Esercizio urti 8

Urti in Meccanica classica

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Esercizio 8  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Una particella di massa m e velocità v_0=7\,\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1} colpisce una seconda particella di uguale massa ed inizialmente ferma. Dopo l’urto, considerato elastico, la prima particella si muove lungo una direzione che forma un angolo \theta=35^{\circ} rispetto alla direzione iniziale, assunta come asse x, con una velocità v_1=5.2\,\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}. Determinare il modulo e la direzione della velocità \vec{v}_2 della seconda particella.

 

 

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Svolgimento. L’esercizio rappresenta un esempio di urto elastico [1] . in cui entrambi i corpi in gioco hanno la stessa massa m. Il testo ci indica inoltre che, una volta avvenuto l’urto, la particella che inizialmente era in moto lungo l’asse x con velocità v_0 si allontana dalla posizione dell’urto con velocità \vec{v}_1, di cui sono note le caratteristiche vettoriali. Assumendo che l’urto tra le particelle sia avvenuto all’origine di un sistema fisso di assi cartesiani Oxy, è allora possibile rappresentare l’allontanamento della particella con velocità \vec{v}_1 come in figura 2:

 

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La figura 2 rappresenta l’allontanamento della prima particella dal punto in cui è avvenuto l’urto, assunto quale l’origine degli assi cartesiani. Al fine di determinare le caratteristiche del vettore \vec{v}_2 richieste dal testo, esaminiamo nel dettaglio l’urto elastico in questione. Poiché la quantità di moto del sistema si conserva, potremo scrivere:

(1)   \begin{equation*} \vec{p}_0=\vec{p}_1+\vec{p}_2, \end{equation*}

dove \vec{p}_0=m\vec{v}_0 rappresenta la quantità di moto della particella 1 in moto prima dell’urto, mentre \vec{p}_1 e \vec{p}_2 rappresentano le quantità di moto della prima e della seconda particella dopo l’urto. Si osservi che la seconda particella non da alcun contributo al primo membro della formula precedente, in quanto prima dell’urto essa ha velocità nulla. Osserviamo inoltre che anche l’energia cinetica si conserva durante l’urto, e pertanto avremo

(2)   \begin{equation*} \frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2. \end{equation*}

Abbiamo a questo punto tutto ciò che ci occorre per risolvere il problema; iniziamo osservando che l’equazione (1) comprende due equazioni, l’una riferita alle componenti x dei vettori e l’altra per le componenti y. Le inseriamo entrambe nel seguente sistema:

(3)   \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} & mv_0=mv_1\cos\theta+mv_{2x} \\ & 0=mv_1\sin\theta-mv_{2y} \\ & \frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2 \end{aligned} \right. \end{equation*}

in cui, nella seconda equazione, si è osservato che, una volta avvenuto l’urto, le due particelle si muovono lungo la direzione y con vettori di verso opposto. Effettuando le opportune semplificazioni, è possibile scrivere il sistema come segue:

(4)   \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} & v_0=v_1\cos\theta+v_{2}\cos \alpha \\ & 0=v_1\sin\theta-v_{2}\sin \alpha \\ & v_0^2=v_1^2+v_2^2 \end{aligned} \right. \end{equation*}

dove si è esplicitato l’angolo \alpha, rispetto all’asse x, riferito al vettore velocità \vec{v}_2. E’ opportuno fare attenzione al sistema precedente: il problema potrebbe infatti essere risolto semplicemente analizzando le prime due equazioni che compongono il sistema, ma in questo modo non si imporrebbe la conservazione dell’energia cinetica e pertanto staremmo considerando un urto anelastico. Procediamo allora nel seguente modo: eleviamo al quadrato la prima e la seconda equazione, ottenendo rispettivamente

(5)   \begin{equation*} v_0^2=v_1^2\cos^2\theta+v^2_{2}\cos^2 \alpha+2v_1v_2\cos\theta\cos\alpha, \end{equation*}

e

(6)   \begin{equation*} 0=v_1^2\sin^2\theta+v^2_{2}\sin^2 \alpha-2v_1v_2\sin\theta\sin\alpha. \end{equation*}

Sommiamo membro a membro le equazioni appena ottenute e otteniamo:

(7)   \begin{equation*} v_0^2=v_1^2+v_2^2+2v_1v_2(\cos\theta\cos\alpha-\sin\theta\sin\alpha). \end{equation*}

Possiamo sostituire, usando la terza equazione del sistema (4) la somma v_1^2+v_2^2 che compare a secondo membro, e possiamo inoltre usare che \cos(\theta+\alpha)=\cos\theta\cos\alpha-\sin\theta\sin\alpha; l’equazione (7) si scriverà dunque

(8)   \begin{equation*} 0=2v_1v_2\cos(\theta+\alpha). \end{equation*}

A questo punto, dato che sicuramente v_1 e v_2 sono diversi da zero, deve essere che

(9)   \begin{equation*} \cos(\theta+\alpha)=0. \end{equation*}

Abbiamo ottenuto un utile risultato, ossia \theta+\alpha=90^\circ: in un urto elastico in cui le due masse hanno lo stesso valore e una delle due masse è ferma, una volta verificatosi l’urto, le due masse si allontaneranno con velocità aventi direzioni ortogonali tra loro. Troviamo allora che \alpha=55^\circ. Inoltre v_2=\sqrt{v_0^2-v_1^2}\approx4,7\cdot \text{m}\cdot \text{s}^{-1}.

 

 

 

 

 

1. Ricordiamo che un urto elastico è un urto in cui si conservano sia la quantità di moto (solo se non ci sono vincoli) che l’energia cinetica del sistema fisico in esame.

 

 

Fonte: esercizio tratto dal libro elementi di fisica meccanica e termodinamica di P.Mazzoldi-M.Nigro e C.Voci.