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Esercizio 10 . Si consideri un sistema costituito da due corpi e puntiformi, di massa ed , disposti agli estremi di un’asta, di massa trascurabile e lunghezza . Il sistema è libero di ruotare senza attrito nel piano verticale, attorno ad un asse passante per e perpendicolare al piano sul quale giace il sistema. Le distanze dei due punti e dal punto O sono rispettivamente e . Inizialmente il sistema è in quiete in posizione orizzontale. Ad un certo istante un proiettile di massa e velocità , inclinata di un angolo rispetto alla direzione , colpisce il corpo , attraversandolo ed uscendone con una velocità e con la stessa direzione di entrata. Per effetto dell’urto il sistema inizia a ruotare. Si imponga che valga la condizione allora sotto questa condizione, calcolare:
a) la velocità angolare del sistema immediatamente dopo l’urto;
b) la velocità del corpo quando raggiunge la posizione più bassa ;
c) la forza media orizzontale e verticale della forza impulsiva generata in durante l’urto, assunto di durata .
d) la componente media orizzontale e verticale della forza impulsiva generata tra la massa e durante l’urto, assunto di durata .
Figura 1: schema del problema.
Svolgimento punto a).
Figura 2: rappresentazione di tutte le forze agenti sul sistema nell’istante dell’urto.
Nel polo è applicata l’unica forza impulsiva esterna al sistema, ovvero , pertanto se calcoliamo il momento di rispetto al polo risulta nullo, perché la forza esterna è applicata proprio in e quindi ha braccio nullo. Si conclude che per la seconda legge cardinale dei sistemi dei punti materiali si conserva il momento angolare totale del sistema, prima e dopo l’urto, rispetto al polo . Nello studio della rotazione del sistema, risulta utile osservare che poiché l’asta che collega le masse e ha massa trascurabile, il momento d’inerzia del sistema si trova come somma dei momenti d’inerzia dei due punti materiali rispetto all’asse di rotazione passante per il punto e perpendicolare al piano sul quale giace il sistema. Ricordando che il momento d’inerzia di un punto materiale rispetto a un polo è dato da
(1)
dove è la distanza , avremo allora che per il sistema in esame varrà
(2)
dove si sono indicati con e i momenti d’inerzia delle masse e rispettivamente. Poiché il sistema è libero di ruotare attorno al punto , e come abbiamo detto in precedenza il momento angolare del sistema si conserva prima e dopo l’urto, e cioè:
(3)
al primo membro dell’equazione (3) è presente il contributo al momento angolare totale dovuto alla massa prima dell’urto rispetto al polo , mentre a secondo membro si è considerato il contributo relativo alla massa una volta superata la massa ed il contributo relativo al sistema delle masse e . Si noti che non si è considerato il contributo dell’asta al momento angolare totale perché ha momento d’inerzia trascurabile.
Dall’equazione (3) si trova:
(4)
cioè
Svolgimento punto b).
Figura 3: rappresentazione del sistema di riferimento scelto per analizzare il sistema fisico dopo l’urto.
Il centro di massa del sistema ha coordinate:
(5)
siccome , si ha . L’asta ruota senza attrito in un piano verticale rispetto ad un asse passante per e perpendicolare al piano sul quale giace, e quindi si muove di moto circolare rispetto al polo . Dalla teoria dei sistemi dei punti materiali sappiamo che possiamo immaginare la massa tutta concentrata nel centro di massa , per cui mentre l’asta ruota non c’è variazione di energia potenziale, perché la forza peso rimane sempre applicata nello stesso punto, cioè , e quindi non varia la sua quota; in figura 4 la rappresentazione del moto dell’asta in un generico istante t:
Figura 4: rappresentazione del moto del sistema fisico in un generico istante durante il suo moto dopo l’urto.
Quindi dalla conservazione dell’energia risulta che
(6)
cioè l’energia cinetica iniziale, che è puramente rotazionale, è uguale all’energia rotazionale in un generico istante , da cui , cioè la velocità angolare è costante. Dai fatti ottenuti si ha che l’asta si muove di moto circolare uniforme. Questo risultato si poteva anche dedurre dal fatto che siccome la forza peso è applicata nel centro di massa del sistema si ha che il suo momento rispetto al polo è nullo, allora applicando la seconda legge cardinale della dinamica si ottiene
(7)
da cui e quindi il moto è circolare uniforme. Altrimenti, ancora, è possibile presentare un altro punto di vista. Si consideri la figura 5.
Figura 5: rappresentazione delle forze agenti sul sistema fisico dopo l’urto.
Calcoliamo il momento delle due forze peso e rispetto al polo :
(8)
e
(9)
da cui, sommando e , si ottiene
(10)
Nuovamente concludiamo che la somma dei momenti esterni rispetto al polo è nulla (in ogni istante o in altri termini per ogni valore di ) e pertanto l’accelerazione angolare è costante, da cui . Per determinare la velocità lineare della massa nel suo punto più basso, osserviamo che l’asse di rotazione del sistema si trova in corrispondenza del centro di massa del sistema e quindi è possibile determinare usando la sua relazione con . Infatti, essendo il moto di un moto circolare uniforme con velocità angolare , risulterà
che rappresenta la soluzione al punto b) del problema.
Svolgimento punto c).
Figura 6: rappresentazione della forza impulsiva e della forza peso .
Applicando al sistema la prima legge cardinale dei sistemi dei punti materiali si ha
(11)
da cui, integrando nell’intervallo (durata dell’urto) ambo i membri dell’equazione (??), si ottiene
(12)
(13)
dove è la variazione della quantità di moto totale del sistema. Si ha
(14)
dove è la forza media di .
Figura 7: rappresentazione delle componenti della forza nel sistema di riferimento .
Sfruttando (14) possiamo riscrivere (13) come segue
(15)
Il problema chiede in particolare di calcolare i moduli delle componenti e ; procediamo osservando che, orizzontalmente, la quantità di moto è associata solamente al moto del proiettile, dato che dopo durante l’urto le masse e si muovono soltanto verticalmente. Avremo dunque:
(16)
cioè
La componente verticale sarà data da
(17)
cioè
(18)
o anche
(19)
infine
dove nella variazione di quantità di moto, abbiamo inserito i contributi dovuti alle masse e , le quali hanno velocità lineari rispettivamente e .
Svolgimento punto d).
(20)
da cui
(21)
i.e.
Fonte Esercizio.
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