Esercizio urti 10

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L’Esercizio Urti 10 è il decimo della raccolta dedicata agli esercizi misti sugli urti. Questo esercizio segue l’Esercizio Urti 9. Successivamente, gli studenti potranno affrontare ulteriori esercizi per consolidare la loro comprensione degli urti elastici e anelastici. Pensato per gli studenti di Fisica 1, è particolarmente utile per coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

L’argomento successivo agli urti riguarda gli esercizi sulla gravitazione, mentre l’argomento precedente tratta gli esercizi svolti sulla dinamica del corpo rigido.

Testo esercizio urti 10

Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Si consideri un sistema costituito da due corpi $A$ e $B$ puntiformi, di massa $m_A$ ed $m_B$ , disposti agli estremi di un’asta, di massa trascurabile e lunghezza $d$ . Il sistema è libero di ruotare senza attrito nel piano verticale, attorno ad un asse passante per $O$ e perpendicolare al piano sul quale giace il sistema. Le distanze dei due punti $A$ e $B$ dal punto O sono rispettivamente $d_A$ e $d_B$ . Inizialmente il sistema è in quiete in posizione orizzontale. Ad un certo istante un proiettile di massa $m$ e velocità $v_0$ , inclinata di un angolo $\theta= 20^\circ$ rispetto alla direzione $AB$ , colpisce il corpo $B$ , attraversandolo ed uscendone con una velocità $v_0/2$ e con la stessa direzione di entrata. Per effetto dell’urto il sistema inizia a ruotare. Si imponga che valga la condizione $m_Ad_A=m_Bd_B,$ allora sotto questa condizione, calcolare:

a) la velocità angolare $\omega_0$ del sistema immediatamente dopo l’urto;

b) la velocità $v_A$ del corpo $A$ quando raggiunge la posizione più bassa $A_1$ ;

c) la forza media orizzontale $R_{x,M}$ e verticale $R_{y,M}$ della forza impulsiva generata in $O$ durante l’urto, assunto di durata $\Delta t$ .

d) la componente media orizzontale $F_{x,M}$ e verticale $F_{y,M}$ della forza impulsiva generata tra la massa $m$ e $m_B$ durante l’urto, assunto di durata $\Delta t$ .

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Figura 1: schema del problema.

Svolgimento punto a).

Procediamo come nell’esercizio urti 7. Consideriamo il sistema in esame $m+m_A+m_B$ ; una volta avvenuto l’urto l’urto tra $m$ e $m_B$ , il sistema è libero di ruotare rispetto all’asse passante per $O$ . L’urto, nello specifico, è un urto vincolato, e pertanto non si conserva né la quantità di moto, né l’energia cinetica del sistema. Per il terzo principio della dinamica, nell’urto tra $m$ e $m_B$ , si vengono a generare due forze impulsive $\vec{F}$ e $-\vec{F}$ , uguali ed opposte. Si osserva che avendo scelto come sistema $m$ , $m_B$ e $m_A$ , le forze $\vec{F}$ e $-\vec{F}$ sono interne. Il vincolo $O$ genera una forza impulsiva $\vec{R}$ , esterna al sistema (come in figura 2).

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Figura 2: rappresentazione di tutte le forze agenti sul sistema nell’istante dell’urto.

Nel polo $O$ è applicata l’unica forza impulsiva esterna al sistema, ovvero $\vec{R}$ , pertanto se calcoliamo il momento di $\vec{R}$ rispetto al polo $O$ risulta nullo, perché la forza esterna $\vec{R}$ è applicata proprio in $O$ e quindi ha braccio nullo. Si conclude che per la seconda legge cardinale dei sistemi dei punti materiali si conserva il momento angolare totale del sistema, prima e dopo l’urto, rispetto al polo $O$ . Nello studio della rotazione del sistema, risulta utile osservare che poiché l’asta che collega le masse $m_A$ e $m_B$ ha massa trascurabile, il momento d’inerzia del sistema si trova come somma dei momenti d’inerzia dei due punti materiali rispetto all’asse di rotazione passante per il punto $O$ e perpendicolare al piano sul quale giace il sistema. Ricordando che il momento d’inerzia di un punto materiale $A$ rispetto a un polo $O$ è dato da

(1) $\begin{equation*} I_A = m_A d_A^2, \end{equation*}$

dove $d_A$ è la distanza $OA$ , avremo allora che per il sistema in esame varrà

(2) $\begin{equation*} I_O=I_A+I_B= m_A d_A^2 + m_B d_B^2, \end{equation*}$

dove si sono indicati con $I_A$ e $I_B$ i momenti d’inerzia delle masse $m_A$ e $m_B$ rispettivamente. Poiché il sistema è libero di ruotare attorno al punto $O$ , e come abbiamo detto in precedenza il momento angolare $\vec{L}$ del sistema si conserva prima e dopo l’urto, e cioè:

(3) $\begin{equation*} mv_0d_B\sin\theta=m\frac{v_0}{2}d_B\sin\theta+I_O\omega_0, \end{equation*}$

al primo membro dell’equazione (3) è presente il contributo al momento angolare totale dovuto alla massa $m$ prima dell’urto rispetto al polo $O$ , mentre a secondo membro si è considerato il contributo relativo alla massa $m$ una volta superata la massa $m_B$ ed il contributo $I_O\omega_0$ relativo al sistema delle masse $m_A$ e $m_B$ . Si noti che non si è considerato il contributo dell’asta al momento angolare totale perché ha momento d’inerzia trascurabile.

Dall’equazione (3) si trova:

(4) $\begin{equation*} \omega_0=\frac{mv_0d_B\sin\theta-m\dfrac{v_0}{2}d_B\sin\theta}{m_Ad_A^2+m_Bd_B^2}=\frac{m\dfrac{v_0}{2}d_B\sin\theta}{m_Ad_A^2+m_Bd_B^2}, \nonumber \end{equation*}$

cioè

$\boxcolorato{fisica}{\omega_0=\frac{m\dfrac{v_0}{2}d_B\sin\theta}{m_Ad_A^2+m_Bd_B^2}.}$

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