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Esercizio corpo rigido 7

Dinamica del corpo rigido

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L’Esercizio Corpo Rigido 7 è il settimo nella serie dedicata agli esercizi sul corpo rigido. Segue l’Esercizio Corpo Rigido 6 e precede l’Esercizio Corpo Rigido 8. È rivolto a studenti di Fisica 1, in particolare a coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

Nel percorso didattico di Fisica 1, prima di affrontare i corpi rigidi, si studiano gli esercizi sui sistemi di punti materiali. Successivamente, si passa agli esercizi sugli urti tra punti materiali e corpi rigidi, che rappresentano un momento di sintesi nel percorso formativo.

 

Testo esercizio corpo rigido 7

Esercizio 7 (\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un corpo rigido è formato da quattro aste uguali, ciascuna di massa m = \text{1,5 kg} e lunghezza d = \text{0,8 m},
disposte lungo i lati di un quadrato, che giace in un piano verticale. Calcolare

1) il momento d’inerzia del corpo rispetto ad un asse perpendicolare al piano sul quale giace il quadrato e passante per il centro O del quadrato;

2) il momento d’inerzia del corpo rispetto ad un asse perpendicolare al piano sul quale giace il quadrato e passante per il punto medio P dell’asta superiore;

3) il momento d’inerzia del corpo rispetto ad un asse perpendicolare al piano sul quale giace il quadrato e passante per il punto Q, coincidente con il vertice superiore sinistro del quadrato;

4) calcolare inoltre il periodo delle piccole oscillazioni nel caso 2).

 

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Figura 1.

 

Struttura rigida composta da quattro aste disposte lungo i lati di un quadrato, con punti O, P e Q indicati.

Svolgimento Punto 1.

Notiamo che le 4 aste sono identiche e il loro centro si trova alla stessa dista da O, ovvero d/2. Per calcolare il momento d’inerzia totale del corpo rigido formato dalle 4 aste è possibile calcolare il momento d’inerzia di un’asta e moltiplicare per 4. Applichiamo il teorema di König, cioè

(1) \begin{equation*} I_O =4\left(\dfrac{1}{12}md^2+m\dfrac{d^2}{4}\right)=\dfrac{4}{3}md^2. \end{equation*}

Si conclude con la seguente soluzione

\[\boxcolorato{fisica}{ I_O=\dfrac{4}{3}md^2\approx\text{1,28}\cdot \text{kg}\cdot \text{m}^2.}\]


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