Esercizio corpo rigido 10

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L’Esercizio Corpo Rigido 10 è il decimo nella serie dedicata agli esercizi sul corpo rigido. Segue l’Esercizio Corpo Rigido 9 e precede l’Esercizio Corpo Rigido 11. È rivolto a studenti di Fisica 1, in particolare a coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

Nel percorso didattico di Fisica 1, prima di affrontare i corpi rigidi, si studiano gli esercizi sui sistemi di punti materiali. Successivamente, si passa agli esercizi sugli urti tra punti materiali e corpi rigidi, che rappresentano un momento di sintesi nel percorso formativo.

Testo esercizio corpo rigido 10

Esercizio 10 $(\bigstar \bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un corpo rigido è costituito da un’asta, di massa $m =8$ kg e lunghezza $d=\text{0,5}$ m, e da una sfera, di massa $m_2=3m$ e raggio $d_2=d/4$ , saldati nel punto $O$ . Il sistema può ruotare senza attrito attorno ad un asse fisso uscente dal foglio passante per il punto $O$ , ortogonale al disegno. Per mantenere in equilibrio statico il sistema, con l’asta orizzontale, nel punto $P$ è applicata una forza verticale $\vec{F}$ . Calcolare:

1) il modulo di $\vec{F}$ e della reazione normale $\vec{R}_N$ in $O$ .

Viene annullata la forza $\vec{F}$ e il sistema ruota sotto l’azione della forza peso, con la sfera che scende e l’asta che sale. Calcolare

2) l’accelerazione angolare un istante dopo la rimozione della forza $\vec{F}$ ;

3) la velocità angolare $\omega$ del sistema nell’istante in cui l’asta è verticale.

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Figura 1.

Esercizio sul corpo rigido 10: asta orizzontale incernierata con una sfera collegata, soggetta a una forza verticale in equilibrio e successiva rotazione.

Svolgimento Punto 1.

L’esercizio è un problema di statica, dobbiamo quindi iniziare con il disegnare tutte le forze esterni applicate al sistema (figura 2). La reazione vincolare in $O$ deve compensare la forza $F$ , e le due forze peso $P_1$ dell’asta e $P_2$ della sfera. Dalla seconda prima legge cardinale per i corpi si ha

(1) $\begin{equation*} R_y = F+P_1+P_2= F+mg+3mg = F+4mg. \end{equation*}$

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Figura 2.

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Figura 3.

Applichiamo la seconda legge cardinale per i corpi rigidi. Prendiamo come polo il punto $P$ , in questo modo non dobbiamo considerare il momento generato dalla forza $\vec{F}$ perché ha momento nullo e inoltre i bracci da considerare per il calcolo dei momenti hanno tutti lo stesso verso, e disegniamo i momenti in gioco (vedi figura 2) prendendo ciò che vedrebbe un osservatore a sinistra di figura 3. Affinché il sistemi non ruoti è necessario che la somma dei momenti esterni sia nulla

(2) $\begin{equation*} M_{R_y}=M_{P_1}+M_{P_2} \qquad \Rightarrow\qquad R_yd = mg {d\over 2}+ 3mg\bigg(d+{d\over 4}\bigg), \end{equation*}$