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Esercizio 2 . Sia un sistema fisico composto da tre corpi rigidi omogenei: un disco di massa e raggio , un’asta (prima asta) di massa e lunghezza , una seconda asta di massa e lunghezza , come rappresentato in figura 1. L ‘estremo della prima asta coincide con il centro del disco, l’estremo coincide con il centro della seconda asta. La seconda asta è disposta ortogonalmente rispetto alla prima asta, come si può dedurre dalla figura 1. Calcolare:
1) le coordinate del centro di massa nel sistema di riferimento ;
2) il momento d’inerzia del sistema fisico in esame rispetto ad un asse passante per il punto e ortogonale al piano .
Si consideri un nuovo sistema di riferimento fisso tale per cui , l’asse sia coincidente con la seconda asta e l’asse . Il disco e la prima asta in questa nuova configurazione ruotano con velocità angolare costante rispetto all’asse . Nel nuovo sistema di riferimento, si calcoli:
3) la velocità del centro di massa ;
4) il modulo della quantità di moto totale ;
5) l’energia cinetica totale e quella rispetto al centro di massa .
Richiami teorici.
(1)
dove è la massa totale del sistema, è L’energia cinetica rispetto al centro di massa e è l’energia cinetica del centro di massa rispetto ad un sistema inerziale. Formulando la relazione precedente in forma discorsiva, possiamo affermare quanto segue: l’energia totale del sistema rispetto ad un sistema di riferimento inerziale è la somma dell’energia dovuto al moto del centro di massa sommato a quello del sistema rispetto al centro di massa.
Svolgimento Punto 1.
(2)
Si conclude che la posizione del centro di massa è
Svolgimento Punto 2.
(3)
dove è il momento d’inerzia del disco rispetto al suo centro di massa e è la distanza di questo punto dall’asse di rotazione passante per . Anche il momento d’inerzia dell’asta lo si può calcolare utilizzando Huygens-Steiner
(4)
Il momento d’inerzia dell’ultima asta è semplicemente . Sommando tutti i momenti d’inerzia ottenuti dalle precedenti equazioni si ottiene
(5)
cioè
Svolgimento Punto 3.
Il sistema si muove rigidamente con velocità angolare costante rispetto all’asse , pertanto il centro di massa si muoverà di moto circolare uniforme. Il centro della circonferenza è e il suo raggio è ; la velocità del centro di massa ha direzione tangente alla circonferenza e modulo pari a
Svolgimento Punto 4.
Svolgimento Punto 5.
(6)
dove è la velocità angolare del corpo rigido e è il momento d’inerzia rispetto all’asse di rotazione.
Pertanto nel nostro caso e , da cui (6) diventa
cioè l’energia totale del sistema. Per calcolare l’energia cinetica rispetto al centro di massa è possibile utilizzare il teorema di König per l’energia cinetica\footnote{Ricordiamo il teorema di Knig per l’energia cinetica:
(7)
dove è la massa totale del sistema, è L’energia cinetica rispetto al centro di massa e è l’energia cinetica del centro di massa rispetto ad un sistema inerziale. Formulando la relazione precedente in forma discorsiva, possiamo affermare quanto segue: l’energia totale del sistema rispetto ad un sistema di riferimento inerziale è la somma dell’energia dovuto al moto del centro di massa sommato a quello del sistema rispetto al centro di massa.} che mette in relazione l’energia cinetica totale del sistema, l’energia cinetica del centro di massa e l’energia cinetica rispetto al centro di massa ( ovvero quella che misurerebbe un osservatore posizionato nel sistema di riferimento del centro di massa), cioè
(8)
L’energia cinetica del centro di massa è
(9)
da cui
(10)
in altri termini
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