Esercizio 9 . Un pendolo semplice, di massa
kg e lunghezza
m, è tenuto in equilibrio statico ad angolo
rispetto alla verticale da una forza orizzontale
orientata come in figura 1. Calcolare
- a) il modulo di
.
Si rimuove e il corpo è lasciato libero di oscillare. Quando raggiunge la verticale urta contro un punto materiale di massa
kg fermo sul bordo di un gradino alto
m. Dopo l’urto l’ampiezza dell’oscillazione del pendolo è
mentre
cade sotto l’azione della forza peso. Calcolare:
- b) la velocità di
subito dopo l’urto;
- c) lo spazio orizzontale
percorso da
prima di toccare terra.
Svolgimento punto a. La massa è inizialmente in equilibrio statico, dunque vale che la risultante delle forze agenti su di essa è nulla. Analizziamo nel dettaglio il diagramma delle forze per
, illustrato in figura 2:
Scelto un sistema di riferimento fisso avente come origine
coincidente con il punto in cui è inizialmente è posta la massa
, osserviamo che le forze agenti sulla massa sono: la forza
che impedisce al pendolo di oscillare, la tensione del filo
, la quale è scomposta in figura 2 nelle sue componenti lungo
e
, rispettivamente
e
, ed infine la forza peso
, diretta verso il suolo. Si può notare che l’angolo che si viene a formare tra l’asse
e il vettore
è lo stesso angolo
illustrato nel testo dell’esercizio (è possibile provarlo osservando che l’asse
e la verticale del pendolo sono rappresentative di rette parallele tagliate da una trasversale; in tal senso i due angoli
devono essere uguali, in quanto angoli alterni interni). Si ha pertanto che
, mentre
. Fatte queste considerazioni, scomponendo le forze lungo l’asse
e
e applicando seconda legge dinamica, si ha:
(1)
da cui si ricava facilmente la soluzione al punto a) del problema:
Punto b. Una volta rimossa la forza , il pendolo è libero di oscillare, e pertanto raggiungerà la verticale, illustrata con una linea tratteggiata in figura 3. E’ possibile determinare con quale velocità
la massa
raggiungerà la verticale e dunque urterà con la massa
; per fare questo basta osservare che, nella sua oscillazione, la massa
è soggetta alla legge di conservazione dell’energia in quanto non ci sono forze non conservative, inoltre siccome la tensione è sempre perpendicolare al percorso fa lavoro nullo. Per rendere più agevoli le nostre considerazioni, consideriamo, come illustrato nella figura seguente, lo spostamento che la massa
fa dal suo punto di partenza, che denotiamo con
[1] , al punto in cui urterà la massa
, che chiamiamo
[2]:
Considerando adesso come livello del suolo, si avrà che in
l’energia meccanica
della massa è totalmente di tipo potenziale gravitazionale, dato che inizialmente la massa è ferma; in particolare, avremo quindi che
(2)
dove si è denotata con l’energia potenziale gravitazionale nel punto
, mentre nel punto
l’energia potenziale è nulla e quindi l’energia totale
sarà invece completamente di tipo cinetico, cioè
(3)
dove rappresenta appunto l’energia cinetica di
nel punto
. Dalla conservazione dell’energia meccanica totale, seguirà dunque che
(4)
da cui si determina
(5)
Chiamiamo la velocità che possiede
dopo l’urto con
. Una volta avvenuto l’urto, infatti, nel punto
l’energia della massa
sarà ancora tutta di tipo cinetico, ed in particolare sarà uguale a
; la massa raggiungerà poi il punto
, che rappresenta la nuova ampiezza massima delle oscillazioni del pendolo, la quale si trova ad un’altezza
. L’energia in
sarà dunque potenziale gravitazionale, e sarà dunque
. Dalla conservazione dell’energia meccanica totale seguirà dunque ancora che
(6)
da cui segue
(7)
L’urto avvenuto tra la massa e la massa
è un urto anelastico, pertanto osservando che non sono presenti forze esterne di natura impulsiva possiamo affermare che nell’urto tra
e
si conserva la quantità di moto. Prima dell’urto vale
per la massa
mentre
per la massa
, dato che inizialmente è ferma; dopo l’urto, denoteremo invece con
la quantità di moto per la massa
e con
quella della massa
. Possiamo allora scrivere la legge di conservazione della quantità come (notare che le velocità giacciono tutte sulla stessa retta)
(8)
mediante la quale possiamo determinare il modulo di , cioè la soluzione al punto b) del problema:
Punto c. Per determinare lo spazio orizzontale percorso da prima di toccare terra bisogna osservare che
dopo l’urto si muove di moto parabolico; scegliamo, a questo proposito, un nuovo sistema di riferimento fisso
avente origine alla base del gradino di altezza
. Avremo dunque un moto uniformemente accelerato lungo
ed un moto rettilineo uniforme lungo
, i quali saranno rispettivamente caratterizzati dalle equazioni seguenti:
(9)
(10)
Siamo interessati al momento in cui la massa tocca il suolo, pertanto nella prima equazione imponiamo
, ed inoltre anche
dato che la massa inizia il suo moto con una velocità diretta lungo l’asse
. Possiamo allora ricavare il tempo
corrispondente all’istante in cui la massa
tocca terra dalla prima equazione:
(11)
e sostituendo tale tempo nell’equazione del moto rettilineo uniforme, otterremo la distanza
, cioè la soluzione al punto c) del problema:
1. In figura è anche possibile osservare come il punto si trovi ad un’altezza
rispetto al livello del suolo; l’altezza è ottenuta dalla sottrazione dei due segmenti
e
illustrati in figura 3. ↩
2. La figura 3 rappresenta lo spostamento della massa dal punto di partenza
al punto
dove avviene l’urto. Dopo l’urto, la massa tornerà ad oscillare, raggiungendo il punto
. ↩
Link alla soluzione video a cura di Giovanni F.ciani: clicca qui.
Fonte: esercizio tratto dal libro elementi di fisica meccanica e termodinamica di P.Mazzoldi-M.Nigro e C.Voci.