Esercizio corpo rigido 8

Dinamica del corpo rigido

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Esercizio 8  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un corpo rigido è formato da quattro aste uguali, ciascuna di massa m = 1.5 kg e lunghezza d = 0,8 m, disposte lungo i lati di un quadrato, che giace in un piano verticale. Calcolare:

a) Il momento d’inerzia del sistema rispetto ad un asse orizzontale appartenente al piano verticale e passante per il centro O del quadrato;

b) Il momento d’inerzia del sistema rispetto ad un asse orizzontale appartenente al piano verticale e passante per il punto P del quadrato.

 

 

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Svolgimento punto a. Notiamo che questo esercizio è una variante dell’esercizio 7. Calcoliamo il momento d’inerzia I_1 dell’asta inferiore rispetto ad un asse orizzontale passante per il centro O, per ragioni di simmetria questo momento è uguale a quello dell’asta superiore I_2. Il momento d’inerzia I_1 non è altro che la somma di tutti i momenti d’inerzia dei punti materiali infinitesimi dm appartenenti all’asta. Applicando la definizione di momento d’inerzia si ha

(1)   \begin{equation*} I_1 = I_2=\int \bigg({d\over 2}\bigg)^2\,\text{d}m_i = {md^2\over 4}. \end{equation*}

Calcoliamo ora il momento d’inerzia I_3 dell’asta a sinistra rispetto all’asse di rotazione considerata, anche in questo caso, per questioni di simmetrica, questo sarà uguale a al momento d’inerzia dell’asta a destra I_4. Il momento d’inerzia in questo caso è noto e vale

(2)   \begin{equation*} I_3 = I_4={1\over 12} m d^2.6 \end{equation*}

Il momento d’inerzia totale è la somma dei singoli momenti d’inerzia, concludiamo con la seguente soluzione

    \[\boxcolorato{fisica}{ I = 2\cdot {md^2\over 4}+2\cdot {1\over 12} m d^2 =\dfrac{2}{3}md^2= 0,64\,\,\text{kg}\cdot \text{m}^2.}\]

 

Punto b.  Iniziamo calcolando il momento d’inerzia dell’asta inferiore I_1 rispetto all’asse di rotazione orizzontale passante per il punto P. Questo vale

(3)   \begin{equation*} I_1 =\int d^2 \,dm= m d^2 \end{equation*}

perché ogni elementino dm “dista” d dall’asse di rotazione.
Il momento d’inerzia dell’asta superiore risulta essere nullo I_2, in quanto ogni elementino dm che appartiene all’asta ha distanza nulla dall’asse di rotazione. Il momento d’inerzia dell’asta a sinistra I_3 rispetto all’asse di rotazione considerato è noto e risulta essere

(4)   \begin{equation*} I_3 = md^2+m\dfrac{d^2}{4}={1\over 3} md^2. \end{equation*}

Per questioni di simmetria il momento d’inerzia dell’asta a sinistra risulta essere uguale I_4 = I_3. Il momento d’inerzia totale è la somma dei singoli momenti, concludiamo con la seguente soluzione

    \[\boxcolorato{fisica}{I = md^2+2\cdot {1\over 3} m d^2 =\dfrac{5}{3}md^2= 1,6\,\,\text{kg}\cdot \text{m}^2.}\]