’asse delle x e delle y, mentre v_0, {v}_{f,1} e {v}_{f,2} sono rispettivamente i moduli di \vec{v}_0, \vec{v}_{f,1} e \vec{v}_{f,2}, e infine, \alpha è l’angolo che forma il vettore \vec{v}_{f,2} con l’asse delle x. Inoltre, si assuma v_0, {v}_{f,1} e {v}_{f,2} quantità positive. Si osservi che abbiamo supposto che, dopo l’urto, il vettore \vec{v}_{f,2} abbiamo componente delle x diretta nel verso positivo delle x e componente delle y diretta nel verso negativo dell’asse delle y.
Le due masse si urtano in modo elastico e questo vuol dire che nell’urto si conserva sia la quantità di moto, che l’energia meccanica del sistema composto dalle due masse. Si ricordi che in generale non è detto che si conservi la quantità di moto, in alcuni casi particolari potrebbe non succedere, ad esempio se sono presenti vincoli nella direzione in cui avviene l’urto. Nel caso in esame, non sono presenti vincoli, pertanto si conserva la quantità di moto; in altri termini, non sono presenti forze esterne di natura impulsiva nell’istante in cui avviene l’urto.
Il testo ci indica inoltre che, una volta avvenuto l’urto, la particella che inizialmente era in moto lungo l’asse x con velocità \vec{v}_0 si allontana dalla posizione dell’urto con velocità \vec{v}_{f,1}. Osserviamo, a questo punto, nel dettaglio la situazione un’istante dopo l’urto (figura 1b).
Al fine di determinare le caratteristiche del vettore \vec{v}_{f,2} richieste dal testo, esaminiamo nel dettaglio l’urto elastico in questione. Poiché la quantità di moto del sistema si conserva, vale che

(4)   \begin{equation*} \vec{p}_0=\vec{p}_{f,1}+\vec{p}_{f,2}, \end{equation*}

dove \vec{p}_0=m\vec{v}_0 rappresenta la quantità di moto della particella 1 in moto un’istante prima dell’urto,
mentre \vec{p}_{f,1}=m\vec{v}_{f,1} e \vec{p}_{f,2}=\vec{v}_{f,2} rappresentano rispettivamente le quantità di moto della prima e della seconda particella un’istante dopo l’urto.
Si osservi che, il secondo punto materiale non da alcun contributo al primo membro dell’equazione (4), in quanto prima dell’urto esso è in quiete. Osserviamo, inoltre, che l’energia cinetica si conserva durante l’urto per ipotesi di urto elastico, e pertanto avremo

(5)   \begin{equation*} \frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv_{f,1}^2+\frac{1}{2}mv_{f,2}^2, \end{equation*}

dove abbiamo indicato con v_0, v_{f,1} e v_{f,2} i moduli dei rispettivi vettori \vec{v}_0, \vec{v}_{f,1} e \vec{v}_{f,2}.
Abbiamo a questo punto tutto ciò che ci occorre per risolvere il problema; dall’equazione (4), si ha

(6)   \begin{equation*} \begin{cases} mv_0=mv_{f,1}\cos\theta+mv_{f,2}\cos\alpha \\ 0=mv_{f,1}\sin\theta-mv_{f,2}\sin\alpha , \end{cases} \end{equation*}

dove la prima equazione del sistema rappresenta la conservazione della quantità di moto nella direzione dell’asse x, mentre la seconda rappresenta l’equazione di conservazione della quantità di moto nella direzione dell’asse y. Si osservi che nella seconda equazione del sistema (6), si è osservato che, una volta avvenuto l’urto, le due particelle si muovono lungo la direzione y con vettori di verso opposto, e pertanto questo giustifica la scelta fatta in (3).
Mettendo a sistema le due equazioni del sistema (6) con l’equazione (5), si ottiene

(7)   \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} & v_0=v_{f,1}\cos\theta+v_{f,2}\cos \alpha \\[10pt] & 0=v_{f,1}\sin\theta-v_{f,2}\sin \alpha \\[10pt] &\dfrac{1}{2} mv_0^2=\dfrac{1}{2}mv_{f,1}^2+\dfrac{1}{2}mv_{f,2}^2, \end{aligned} \right. \end{equation*}

oppure

(8)   \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} & v_0=v_{f,1}\cos\theta+v_{f,2}\cos \alpha \\ & 0=v_{f,1}\sin\theta-v_{f,2}\sin \alpha \\ &v_0^2=v_{f,1}^2+v_{f,2}^2. \end{aligned} \right. \end{equation*}

Eleviamo al quadrato ambo i membri della prima e della seconda equazione del precedente sistema, ottenendo rispettivamente

(9)   \begin{equation*} v_0^2=v_{f,1}^2\cos^2\theta+v^2_{f,2}\cos^2 \alpha+2v_{f,1}v_{f,2}\cos\theta\cos\alpha, \end{equation*}

e

(10)   \begin{equation*} 0=v_{f,1}^2\sin^2\theta+v^2_{f,2}\sin^2 \alpha-2v_{f,1}v_{f,2}\sin\theta\sin\alpha. \end{equation*}

Sommiamo membro a membro delle equazioni (9) e (10). Abbiamo dunque

(11)   \begin{equation*}\ v_0^2=v_{f,1}^2+v_{f,2}^2+2v_{f,1}v_{f,2}(\cos\theta\cos\alpha-\sin\theta\sin\alpha). \end{equation*}

Possiamo sostituire nell’equazione (11), usando la terza equazione del sistema (8) la somma v_{f,1}^2+v_{f,2}^2 che compare al secondo membro dell’equazione, e possiamo inoltre usare che \cos(\theta+\alpha)=\cos\theta\cos\alpha-\sin\theta\sin\alpha; l’equazione (11) si scriverà dunque

(12)   \begin{equation*} 0=2v_{f,1}v_{f,2}\cos(\theta+\alpha). \end{equation*}

A questo punto, dato che sicuramente v_{f,1} e v_{f,2} sono diversi da zero perché altrimenti l’urto non sarebbe elastico, dall’equazione (12) si ha

(13)   \begin{equation*} \cos(\theta+\alpha)=0. \end{equation*}

La precedente equazione ha come risultato \theta+\alpha=90^\circ. Il risultato \theta+\alpha=90^\circ ci dice quanto segue: in un urto elastico in cui le due masse hanno lo stesso valore e una delle due masse è ferma, una volta verificatosi l’urto, le due masse si allontaneranno con velocità aventi direzioni ortogonali tra loro. Dalla seconda equazione del sistema (8) ricaviamo che v_{f,1}=v_{f,2}{\sin \alpha}/{\sin \theta}. Dunque, dalla terza equazione dello stesso sistema, sostituendo l’espressione di v_{f,1} appena ricavata, otteniamo

(14)   \begin{equation*} v_0^2=v^2_{f,2}\dfrac{\sin^2 \alpha}{\sin^2 \theta}+v_{f,2}^2, \end{equation*}

da cui segue

(15)   \begin{equation*} v_{f,2}=\sqrt{\frac{\sin^2 \theta}{\sin^2 \alpha+\sin^2 \theta}}v_0. \end{equation*}

Ricordando che \alpha=90^{\circ}-\theta l’equazione (15) diventa

(16)   \begin{equation*} v_{f,2}=v_0\sqrt{\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta+\sin^2 \theta}}=v_0\sqrt{\sin^2\theta}=v_0\sin\theta. \end{equation*}

Il vettore \vec{v}_{f,2}, pertanto, ha come modulo il valore appena ricavato in (16), la direzione, espressa dall’angolo \alpha, può essere ricavata osservando che \alpha=90^\circ-\theta. Inoltre, il vettore \vec{v}_{f,2} è diretto come in figura 1b, ovvero la sua componente delle x è nella direzione positiva dell’asse delle x, mentre la sua componente y è nella direzione negativa dell’asse delle y.