Esercizio corpo rigido 8

Home » Esercizio corpo rigido 8

More results...

Esercizio 8 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un corpo rigido è formato da quattro aste uguali, ciascuna di massa $m = 1.5$ kg e lunghezza $d = 0,8$ m, disposte lungo i lati di un quadrato, che giace in un piano verticale. Calcolare:

a) Il momento d’inerzia del sistema rispetto ad un asse orizzontale appartenente al piano verticale e passante per il centro $O$ del quadrato;

b) Il momento d’inerzia del sistema rispetto ad un asse orizzontale appartenente al piano verticale e passante per il punto $P$ del quadrato.

Rendered by QuickLaTeX.com

Svolgimento punto a. Notiamo che questo esercizio è una variante dell’esercizio 7. Calcoliamo il momento d’inerzia $I_1$ dell’asta inferiore rispetto ad un asse orizzontale passante per il centro $O$ , per ragioni di simmetria questo momento è uguale a quello dell’asta superiore $I_2$ . Il momento d’inerzia $I_1$ non è altro che la somma di tutti i momenti d’inerzia dei punti materiali infinitesimi $dm$ appartenenti all’asta. Applicando la definizione di momento d’inerzia si ha

(1) $\begin{equation*} I_1 = I_2=\int \bigg({d\over 2}\bigg)^2\,\text{d}m_i = {md^2\over 4}. \end{equation*}$

Calcoliamo ora il momento d’inerzia $I_3$ dell’asta a sinistra rispetto all’asse di rotazione considerata, anche in questo caso, per questioni di simmetrica, questo sarà uguale a al momento d’inerzia dell’asta a destra $I_4$ . Il momento d’inerzia in questo caso è noto e vale

(2) $\begin{equation*} I_3 = I_4={1\over 12} m d^2.6 \end{equation*}$

Il momento d’inerzia totale è la somma dei singoli momenti d’inerzia, concludiamo con la seguente soluzione

$\boxcolorato{fisica}{ I = 2\cdot {md^2\over 4}+2\cdot {1\over 12} m d^2 =\dfrac{2}{3}md^2= 0,64\,\,\text{kg}\cdot \text{m}^2.}$

Punto b. Iniziamo calcolando il momento d’inerzia dell’asta inferiore $I_1$ rispetto all’asse di rotazione orizzontale passante per il punto $P$ . Questo vale

(3) $\begin{equation*} I_1 =\int d^2 \,dm= m d^2 \end{equation*}$

perché ogni elementino $dm$ “dista” $d$ dall’asse di rotazione.
Il momento d’inerzia dell’asta superiore risulta essere nullo $I_2$ , in quanto ogni elementino $dm$ che appartiene all’asta ha distanza nulla dall’asse di rotazione. Il momento d’inerzia dell’asta a sinistra $I_3$ rispetto all’asse di rotazione considerato è noto e risulta essere

(4) $\begin{equation*} I_3 = md^2+m\dfrac{d^2}{4}={1\over 3} md^2. \end{equation*}$

Per questioni di simmetria il momento d’inerzia dell’asta a sinistra risulta essere uguale $I_4 = I_3$ . Il momento d’inerzia totale è la somma dei singoli momenti, concludiamo con la seguente soluzione

$\boxcolorato{fisica}{I = md^2+2\cdot {1\over 3} m d^2 =\dfrac{5}{3}md^2= 1,6\,\,\text{kg}\cdot \text{m}^2.}$