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Esercizio corpo rigido 1

Dinamica del corpo rigido

Home » Esercizio corpo rigido 1

L’Esercizio corpo rigido 1 è il primo della raccolta dedicata agli esercizi misti sul corpo rigido. Questo esercizio introduce gli studenti ai concetti fondamentali e precede l’Esercizio Corpo Rigido 2. È pensato per studenti di Fisica 1, in particolare per chi studia ingegneria, fisica o matematica.

Nel percorso didattico di Fisica 1, prima di affrontare i corpi rigidi, si studiano gli esercizi sui sistemi di punti materiali. Successivamente, si passa agli esercizi sugli urti tra punti materiali e corpi rigidi, che rappresentano un momento di sintesi nel percorso formativo.

Gli urti sono solitamente trattati per ultimi perché includono esercizi che coinvolgono sia punti materiali che corpi rigidi, rendendoli un argomento di sintesi nel percorso didattico.

 

Testo esercizio corpo rigido 1

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Due dischi rigidi (m_1, R_1, m_2 e R_2) sono connessi come in figura da una cinghia indeformabile. All’asse del primo disco è connesso un motore che puo’ fornire un momento costante M_1, mentre sull’asse del secondo disco agisce un momento frenante costante M_2. Al tempo t=0 il motore comincia ad agire facendo ruotare il primo disco.

  1. Calcolare la velocità angolare del secondo disco al tempo t=t_1.
  2. Calcolare quanto lavoro è stato fornito dal motore in questo tempo.

Si assume che la cinghia non slitti rispetto ai dischi.

 

 

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Schema di un sistema meccanico con due dischi rigidi collegati da una cinghia indeformabile. Il primo disco è soggetto a un momento motore, mentre il secondo subisce un momento frenante. La cinghia garantisce la trasmissione del moto tra i due corpi rigidi senza slittamento.

Richiami teorici.

Ricordiamo la prima e la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} = \dfrac{d\vec{P}_t}{dt}\\ \\ \displaystyle\sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} -m \vec{v}_O \wedge \vec{v}_{CM} = \dfrac{d\vec{L}_O}{dt} \end{cases} \end{equation*}

dove \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{F}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutte le forze esterne, \vec{P}_t è la quantità di moto totale del sistema, \displaystyle \sum_{k=1}^n {\vec{M}_k\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutti i momenti esterni al sistema, \vec{v}_O è la velocità del polo scelto per il calcolo del momento angolare totale del sistema, \vec{v}_{CM} è la velocità del centro di massa ed infine \vec{L}_O è il momento angolare totale del sistema rispetto al polo O.

Svolgimento Punto 1.

Scegliamo tre sistemi di riferimento fissi Oxy, O^\prime x^\prime y^\prime con O^\prime coincidente con il centro del disco di raggio R_1 ed infine O^{\prime \prime }x^{\prime \prime }y^{\prime \prime } con O^{\prime \prime} coincidente con il centro del disco di raggio R_2 come illustrato nella figura che segue.

   

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    dove x\equiv x^\prime \equiv x^{\prime\prime}. Nella figura che segue si presenta la visione 3d dei momenti esterni applicati hai dischi.    

Rendered by QuickLaTeX.com

   

Osserviamo che entrambi i dischi possiedo una certa simmetria rispetto ad un asse passante per il proprio centro di massa e inoltre se scegliamo per entrambi come polo il loro centro di massa per il calcolo dei momenti esterni, da (1) possiamo imporre il seguente sistema:

    \[\begin{cases} \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\vec{M}^{ext}_k=I_1 \vec{\alpha}_1\\ \displaystyle \sum_{j=1}^{n}\vec{M}^{ext}_j=I_2 \vec{\alpha}_2 \end{cases}\]

dove I_1 è il momento d’inerzia del disco di raggio R_1 rispetto ad un’asse passante per il proprio centro di massa e I_2 è il momento d’inerzia del disco di raggio R_2 rispetto ad un’asse passante per il proprio centro di massa, \vec{\alpha}_1 è l’accelerazione angolare del disco di raggio R_1 e \vec{\alpha}_2 è l’accelerazione angolare del disco di raggio R_2. I dischi sono collegati da una cinghia inestensibile e di massa trascurabile che su di essi genera due tensioni: sul disco di raggio R_1 abbiamo \vec{T}_1 e \vec{T}_2, mentre sul disco di raggio R_2 abbiamo -\vec{T}_1 e -\vec{T}_2. Le tensioni sono uguali ed opposte perché il filo è inestensibile e di massa trascurabile. Le 4 tensioni generano 4 momenti esterni su entrambi i dischi e inoltre sul disco di raggio R_1 abbiamo il momento M_1 e sul disco di raggio R_2 abbiamo il momento M_2. Per il disco di raggio R_1 scegliamo come polo il proprio centro di massa e analogamente per il disco di raggio R_2 scegliamo il proprio centro di massa:

    \[\begin{cases} -T_1 \, R_1 + T_2 \, R_1 + M_1 =I_{CM,1} \, \alpha_1 = \dfrac{1}{2} m_1 R_1^2 \, \alpha_1\\ T_1 \, R_2- T_2\, R_2 - M_2 = I_{CM,2} \, \alpha_2 = \dfrac{1}{2} m_2 R_2^2 \, \alpha_2 \end{cases}\]

Moltiplicando la prima equazione del sistema per R_2 e la seconda equazione del sistema per R_1, il sistema diventa:

    \[\begin{cases} -T_1 \, R_1R_2 + T_2 \, R_1R_2 + M_1R_2 =I_{CM,1} \, \alpha_1R_2 = \dfrac{1}{2} m_1 R_1^2R_2 \, \alpha_1\\ T_1 \, R_2R_1- T_2\, R_2R_1 - M_2 R_1= I_{CM,2} \, \alpha_2 R_1= \dfrac{1}{2} m_2 R_2^2R_1 \, \alpha_2 \end{cases}\]

e sommando membro a membro le due equazioni otteniamo:

(2)   \begin{equation*} M_1 R_2 - M_2 R_1 = \dfrac{1}{2}m_1 R_1^2 R_2\alpha_1 + \dfrac{1}{2} m_2 R_2^2 R_1 \alpha_2 \end{equation*}

Dal momento che i due dischi sono collegati da una cinghia indeformabile, essi percorrono spazi uguali in tempi uguali e quindi la loro velocità tangenziale è la stessa:

    \[V_1 = V_2 \Leftrightarrow R_1 \omega_1 = R_2 \omega_2 \Rightarrow R_1 \alpha_1 = R_2 \alpha_2 \Leftrightarrow \boxed{\alpha_1 = \dfrac{R_2 \alpha_2}{R_1}}\]

Sostituendo il risultato appena ottenuto in (2) abbiamo

    \[M_1R_2-M_2R_1 = \dfrac{1}{2} m_1R_1^2R_2 \; \left( \dfrac{R_2}{R_1} \alpha_2 \right) + \dfrac{1}{2}m_2 R_2^2R_1 \alpha_2\]

da cui

    \[\alpha_2 = \dfrac{M_1R_2-M_2R_1}{\dfrac{1}{2} R_1R_2^2 (m_1+m_2)}.\]

Notiamo che l’accelerazione angolare \alpha_2 è costante e quindi possiamo applicare:

    \[\omega_2(t)=\omega_i+\alpha_2 t\]

posto \omega_i=0\; \mathrm{rad}/\mathrm{s} e t=t_1 otteniamo

    \[\omega_2 = \alpha_2 t_1 = \left( \dfrac{M_1R_2-M_2R_1}{\dfrac{1}{2} R_1R_2^2 (m_1+m_2)}\right) t_1.\]

Concludiamo che la risposta al punto 1 del problema è quella che segue:

    \[\boxcolorato{fisica}{\omega_2 = \alpha_2 t_1 = \left( \dfrac{M_1R_2-M_2R_1}{\dfrac{1}{2} R_1R_2^2 (m_1+m_2)}\right) t_1.}\]

Svolgimento Punto 2.

Ricordiamo che il lavoro di un momento è definito come segue

    \[L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} M \; d\theta\]

dove M è il momento.\\ Posto M=M_1 otteniamo

    \[L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} M_1 \; d\theta\]

e poichè M_1 è costante abbiamo

    \[L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} M_1 \; d\theta = M_1\int_{\theta_1}^{\theta_2} d\theta = M_1 (\theta_2-\theta_1)\]

dove (\theta_2-\theta_1) è lo spazio angolare fatto dal disco di raggio R_1 nell’intervallo di tempo t \in [0,t_1]:

(3)   \begin{equation*} \theta_2-\theta_1=\dfrac{1}{2} \alpha_1 t_1^2. \end{equation*}

Sostituendo \alpha_1=\dfrac{R_2}{R_1} \alpha_2 in (3) abbiamo

    \[\theta_2-\theta_1=\dfrac{1}{2} \alpha_1 t_1^2 = \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{R_2}{R_1} \alpha_2\right) t^2_1\]

dunque

    \[L=\dfrac{t^2_1R_2M_1\alpha_2}{2R_1} .\]

Ricordando che

    \[\alpha_2 = \dfrac{M_1R_2-M_2R_1}{\dfrac{1}{2} R_1R_2^2 (m_1+m_2)}\]

la precedente equazione diventa

    \[L=\dfrac{t^2_1R_2M_1\alpha_2}{2R_1} =\dfrac{t^2_1R_2M_1\left( M_1R_2-M_2R_1\right)}{R_1^2R^2_2(m_1+m_2)}.\]

Concludiamo che la risposta al punto 2 del problema è:

    \[\boxcolorato{fisica}{L= \dfrac{t^2_1R_2M_1\left( M_1R_2-M_2R_1\right)}{R_1^2R^2_2(m_1+m_2)}.}\]

Fonte.

Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Fisica, Edises.

 

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    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
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    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
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