Esercizio corpo rigido 9

Dinamica del corpo rigido

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Esercizio 9  (\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un’asta rigida di massa m_1 e lunghezza d=0.8 m è incernierata nell’estremo A ed è appesa nell’estremo B a un filo collegato alla massa m_2= 10 kg; il sistema è in equilibrio con l’asta orizzontale. Calcolare

a) Il valore della reazione vincolare in A.

Si assuma che la la fisica del problema sia tale da porre il modulo delle tensioni ai capi della carrucola uguali. Successivamente si interrompe il collegamento in B e l’asta ruota sotto l’azione della forza di gravità; nel vincolo A agisce un momento che si oppone alla rotazione \vec{M}=k\theta \,\hat{z}, con k = 50 Nm/rad e \theta angolo che l’asta forma con l’asse x. Calcolare

b) La velocità angolare dell’asta quando \theta=\pi/2.

 

 

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Svolgimento punto a.  L’esercizio è un problema di statica, quindi è utilize comprendere quali siano tutte le forze esterne agenti sul sistema.

Si consideri la figura 2

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Sull’asta ABè presente la forza peso, diretta verso il basso, la quale è compensata dalla reazione vincolare \vec{R}_y sul vincolo A e dalla tensione \vec{T} che viene data dalla fune. Sul disco sono agenti le forze -\vec{T}_1 e \vec{T}_2 le quali generano due momenti differenti rispetto al centro del disco. Inoltre per ipotesi T_1=T_2=T.
La forza peso del corpo m_2 è compensata dalla tensione -\vec{T}_2.
Applichiamo la prima legge cardinale per il corpo m_1 e la seconda legge della dinamica per il corpo m_2, ottenendo

(1)   \begin{equation*} \begin{cases} R_y + T = m_1g \qquad \text{Staticità asta $AB$}\\ T = m_2g \qquad \qquad\,\,\, \text{Staticità corpo 2} \end{cases} \end{equation*}

Ne segue che la componente verticale della reazione vincolare sul punto A è

(2)   \begin{equation*} R_y = m_1g-m_2g = (m_1-m_2)g. \end{equation*}

Resta da calcolare la massa m_1, per fare ciò dobbiamo considerare la staticità rotazionale.
Consideriamo i momenti che agiscono sull’asta AB. Prendiamo come polo il punto A, in questo modo possiamo solo considerare i momenti generati dalla forza peso e dalla tensione della fune perché \vec{R}_y ha momento nullo.
Uguagliamo i momenti

(3)   \begin{equation*} M_P = M_T \qquad \Rightarrow\qquad m_1g{d\over 2}=Td \end{equation*}

Ne segue che la massa m_1 è pari a

(4)   \begin{equation*} m_1 = {2T\over g}=2m_2 = 20\,\text{kg}. \end{equation*}

Osserviamo che la reazione vincolare orizzontale R_x è nulla in quanto non c’è nessuna forza orizzontale esterna da compensare e non c’è nessuno momento esterno verticale da annullare. Concludiamo con la seguente soluzione

    \[\boxcolorato{fisica}{ R_y = m_2g = 98,1\,\text{N} \qquad \qquad R_x = 0\,\,\text{N}.}\]

Svolgiemnto punto b. Si interrompe il collegamento in B, l’asta inizia a ruotare in verso orario a causa del momento della forza peso. La situazione è descritta in figura 4

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Dobbiamo calcolare la velocità angolare dell’asta quando l’angolo \theta vale 90^\circ e per farlo ci avvaliamo del teorema delle forze vive o dell’energia lavoro. Utilizziamo come livello di riferimento per l’energia potenziale gravitazionale la quota del centro di massa quando l’asta è a 90 gradi, inoltre inizialmente il sistema parte da fermo e ha quindi energia cinetica nulla, ne segue che l’energia meccanica iniziale è unicamente data dall’energia potenziale gravitazionale

(5)   \begin{equation*} E_i = m_1g{d\over 2}. \end{equation*}

La quota d/2 è data dalla scelta di riferimento per l’energia potenziale gravitazionale e grazie a questa scelta abbiamo che l’energia meccanica finale è completamente cinetica

(6)   \begin{equation*} E_f = {1\over 2} I \omega_f^2 \qquad \text{con} \qquad I = {1\over 3}m_1 d^2. \end{equation*}

Dobbiamo ora considerare il lavoro dissipativo fatto dal momento del vincolo R, che si calcola con il seguente integrale

(7)   \begin{equation*} W_{M_R}=- \int_0^{\pi\over 2}k\theta \,\text{d}\theta =- {k\over 2}\bigg({\pi\over 2}\bigg)^2=-{\pi^2\over 8}k. \end{equation*}

Il segno di W_{M_R} viene scelto in base alle considerazioni fisiche del problema. Il momento è dissipativo, quindi va a diminuire la velocità angolare dell’asta, ovvero va a diminuire l’energia cinetica finale e pertanto fa un lavoro negativo. Quindi per il teorema dell’energia lavoro si ha

(8)   \begin{equation*} E_f -E_i= W_{M_R} \end{equation*}

da cui possiamo ricavare la velocità angolare finale \omega_f

(9)   \begin{align*} {1\over 2}I\omega_f^2 = E_i-W_{M_R} \quad \Leftrightarrow \quad \omega_f = \sqrt{{2 (E_i-W_{M_R})\over I}}. \end{align*}

Concludiamo con la seguente soluzione

    \[\boxcolorato{fisica}{\omega_f =\sqrt{{6\over m_1d^2}\bigg(m_1g{d\over 2}-{\pi^2\over 8}k\bigg)} = 2,80\,\text{rad/s}.}\]

 

Fonte: P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Fisica, Edisis (1992)