Esercizio corpo rigido 6

Dinamica del corpo rigido

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Esercizio 6  (\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il periodo delle piccole oscillazione del pendolo composto mostrato in figura, formato da due aste di masse e lunghezze m_1, \ell_1, m_2 e \ell_2; la seconda asta è a 90^\circ rispetto alla prima ed è fissata a questa nel centro. Considerare il sistema inizialmente in quiete e supporre che la massa sia distribuita in modo omogeneo. In particolare studiare il caso m_1=m_2=m e \ell=\ell_1=\ell_2.

 

 

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Svolgimento. Si ricorda che un pendolo composto è in generale un corpo rigido che possa oscillare, per azione della sua forza peso, rispetto ad un suo asse orizzontale passante non per il suo centro di massa.
Rappresentiamo il corpo rigido formato da m_1+m_2 all’istante t=0\,\,\text{s}, quando è quiete scegliendo un sistema di riferimento fisso avente origine nell’estremo superiore di m_1 (vedi figura 1):

 

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Con l’ipotesi che le masse m_1 e m_2 siano distribuite in modo omogeneo, il centro di massa di m_1 è in y=-\ell/2 e il centro di massa m_2 è in y=-\ell.
Calcoliamo il centro di massa del sistema formato da m_1 e m_2.
Si ricorda che il centro di massa è definito come segue:

(1)   \begin{equation*} \vec{r}_{CM} = \dfrac{\int_{\gamma} \vec{r} \; dm}{\int_{\gamma} dm} \end{equation*}

dove \gamma è il spazio occupato dal corpo rigido; poichè la massa è distribuita in modo omogeneo, (1) diventa

    \begin{equation*} \vec{r}_{CM} =\dfrac{\int_{\gamma} \vec{r} \; dm}{\int_{\gamma} dm}= \dfrac{\int_\gamma \vec{r} \, dm}{m_1+m_2} = \dfrac{\int_{\gamma_1} \vec{r} \, dm + \int_{\gamma_2} \vec{r} \, dm}{m_1+m_2} \end{equation*}

dove \gamma_1 è il spazio occupato da m_1 e \gamma_2 è il spazio (volume, area, lunghezza ecc a seconda del contesto) occupato da m_2.

Allora si ha che

    \begin{equation*} \begin{aligned} \vec{r}_{CM} & = \dfrac{m_1 \left(\dfrac{\int_{\gamma_1}\vec{r} \, dm}{m_1}\right) + m_2 \left(\dfrac{\int_{\gamma_2} \vec{r} \, dm}{m_2}\right)}{m_1+m_2} = \dfrac{m_1 \left(-\dfrac{\ell_1}{2}\right) + m_2 (-\ell_1)}{m_1+m_2} \; \hat{y} = \underbrace{-\dfrac{\ell_1}{2} \left(\dfrac{m_1+2m_2}{m_1+m_2}\right)}_{r_{CM}} \; \hat{y} \end{aligned} \end{equation*}

Ora immaginiamo di spostare di un angolo \theta_1, grazie ad un’opportuna forza esterna e togliere successivamente tale forza, allora il sistema comincerà ad oscillare intorno ad un asse orizzontale passante per O per azione della sua forza pesa (pendolo composto).
In figura 2 rappresentiamo il moto del pendolo composto in un generico istante t dove \theta è l’angolo formato dal corpo rigido e dall’asse y:

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Ricordiamo la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(2)   \begin{equation*} \dfrac{d\vec{L}_O}{dt}= {\vec{M}_O\,}^{\text{\tiny ext}}-m\, \vec{v}_0 \wedge \vec{v}_{CM} \end{equation*}

Siccome il corpo rigido ruota rispetto ad un asse fisso perpendicolare al piano in cui giace si ha:

    \[\dfrac{d\vec{L}}{dt}= I_O \, \ddot{\theta} \, \hat{z}\]

dove I_O è il momento di inerzia del sistema rispetto ad O, {\vec{M}\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutti i momenti esterni che in questo caso sono generati solo dalla forza peso ovvero

    \begin{equation*} {\vec{M}\,}^{\text{\tiny ext}} = \vec{r}_{CM} \wedge M\vec{g} = -Mg \, \sin \theta \, r_{CM} \, \hat{z} \end{equation*}

dove M=m_1+m_2.

Siccome il polo O è fisso

    \[\vec{v}_0 \wedge \vec{v}_{CM} = \vec{0}\]

Calcoliamo ora I_O, ricordando la definizione di momento d’inerzia

    \[I = \int_{\gamma} R^2 \, dm\]

dove R è la distanza di un generico elemento dm rispetto all’asse di rotazione. Siccome l’asse di rotazione non è passante per il centro di massa è conveniente applicare il teorema di Huygens-Steiner [1] da cui

    \[\begin{aligned} I_O & = I_{CM,1}+I_{CM,2} + m_1 \left(\dfrac{\ell_1^2}{4}\right) + m_2 \, \ell_1^2 = \\ & = \dfrac{1}{12} m_1 \, \ell_1^2 + \dfrac{1}{12} m_2 \, \ell_2^2 + m_1 \dfrac{\ell_1^2}{4} + m_2 \ell_1^2 = \\ & = \dfrac{1}{3} m_1 \ell_1^2 + m_2 \left(\dfrac{1}{12} \ell_2^2+ \ell_1^2\right) \end{aligned}\]

Tornando a (2) abbiamo

    \[I_o \ddot{\theta} = - Mg \sin \theta \; r_{CM}\]

Per piccole oscillazioni abbiamo che \sin \theta \simeq \theta e generalmente si intende un angolo 0<\theta \le 7^\circ, da cui

(3)   \begin{equation*} \ddot{\theta} + \dfrac{Mg \, r_{CM} }{I_O}\theta = 0 \end{equation*}

Si osserva che (3) è l’equazione di un oscillatore armonico semplice ovvero un’equazione omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti fatta come segue

(4)   \begin{equation*} \ddot{\theta} + \omega^2 \theta = 0 \end{equation*}

Confrontando (3) e (4) abbiamo

(5)   \begin{equation*} \omega^2 = \dfrac{Mg r_{CM}}{I_O} = \dfrac{(m_1+m_2) g \left(\dfrac{\ell_1}{2}\right) \left(\dfrac{m_1+2m_2}{m_1+m_2}\right)}{\dfrac{1}{3} m_1 \ell_1^2 + m_2 \left(\dfrac{1}{12} \ell_2^2+ \ell_1^2\right)} \end{equation*}

Ricordando che

(6)   \begin{equation*} \omega=\dfrac{2\pi}{T} \end{equation*}

dove T è il periodo delle piccole oscillazioni.

Da (5) e (6) si ottiene:

(7)   \begin{equation*} T=2\pi\, \sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{3} m_1 \ell_1^2 + m_2 \left(\dfrac{1}{12} \ell_2^2+ \ell_1^2\right)}{(m_1+m_2) g \left(\dfrac{\ell_1}{2}\right) \left(\dfrac{m_1+2m_2}{m_1+m_2}\right)}} \end{equation*}

Ora studiamo il caso particolare in cui \ell_1=\ell_2=\ell e m=m_1=m_2, sostituendo tali valori in (7), si ottiene:

    \[T=2\pi \, \sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{3} m \ell^2 + \dfrac{13}{12} m \ell^2}{2mg \left(\dfrac{\ell}{2}\right) \left(\dfrac{3}{2}\right)}}=2\pi \, \sqrt{\dfrac{\dfrac{17}{12}m\ell^2}{\dfrac{3}{2}mg\ell}}=2\pi \, \sqrt{\dfrac{17}{18}\, \dfrac{l}{g}},\]

cioè

    \[\boxcolorato{fisica}{T=2\pi \, \sqrt{\dfrac{17}{18}\, \dfrac{l}{g}}}\]

 

 

1. Teorema di Huygens-Steiner: I_O = I_{CM} + r^2 m dove I_O è il momento d’inerzia del corpo rigido rispetto all’asse di rotazione, I_{CM} è il momento d’inerzia del corpo rigido rispetto ad un asse passante per il proprio centro di massa che si trova a distanza r dall’asse di rotazione.

 

 

Fonte: P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Fisica, Edisis (1992)