Esercizio corpo rigido 3

Dinamica del corpo rigido

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Esercizio 3 (\bigstar\bigstar \largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). L’asse del cilindro rappresentato in figura è fisso e il cilindro è inizialmente fermo. Il blocco di massa M si muove inizialmente verso destra senza attrito con velocità v_1 e, passando sopra al cilindro, si porta nella posizione tratteggiata. Al primo contatto col cilindro, il blocco scivola su di esso ma l’attrito è talmente elevato che lo scivolamento cessa prima che M perda contatto col cilindro. Il cilindro ha raggio R e momento d’inerzia I.
Esprimere v_2 in funzione di v_1, M, I e R.

 

 

 

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Svolgimento. Il blocco M che prima di toccare il cilindro di raggio R procede di moto rettilineo uniforme per il principio d’inerzia non essendoci forze di attrito.
Arrivato in prossimità del cilindro, tra i due è presente una forza di attrito uguale ed opposta su entrambi per il terzo principio della dinamica di durata molto breve [3] come in figura 1

 

 

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Tale forza genera un impulso \vec{j} uguale ed opposto sul cilindro e sulla massa M per il terzo principio della dinamica come in figura 2

 

 

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Dalla definzione di impulso sappiamo che

    \[\vert \vec{j} \vert = M(v_1-v_2)\quad \text{con}\,\, v_1>v_2\]

poichè il blocco m dopo aver attraversato il cilindro avrà una velocità inferiore per il rallentamento dovuto alla forza di attrito.\\
Determiniamo il modulo dell’impulso rispetto al centro del cilindro

(1)   \begin{equation*} \vert \vec{R}\wedge \vec{j} \vert = RM (v_1-v_2). \end{equation*}

e, sapendo che il cilindro ruota rispetto al proprio centro di massa, il modulo della variazione del momento angolare è data da:

(2)   \begin{equation*} \vert \Delta \vec{L} \vert = I \vert \vec{\omega} \vert \end{equation*}

dove I è il momento d’inerzia del cilindro rispetto al proprio centro di massa e \vert \vec{\omega} \vert è la velocità angolare del cilindro dopo che M ha raggiunto l’altro piano orizzontale.
Siccome abbiamo assunto che M sia trasportata dal cilindro senza scivolare ovvero che i due abbiano velocità relativa nulla vale che

    \[v_2=\omega R\]

da cui

(3)   \begin{equation*} \vert \Delta \vec{L} \vert = I \vert \vec{\omega} \vert = I \dfrac{v_2}{R}. \end{equation*}

Applichiamo (7) e con (1) e (3) abbiamo

    \[MR(v_2-v_1)=-I\dfrac{v_2}{R} \Leftrightarrow v_2 \left(MR + \dfrac{I}{R}\right) = MR v_1 \Leftrightarrow v_2 = \dfrac{MR \, v_1}{MR+\frac{I}{R}} = \dfrac{v_1}{1+\frac{I}{MR^2}}\]

Dunque l’espressione di v_2 in funzione di v_1, M, I e R è quella che segue

    \[\boxcolorato{fisica}{ v_2 = \dfrac{v_1}{1+\dfrac{I}{MR^2}} .}\]

 

Richiami teorici.

Ricordiamo la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(4)   \begin{equation*} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -m \vec{v}_{O^\prime} \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_{O^\prime}}{dt} \end{equation*}

dove \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutti i momenti esterni al sistema, \vec{v}_O\prime è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema, \vec{v}_{CM} è la velocità del centro di massa ed infine \vec{L}_O\prime è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo O^\prime.
Per il calcolo dei momenti scegliamo un polo fisso per cui

    \[\vec{v}_{O^\prime} \wedge \vec{v}_{CM}=\vec{0}\]

e quindi (4) diventa

(5)   \begin{equation*} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{L}_{O^\prime}}{dt}. \end{equation*}

Per comodità denotiamo

    \[\displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}}={\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}}_{\tiny{\text{tot}}}\]

e quindi riscriviamo (5) come segue

(6)   \begin{equation*} {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}}_{\tiny{\text{tot}}} = \dfrac{d\vec{L}_{O^\prime}}{dt}. \end{equation*}

Integriamo tra un istante iniziale t_i e un istante successivo t_f [1]

(7)   \begin{equation*} \int_{t_i}^{t_f}{\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}}_{\tiny{\text{tot}}} \, dt = \int_{t_i}^{t_f} \dfrac{d\vec{L}_{O^\prime}}{dt}\, dt =\Delta \vec{L}=\vec{L}_f-\vec{L}_i. \end{equation*}

Il risultato espresso in (7) ci dice che l’azione di un momento o più momenti esterni al sistema, in un intervallo di tempo, causano una variazione finita del momento angolare.
Si definisce impulso angolare o impulso del momento angolare  il seguente integrale

    \[\int_{t_i}^{t_f}{\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}}_{\tiny{\text{tot}}} \, dt\]

e si definisce il risultato espresso in (7) come teorema dell’impulso angolare.

Possiamo riscrivere

    \[{\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}}_{\tiny{\text{tot}}}=\displaystyle \sum_{k=1}^n \vec{r}_k\wedge {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}}\]

dove \vec{r}_k\wedge {\vec{F}_k\,} è il prodotto vettoriale tra la forza esterna e il vettore che congiunge il polo con il punto di applicazione della forza. \\
Pertanto (7) diventa

(8)   \begin{equation*} \int_{t_i}^{t_f}{\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}}_{\tiny{\text{tot}}}\, dt = \int_{t_i}^{t_f}\left( \displaystyle \sum_{k=1}^n \vec{r}_k\wedge {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} \right)\, dt =\Delta \vec{L}=\vec{L}_f-\vec{L}_i. \end{equation*}

Possiamo portare fuori \displaystyle\sum_{k=1}^n \vec{r}_k dall’integrale perchè non dipende dal tempo, ottenendo

(9)   \begin{equation*} \displaystyle \sum_{k=1}^n \vec{r}_k\wedge \int_{t_i}^{t_f} {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} \, dt =\Delta \vec{L}=\vec{L}_f-\vec{L}_i \end{equation*}

ed inoltre

    \[\int_{t_i}^{t_f} {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} \, dt\]

è proprio l’impulso \vec{j} [2] quindi possiamo riscrivere la (9) come segue

(10)   \begin{equation*} \vec{r} \wedge \vec{j} = \Delta\vec{L} \end{equation*}

dunque l’applicazione di un impulso non solo genera una variazione della quantità di moto ma anche del momento angolare e questa situazione può essere assunta ad esempio per mettere in rotazione un corpo rigido rispetto ad un asse fisso o per farlo rotolare su un piano orizzontale o inclinato.

 

1. L’intervallo di tempo t \in [t_i,t_f] è un intervallo di tempo della durata piccolissima, come ad esempio il tempo di durata di un urto brevissimo o la durata dell’applicazione di un momento esterno al sistema molto breve e così via. Solitamente i momenti sono generati da forze esterne di natura impulsiva (Una forza impulsiva è una forza che agisce per un lasso di tempo molto breve) applicate ad una distanza r dal polo dove si calcola il momento.. ↩

 

2. In generale nell’integrale abbiamo una forza di natura impulsiva che si manifesta in un intervallo di tempo di durata brevissima e l’integrale di tale forza che è definito come impulso il quale genera una variazione della quantità di moto. \\ Dimostriamo tale fatto. Ricordiamo il secondo principio della dinamica: in un sistema di riferimento inerziale la somma di tutte le forze agenti su un punto materiale uguaglia la derivata della quantità di moto rispetto al tempo:

(11)   \begin{equation*} \sum_{k=1}^{n}\vec{F}_k=\dfrac{d\vec{P}}{dt} \end{equation*}

dove \vec{P}=m\vec{v}.
Per comodità immaginiamo di avere un punto materiale e su di esso applichiamo una forza di natura impulsiva \vec{F} e applichiamo (11)

    \[\vec{F}=\dfrac{d\vec{P}}{dt}\]

integriamo tra t_i\leq t \leq t_f ovvero la durata di tempo in cui è stata applicata tale forza

    \[\int_{t_i}^{t_f}\vec{F}\, dt=\int_{t_i}^{t_f}\dfrac{d\vec{P}}{dt}\, dt\quad \Leftrightarrow \quad \int_{t_i}^{t_f}\vec{F}\, dt =\Delta \vec{p}= \vec{p}_f- \vec{p}_i.\]

Si definisce impulso

    \[\vec{j}=\int_{t_i}^{t_f}\vec{F}\, dt\]

da cui

(12)   \begin{equation*} \vec{j}=\int_{t_i}^{t_f}\vec{F}\, dt=\Delta \vec{p}. \end{equation*}

Il risultato (12) ci dice che dato un punto materiale, se su di esso è applicata una forza, ad esempio di natura impulsiva, l’integrale di tale forza in un intervallo di tempo genera una variazione della quantità di moto e tale integrale si definisce come impulso.\\
Nel caso di un sistema continuo o discreto di punti materiali dobbiamo prima ricordare che la somma di tutte le forze esterne uguaglia la derivata della quantità di moto totale rispetto al tempo

(13)   \begin{equation*} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt} \end{equation*}

dove \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutte le forze esterne, \vec{P}_t è la quantità di moto totale del sistema e in modo analogo partendo da (13) si dimostra che l’impulso uguaglia la variazione della quantità di moto totale del sistema. ↩

 

3. Per durata si intende il tempo necessario al blocco per passare da un lato all’altro dei due piani orizzontali. ↩

 

 

 

Fonte: D.Halliday, R.Resnick, J.Walker – Fondamenti di fisica, Meccanica, Zanichelli.