Esercizio 8 . Un corpo rigido è formato da quattro aste uguali, ciascuna di massa
kg e lunghezza
m, disposte lungo i lati di un quadrato, che giace in un piano verticale. Calcolare:
a) Il momento d’inerzia del sistema rispetto ad un asse orizzontale appartenente al piano verticale e passante per il centro del quadrato;
b) Il momento d’inerzia del sistema rispetto ad un asse orizzontale appartenente al piano verticale e passante per il punto del quadrato.
Svolgimento punto a. Notiamo che questo esercizio è una variante dell’esercizio 7. Calcoliamo il momento d’inerzia dell’asta inferiore rispetto ad un asse orizzontale passante per il centro
, per ragioni di simmetria questo momento è uguale a quello dell’asta superiore
. Il momento d’inerzia
non è altro che la somma di tutti i momenti d’inerzia dei punti materiali infinitesimi
appartenenti all’asta. Applicando la definizione di momento d’inerzia si ha
(1)
Calcoliamo ora il momento d’inerzia dell’asta a sinistra rispetto all’asse di rotazione considerata, anche in questo caso, per questioni di simmetrica, questo sarà uguale a al momento d’inerzia dell’asta a destra
. Il momento d’inerzia in questo caso è noto e vale
(2)
Il momento d’inerzia totale è la somma dei singoli momenti d’inerzia, concludiamo con la seguente soluzione
Punto b. Iniziamo calcolando il momento d’inerzia dell’asta inferiore rispetto all’asse di rotazione orizzontale passante per il punto
. Questo vale
(3)
perché ogni elementino “dista”
dall’asse di rotazione.
Il momento d’inerzia dell’asta superiore risulta essere nullo , in quanto ogni elementino
che appartiene all’asta ha distanza nulla dall’asse di rotazione. Il momento d’inerzia dell’asta a sinistra
rispetto all’asse di rotazione considerato è noto e risulta essere
(4)
Per questioni di simmetria il momento d’inerzia dell’asta a sinistra risulta essere uguale . Il momento d’inerzia totale è la somma dei singoli momenti, concludiamo con la seguente soluzione