Esercizio corpo rigido 1

Dinamica del corpo rigido

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Esercizio 1  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Due dischi rigidi (m_1, R_1, m_2 e R_2) sono connessi come in figura da una cinghia indeformabile. All’asse del primo disco è connesso un motore che puo’ fornire un momento costante M_1, mentre sull’asse del secondo disco agisce un momento frenante costante M_2. Al tempo t=0 il motore comincia ad agire facendo ruotare il primo disco.

  1. Calcolare la velocità angolare del secondo disco al tempo t=t_1.
  2. Calcolare quanto lavoro è stato fornito dal motore in questo tempo.

Si assume che la cinghia non slitti rispetto ai dischi.

 

 

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Svolgimento.  Ricordiamo la prima e la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt}\\ \\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -m \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_O}{dt} \end{cases} \end{equation*}

dove \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutte le forze esterne, \vec{P}_t è la quantità di moto totale del sistema, \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutti i momenti esterni al sistema, \vec{v}_O è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema , \vec{v}_{CM} è la velocità del centro di massa ed infine \vec{L}_O è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo O.

 

Punto 1.
Scegliamo tre sistemi di riferimento fissi Oxy, O^\prime x^\prime y^\prime con O^\prime coincidente con il centro del disco di raggio R_1 ed infine O^{\prime \prime }x^{\prime \prime }y^{\prime \prime } con O^{\prime \prime} coincidente con il centro del disco di raggio R_2 come illustrato nella figura che segue:

 

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dove x\equiv x^\prime \equiv x^{\prime\prime}. In figura che segue la visione 3d dei momenti applicati hai dischi

 

 

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Osserviamo che entrambi i dischi possiedo una certa simmetria rispetto ad un asse passante per il proprio centro di massa e inoltre se scegliamo per entrambi come polo il loro centro di massa per il calcolo dei momenti esterni, da (1) possiamo imporre il seguente sistema:

    \[\begin{cases} \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\vec{M}^{ext}_k=I_1 \vec{\alpha}_1\\ \displaystyle \sum_{j=1}^{n}\vec{M}^{ext}_j=I_2 \vec{\alpha}_2 \end{cases}\]

dove I_1 è il momento d’inerzia del disco di raggio R_1 rispetto ad un asse passante per il proprio centro di massa, I_2 è il momento d’inerzia del disco di raggio R_2 rispetto ad un asse passante per il proprio centro di massa, \vec{\alpha}_1 è l’accelerazione angolare del disco di raggio R_1 e \vec{\alpha}_2 è l’accelerazione angolare del disco di raggio R_2. I dischi sono collegati da una cinghia inestensibile e di massa trascurabile che su di essi genera due tensioni \vec{T}_1 e \vec{T}_2 uguali ed opposte, per il principio di azione e reazione, che generano due momenti esterni su entrambi i dischi e inoltre sul disco di raggio R_1 abbiamo il momento M_1 e sul disco di raggio R_2 abbiamo il momento M_2. Per il disco di raggio R_1 scegliamo come polo il proprio centro di massa e analogamente per il disco di raggio R_2 scegliamo il proprio centro di massa:

    \[\begin{cases} -T_1 \, R_1 + T_2 \, R_1 + M_1 =I_{CM,1} \, \alpha_1 = \dfrac{1}{2} m_1 R_1^2 \, \alpha_1\\ T_1 \, R_2- T_2\, R_2 - M_2 = I_{CM,2} \, \alpha_2 = \dfrac{1}{2} m_2 R_2^2 \, \alpha_2 \end{cases}\]

Moltiplicando la prima equazione del sistema per R_2 e la seconda equazione del sistema per R_1, il sistema diventa:

    \[\begin{cases} -T_1 \, R_1R_2 + T_2 \, R_1R_2 + M_1R_2 =I_{CM,1} \, \alpha_1R_2 = \dfrac{1}{2} m_1 R_1^2R_2 \, \alpha_1\\ T_1 \, R_2R_1- T_2\, R_2R_1 - M_2 R_1= I_{CM,2} \, \alpha_2 R_1= \dfrac{1}{2} m_2 R_2^2R_1 \, \alpha_2 \end{cases}\]

e sommando membro a membro le due equazioni otteniamo:

(2)   \begin{equation*} M_1 R_2 - M_2 R_1 = \dfrac{1}{2}m_1 R_1^2 R_2\alpha_1 + \dfrac{1}{2} m_2 R_2^2 R_1 \alpha_2 \end{equation*}

Dal momento che i due dischi sono collegati da una cinghia indeformabile, essi percorrono spazi uguali in tempi uguali e quindi la loro velocità tangenziale è la stessa:

    \[V_1 = V_2 \quad  \Leftrightarrow \quad R_1 \omega_1 = R_2 \omega_2 \quad \Rightarrow \quad R_1 \alpha_1 = R_2 \alpha_2 \quad \Leftrightarrow \quad \boxed{\alpha_1 = \dfrac{R_2 \alpha_2}{R_1}}\]

Sostituendo il risultato appena ottenuto in (2) abbiamo

    \[M_1R_2-M_2R_1 = \dfrac{1}{2} m_1R_1^2R_2 \; \left( \dfrac{R_2}{R_1} \alpha_2 \right) + \dfrac{1}{2}m_2 R_2^2R_1 \alpha_2\]

da cui

    \[\alpha_2 = \dfrac{M_1R_2-M_2R_1}{\frac{1}{2} R_1R_2^2 (m_1+m_2)}.\]

Notiamo che l’accelerazione angolare \alpha_2 è costante e quindi possiamo applicare:

    \[\omega_2(t)=\omega_i+\alpha_2 t\]

posto \omega_i=0\; \mathrm{rad}/\mathrm{s} e t=t_1 otteniamo

    \[\omega_2 = \alpha_2 t_1 = \left( \dfrac{M_1R_2-M_2R_1}{\frac{1}{2} R_1R_2^2 (m_1+m_2)}\right) t_1\]

Concludiamo che la risposta al punto 1 del problema è quella che segue:

    \[\boxcolorato{fisica}{ \omega_2 = \alpha_2 t_1 = \left( \dfrac{M_1R_2-M_2R_1}{\frac{1}{2} R_1R_2^2 (m_1+m_2)}\right) t_1.}\]

Punto 2. 

Ricordiamo che il lavoro di un momento è definito come segue

    \[L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} M \; d\theta\]

dove M è il momento.\\
Posto M=M_1 otteniamo

    \[L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} M_1 \; d\theta\]

e poichè M_1 è costante abbiamo

    \[L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} M_1 \; d\theta = M_1\int_{\theta_1}^{\theta_2} d\theta = M_1 (\theta_2-\theta_1)\]

dove (\theta_2-\theta_1) è lo spazio angolare fatto dal disco di raggio R_1 nell’intervallo di tempo t \in [0,t_1]:

(3)   \begin{equation*} \theta_2-\theta_1=\dfrac{1}{2} \alpha_1 t_1^2. \end{equation*}

Sostituendo \alpha_1=\dfrac{R_2}{R_1} \alpha_2 in (3) abbiamo

    \[\theta_2-\theta_1=\dfrac{1}{2} \alpha_1 t_1^2 = \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{R_2}{R_1} \alpha_2\right) t^2_1\]

dunque

    \[L=\dfrac{t^2_1R_2M_1\alpha_2}{2R_1}\]

e concludiamo che la risposta al punto 2 del problema è:

    \[\boxcolorato{fisica}{ L=\dfrac{t^2_1R_2M_1\alpha_2}{2R_1} .}\]

 

 

 

Fonte: P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Fisica, Edisis (1992)