Esercizio corpo rigido 4

Dinamica del corpo rigido

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Esercizio 4  (\bigstar \largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un sistema rigido è costituito da un anello di massa m = 2 kg e raggio R=0.16 m, e da un disco avente uguali massa e raggio dell’anello, saldati nel punto S. Il sistema giace in un piano orizzontale ed è vincolato a ruotare, senza attrito, attorno ad un asse verticale passante per il centro O del disco. Calcolare

  • a) La posizione del centro di massa del sistema rispetto all’asse O.
  • b) Il momento d’inerzia del sistema rispetto all’asse di rotazione

Al sistema viene applicato un momento M costante e il sistema entra in rotazione, si osserva che la sua velocità angolare dopo 20 giri vale \omega = 6 rad/s. Calcolare

  • c) Il valore del momento M e il tempo t impiegato per effettuare 20 giri.

 

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Svolgimento.

Punto a.  I due corpi hanno il centro di massa coincidente con il loro centro, perché la massa è distribuita in modo omogeneo. Scegliamo un sistema di riferimento fisso Oxy con origine in O e orientato come in figura 2

 

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Il centro di massa dell’anello è (2R,0) e quello del disco è (0,0), da cui, si ottiene il centro di massa del sistema

(1)   \begin{equation*} x_{CM}=\dfrac{m_1 x_{CM,1} + m_2 x_{CM,2}}{m_1+m_2}=\dfrac{2m_1R}{m_1+m_2}=\dfrac{2mR}{2m}=R, \end{equation*}

cioè

    \[\boxcolorato{fisica}{ x_{CM} =R=0,16\,\text{m}.}\]

 

Punto b.  Il momento d’inerzia di un sistema di corpi rigidi si calcola come somma dei singoli momenti d’inerzia di ciascun corpo rigido rispetto all’asse di rotazione. Il momento d’inerzia dell’anello rispetto all’asse di rotazione passante per l’origine O lo si può ottenere sfruttando il teorema di Huygens-Steiner:

(2)   \begin{equation*} I_{1,O}= m R^2+m(2 R)^2= 5 m R^2 \end{equation*}

dove m R^2 è il momento d’inerzia del disco rispetto al proprio centro di massa e 2R è la distanza tra O e il centro di massa dell’anello. Il punto O coincide con il centro di massa del disco, pertanto, il momento d’inerzia del disco rispetto all’asse di rotazione è I_{2,CM}=(1/2)mR^2, cioè il momento d’inerzia del disco rispetto al proprio centro di massa. Il momento d’inerzia del sistema è la somma dei singoli momenti d’inerzia del disco e dell’anello, sempre rispetto all’asse di rotazione passante per O, cioè

(3)   \begin{equation*} I_{O}=I_{1,O}+I_{2,O}=5 m R^2+\dfrac{1}{2}mR^2=\dfrac{11}{2}mR^2. \end{equation*}

Si conclude che

    \[\boxcolorato{fisica}{ I_{O}= \dfrac{11}{2}mR^2=0,28\,\text{kg$\cdot$m}^2.}\]

 

 

Punto c.  Al sistema viene applicato un momento esterno M e inizia a ruotare rispetto all’asse passante per O. Dalla seconda legge cardinale per i corpi rigidi si ha

(4)   \begin{equation*} M=I_O\alpha\quad \Leftrightarrow \quad \alpha =\dfrac{M}{I_O}, \end{equation*}

da cui \alpha è costante perché M è costante. Per calcolare il valore del momento M dobbiamo calcolare prima l’accelerazione angolare, che essendo costante può essere calcolata utilizzando le seguenti relazioni

(5)   \begin{equation*} \omega(t) = \alpha t, \qquad \qquad \theta(t) = {1\over 2}\alpha t^2. \end{equation*}

Sappiamo che dopo 20 giri il sistema ha percorso uno spazio angolare pari ad \theta = 20\cdot 2\pi = 40\pi e in tale istante ha una velocità angolare di \omega = 6 rad/s, per cui, sfruttando (5) si ottiene

(6)   \begin{align*} \theta ={1\over 2}\alpha t^2 \quad \Leftrightarrow \quad \alpha = {2\over t^2}\theta = {2\over t^2}\cdot 40\pi= {80\pi\over t^2}, \end{align*}

ovvero il valore dell’accelerazione angolare in funzione dell’istante t; pertanto, sostituendo nella legge oraria per la velocità angolare, otteniamo

(7)   \begin{equation*} \omega = \alpha t = {80\pi\over t^2}t = {80\pi\over t} \quad \Leftrightarrow \quad t = {80\pi\over \omega} . \end{equation*}

Il tempo cercato è

    \[\boxcolorato{fisica}{t = {80\pi\over \omega}=41,9\,\text{s}\,;}\]

dunque, sapendo che

(8)   \begin{equation*} \omega = \alpha t \quad \Rightarrow\quad \alpha = {\omega\over t}, \end{equation*}

si trova che

    \[\boxcolorato{fisica}{M = I_{O}\alpha = I_{O}{\omega \over t}=0,04\,\text{N$\cdot $m},}\]

cioè il valore del momento esterno cercato.

 

 

Fonte: P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Fisica, Edisis (1992)