Esercizio 9 
. Un’asta rigida di massa 
e lunghezza 
m è incernierata nell’estremo 
ed è appesa nell’estremo 
a un filo collegato alla massa 
kg; il sistema è in equilibrio con l’asta orizzontale. Calcolare
a) Il valore della reazione vincolare in .
Si assuma che la la fisica del problema sia tale da porre il modulo delle tensioni ai capi della carrucola uguali. Successivamente si interrompe il collegamento in e l’asta ruota sotto l’azione della forza di gravità; nel vincolo agisce un momento che si oppone alla rotazione 
, con 
Nm/rad e 
angolo che l’asta forma con l’asse 
. Calcolare
b) La velocità angolare dell’asta quando 
.
Svolgimento punto a. L’esercizio è un problema di statica, quindi è utilize comprendere quali siano tutte le forze esterne agenti sul sistema.
Si consideri la figura 2
Sull’asta 
è presente la forza peso, diretta verso il basso, la quale è compensata dalla reazione vincolare 
sul vincolo e dalla tensione 
che viene data dalla fune. Sul disco sono agenti le forze 
e 
le quali generano due momenti differenti rispetto al centro del disco. Inoltre per ipotesi 
.
La forza peso del corpo 
è compensata dalla tensione 
.
Applichiamo la prima legge cardinale per il corpo e la seconda legge della dinamica per il corpo , ottenendo
(1) 
Ne segue che la componente verticale della reazione vincolare sul punto è
(2) 
Resta da calcolare la massa , per fare ciò dobbiamo considerare la staticità rotazionale.
Consideriamo i momenti che agiscono sull’asta . Prendiamo come polo il punto , in questo modo possiamo solo considerare i momenti generati dalla forza peso e dalla tensione della fune perché ha momento nullo.
Uguagliamo i momenti
(3) 
Ne segue che la massa è pari a
(4) 
Osserviamo che la reazione vincolare orizzontale 
è nulla in quanto non c’è nessuna forza orizzontale esterna da compensare e non c’è nessuno momento esterno verticale da annullare. Concludiamo con la seguente soluzione
![\[\boxcolorato{fisica}{ R_y = m_2g = 98,1\,\text{N} \qquad \qquad R_x = 0\,\,\text{N}.}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e287f87cbd9eafabc946f5a8134962a5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Svolgiemnto punto b. Si interrompe il collegamento in B, l’asta inizia a ruotare in verso orario a causa del momento della forza peso. La situazione è descritta in figura 4
Dobbiamo calcolare la velocità angolare dell’asta quando l’angolo vale 
e per farlo ci avvaliamo del teorema delle forze vive o dell’energia lavoro. Utilizziamo come livello di riferimento per l’energia potenziale gravitazionale la quota del centro di massa quando l’asta è a 90 gradi, inoltre inizialmente il sistema parte da fermo e ha quindi energia cinetica nulla, ne segue che l’energia meccanica iniziale è unicamente data dall’energia potenziale gravitazionale
(5) 
La quota 
è data dalla scelta di riferimento per l’energia potenziale gravitazionale e grazie a questa scelta abbiamo che l’energia meccanica finale è completamente cinetica
(6) 
Dobbiamo ora considerare il lavoro dissipativo fatto dal momento del vincolo 
, che si calcola con il seguente integrale
(7) 
Il segno di 
viene scelto in base alle considerazioni fisiche del problema. Il momento è dissipativo, quindi va a diminuire la velocità angolare dell’asta, ovvero va a diminuire l’energia cinetica finale e pertanto fa un lavoro negativo. Quindi per il teorema dell’energia lavoro si ha
(8) 
da cui possiamo ricavare la velocità angolare finale 
(9) 
Concludiamo con la seguente soluzione
![\[\boxcolorato{fisica}{\omega_f =\sqrt{{6\over m_1d^2}\bigg(m_1g{d\over 2}-{\pi^2\over 8}k\bigg)} = 2,80\,\text{rad/s}.}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a9f5bf111dfe828b1809974dfb75ad5f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Fonte: P.Mazzoldi, M.Nigro, C.Voci – Fisica, EdiSES (1992).