Esercizio corpo rigido 5

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Esercizio 5 $(\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Due dischi coassiali aventi momenti di inerzia $I_1=0,5$ kg $\cdot$ m $^2$ e $I_2=0,8$ kg $\cdot$ m $^2$ rispettivamente, sono premuti uno contro l’altro; in queste condizioni il massimo momento di attrito statico è $M_{att,s} = 1,5$ N $\cdot$ m, mentre quando slittano uno rispetto all’altro il momento di attrito dinamico è $M_{att,d} = 1,4$ N $\cdot$ m. Calcolare:

a) l’accelerazione angolare del disco 2 se al disco 1 è applicato il momento costante $M = 2$ N $\cdot$ m;
b) ripetere il calcolo se $M = 5$ N $\cdot$ m.

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Svolgimento punto a. Ipotizziamo che tra i due dischi non ci sia strisciamento ovvero che ruotino all’unisono rispetto all’asse passante per i loro centri di massa (sono coassiali). Si applichi il momento esterno $M = 2$ N $\cdot$ m al disco 1, allora tra i due dischi si genererà un momento di attrito $M_s$ , uguale ed opposto, per il terzo principio della dinamica. Chiaramente, siccome i due dischi ruotano senza strisciare, hanno la stessa accelerazione angolare $\alpha$ . Sul disco 1 agisce un momento positivo $M$ che viene smorzato dal momento di attrito $-M_s$ con il disco 2, mentre il disco 2 inizia a ruotare grazie al momento di attrito $M_s$ . Applicando la seconda legge cardinale per i corpi rigidi (vedere esercizio corpo rigido 1)

(1) $\begin{equation*} \begin{cases} M-M_{s} = I_1\alpha\\\\ M_{s} = I_2\alpha, \end{cases} \end{equation*}$

da cui

(2) $\begin{equation*} \begin{cases} M-M_{s} = I_1 \dfrac{M_{s}}{I_2} \\\\ \alpha = \dfrac{M_{s}}{I_2} \end{cases} \quad \Rightarrow\quad \begin{cases} M_{s} = \dfrac{M I_2}{I_1+I_2}\approx1,23 \, \,\text{N$\cdot$m}\\\\ \alpha = \dfrac{M_{s}}{I_2}\approx 1,53\,\,\text{rad/s}. \end{cases} \end{equation*}$

Affinchè i dischi si muovano all’unisono deve essere soddisfatta la seguente disuguaglianza

(3) $\begin{equation*} M_s < M_{att,s} \quad \Leftrightarrow \quad 1,23 \, \,\text{N$\cdot$m} <1,5 \, \,\text{N$\cdot$m} \quad \checkmark \end{equation*}$

pertanto i due dischi ruotano senza strisciare.
Si conclude che l’accelerazione del sistema è

$\boxcolorato{fisica}{ \alpha = {M_s\over I_2} = 1,53\,\text{rad/s}}$

Soluzione punto b. Posto $M = 5$ N $\cdot$ m, dal punto precedente si trova che $M_s= 3,1$ Nm, allora i due dischi non ruotano all’unisono in quanto $M_s > M_{att,s}$ . Dato che i due dischi non ruotano all’unisono rispetto all’asse di rotazione passante per i loro centri di massa allora hanno due accelerazioni angolari diverse. Applicando la seconda legge cardinale per i corpi rigidi si ha che

(4) $\begin{equation*} \begin{cases} M-M_{att,d} = I_1\alpha_1\\\\ M_{att,d} = I_2\alpha_2 \end{cases} \quad \Rightarrow\quad \begin{cases} \alpha_1 = \dfrac{M-M_{att,d}}{I_1} \approx 7,2\,\,\text{rad/s$^2$}\\\\ \alpha_2 = \dfrac{M_{att,d}}{I_2} \approx 1,75\,\,\text{rad/s$^2$}. \end{cases} \end{equation*}$

Concludiamo con la seguente soluzione

$\boxcolorato{fisica}{ \alpha_2 = {M_{att,d}\over I_2} = 1,75\,\text{rad/s$^2$}}$

Fonte: P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Fisica, Edises (1992).