Esercizio corpo rigido 3

Dinamica del corpo rigido

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Esercizio 3  (\bigstar\bigstar \largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). L’asse del cilindro rappresentato in figura è fisso e il cilindro è inizialmente fermo. Il blocco di massa M si muove inizialmente verso destra senza attrito con velocità v_1 e, passando sopra al cilindro, si porta nella posizione tratteggiata. Al primo contatto col cilindro, il blocco scivola su di esso ma l’attrito è talmente elevato che lo scivolamento cessa prima che M perda contatto col cilindro. Il cilindro ha raggio R e momento d’inerzia I.
Esprimere v_2 in funzione di v_1, M, I e R.

 

 

 

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Svolgimento. Il blocco M che prima di toccare il cilindro di raggio R procede di moto rettilineo uniforme per il principio d’inerzia non essendoci forze di attrito.
Arrivato in prossimità del cilindro, tra i due è presente una forza di attrito uguale ed opposta su entrambi per il terzo principio della dinamica di durata molto breve [3] come in figura 1

 

 

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Tale forza genera un impulso \vec{j} uguale ed opposto sul cilindro e sulla massa M per il terzo principio della dinamica come in figura 2

 

 

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Dalla definzione di impulso sappiamo che

    \[\vert \vec{j} \vert = M(v_1-v_2)\quad \text{con}\,\, v_1>v_2\]

poichè il blocco m dopo aver attraversato il cilindro avrà una velocità inferiore per il rallentamento dovuto alla forza di attrito.\\
Determiniamo il modulo dell’impulso rispetto al centro del cilindro

(1)   \begin{equation*} \vert \vec{R}\wedge \vec{j} \vert = RM (v_1-v_2). \end{equation*}

e, sapendo che il cilindro ruota rispetto al proprio centro di massa, il modulo della variazione del momento angolare è data da:

(2)   \begin{equation*} \vert \Delta \vec{L} \vert = I \vert \vec{\omega} \vert \end{equation*}

dove I è il momento d’inerzia del cilindro rispetto al proprio centro di massa e \vert \vec{\omega} \vert è la velocità angolare del cilindro dopo che M ha raggiunto l’altro piano orizzontale.
Siccome abbiamo assunto che M sia trasportata dal cilindro senza scivolare ovvero che i due abbiano velocità relativa nulla vale che

    \[v_2=\omega R\]

da cui

(3)   \begin{equation*} \vert \Delta \vec{L} \vert = I \vert \vec{\omega} \vert = I \dfrac{v_2}{R}. \end{equation*}

Applichiamo (7) e con (1) e (3) abbiamo

    \[MR(v_2-v_1)=-I\dfrac{v_2}{R} \Leftrightarrow v_2 \left(MR + \dfrac{I}{R}\right) = MR v_1 \Leftrightarrow v_2 = \dfrac{MR \, v_1}{MR+\frac{I}{R}} = \dfrac{v_1}{1+\frac{I}{MR^2}}\]

Dunque l’espressione di v_2 in funzione di v_1, M, I e R è quella che segue

    \[\boxcolorato{fisica}{ v_2 = \dfrac{v_1}{1+\dfrac{I}{MR^2}} .}\]

 

Richiami teorici.

Ricordiamo la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(4)   \begin{equation*} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -m \vec{v}_{O^\prime} \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_{O^\prime}}{dt} \end{equation*}

dove \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutti i momenti esterni al sistema, \vec{v}_O\prime è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema, \vec{v}_{CM} è la velocità del centro di massa ed infine \vec{L}_O\prime è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo O^\prime.
Per il calcolo dei momenti scegliamo un polo fisso per cui

    \[\vec{v}_{O^\prime} \wedge \vec{v}_{CM}=\vec{0}\]

e quindi (4) diventa

(5)   \begin{equation*} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{L}_{O^\prime}}{dt}. \end{equation*}

Per comodità denotiamo

    \[\displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}}={\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}}_{\tiny{\text{tot}}}\]

e quindi riscriviamo (5) come segue

(6)   \begin{equation*} {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}}_{\tiny{\text{tot}}} = \dfrac{d\vec{L}_{O^\prime}}{dt}. \end{equation*}

Integriamo tra un istante iniziale t_i e un istante successivo t_f [1]

(7)   \begin{equation*} \int_{t_i}^{t_f}{\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}}_{\tiny{\text{tot}}} \, dt = \int_{t_i}^{t_f} \dfrac{d\vec{L}_{O^\prime}}{dt}\, dt =\Delta \vec{L}=\vec{L}_f-\vec{L}_i. \end{equation*}

Il risultato espresso in (7) ci dice che l’azione di un momento o più momenti esterni al sistema, in un intervallo di tempo, causano una variazione finita del momento angolare.
Si definisce impulso angolare o impulso del momento angolare  il seguente integrale

    \[\int_{t_i}^{t_f}{\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}}_{\tiny{\text{tot}}} \, dt\]

e si definisce il risultato espresso in (7) come teorema dell’impulso angolare.

Possiamo riscrivere

    \[{\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}}_{\tiny{\text{tot}}}=\displaystyle \sum_{k=1}^n \vec{r}_k\wedge {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}}\]

dove \vec{r}_k\wedge {\vec{F}_k\,} è il prodotto vettoriale tra la forza esterna e il vettore che congiunge il polo con il punto di applicazione della forza. \\
Pertanto (7) diventa

(8)   \begin{equation*} \int_{t_i}^{t_f}{\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}}_{\tiny{\text{tot}}}\, dt = \int_{t_i}^{t_f}\left( \displaystyle \sum_{k=1}^n \vec{r}_k\wedge {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} \right)\, dt =\Delta \vec{L}=\vec{L}_f-\vec{L}_i. \end{equation*}

Possiamo portare fuori \displaystyle\sum_{k=1}^n \vec{r}_k dall’integrale perchè non dipende dal tempo, ottenendo

(9)   \begin{equation*} \displaystyle \sum_{k=1}^n \vec{r}_k\wedge \int_{t_i}^{t_f} {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} \, dt =\Delta \vec{L}=\vec{L}_f-\vec{L}_i \end{equation*}

ed inoltre

    \[\int_{t_i}^{t_f} {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} \, dt\]

è proprio l’impulso \vec{j} [2] quindi possiamo riscrivere la (9) come segue

(10)   \begin{equation*} \vec{r} \wedge \vec{j} = \Delta\vec{L} \end{equation*}

dunque l’applicazione di un impulso non solo genera una variazione della quantità di moto ma anche del momento angolare e questa situazione può essere assunta ad esempio per mettere in rotazione un corpo rigido rispetto ad un asse fisso o per farlo rotolare su un piano orizzontale o inclinato.

 

1. L’intervallo di tempo t \in [t_i,t_f] è un intervallo di tempo della durata piccolissima, come ad esempio il tempo di durata di un urto brevissimo o la durata dell’applicazione di un momento esterno al sistema molto breve e così via. Solitamente i momenti sono generati da forze esterne di natura impulsiva (Una forza impulsiva è una forza che agisce per un lasso di tempo molto breve) applicate ad una distanza r dal polo dove si calcola il momento..

 

2. In generale nell’integrale abbiamo una forza di natura impulsiva che si manifesta in un intervallo di tempo di durata brevissima e l’integrale di tale forza che è definito come impulso il quale genera una variazione della quantità di moto. \\ Dimostriamo tale fatto. Ricordiamo il secondo principio della dinamica: in un sistema di riferimento inerziale la somma di tutte le forze agenti su un punto materiale uguaglia la derivata della quantità di moto rispetto al tempo:

(11)   \begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}\vec{F}_k=\dfrac{d\vec{P}}{dt} \end{equation*}

dove \vec{P}=m\vec{v}.
Per comodità immaginiamo di avere un punto materiale e su di esso applichiamo una forza di natura impulsiva \vec{F} e applichiamo (11)

    \[\vec{F}=\dfrac{d\vec{P}}{dt}\]

integriamo tra t_i\leq t \leq t_f ovvero la durata di tempo in cui è stata applicata tale forza

    \[\int_{t_i}^{t_f}\vec{F}\, dt=\int_{t_i}^{t_f}\dfrac{d\vec{P}}{dt}\, dt\quad \Leftrightarrow \quad \int_{t_i}^{t_f}\vec{F}\, dt =\Delta \vec{p}= \vec{p}_f- \vec{p}_i.\]

Si definisce impulso

    \[\vec{j}=\int_{t_i}^{t_f}\vec{F}\, dt\]

da cui

(12)   \begin{equation*} \vec{j}=\int_{t_i}^{t_f}\vec{F}\, dt=\Delta \vec{p}. \end{equation*}

Il risultato (12) ci dice che dato un punto materiale, se su di esso è applicata una forza, ad esempio di natura impulsiva, l’integrale di tale forza in un intervallo di tempo genera una variazione della quantità di moto e tale integrale si definisce come impulso.\\
Nel caso di un sistema continuo o discreto di punti materiali dobbiamo prima ricordare che la somma di tutte le forze esterne uguaglia la derivata della quantità di moto totale rispetto al tempo

(13)   \begin{equation*} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt} \end{equation*}

dove \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutte le forze esterne, \vec{P}_t è la quantità di moto totale del sistema e in modo analogo partendo da (13) si dimostra che l’impulso uguaglia la variazione della quantità di moto totale del sistema.

 

3. Per durata si intende il tempo necessario al blocco per passare da un lato all’altro dei due piani orizzontali.

 

 

 

Fonte: D.Halliday, R.Resnick, J.Walker – Fondamenti di fisica, Meccanica, Zanichelli.