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Esercizio 10 . Un corpo rigido è costituito da un’asta, di massa kg e lunghezza m, e da una sfera, di massa e raggio , saldati nel punto . Il sistema può ruotare senza attrito attorno ad un asse fisso uscente dal foglio passante per il punto , ortogonale al disegno. Per mantenere in equilibrio statico il sistema, con l’asta orizzontale, nel punto è applicata una forza verticale . Calcolare:
1) il modulo di e della reazione normale in .
Viene annullata la forza e il sistema ruota sotto l’azione della forza peso, con la sfera che scende e l’asta che sale. Calcolare
2) l’accelerazione angolare un istante dopo la rimozione della forza ;
3) la velocità angolare del sistema nell’istante in cui l’asta è verticale.
Svolgimento Punto 1.
(1)
Applichiamo la seconda legge cardinale per i corpi rigidi. Prendiamo come polo il punto , in questo modo non dobbiamo considerare il momento generato dalla forza perché ha momento nullo e inoltre i bracci da considerare per il calcolo dei momenti hanno tutti lo stesso verso, e disegniamo i momenti in gioco (vedi figura 2) prendendo ciò che vedrebbe un osservatore a sinistra di figura 3. Affinché il sistemi non ruoti è necessario che la somma dei momenti esterni sia nulla
(2)
da cui
(3)
Sostituendo in (1) si ottiene
(4)
Concludiamo con la seguente soluzione
Svolgimento Punto 2.
Il momento totale risulta essere
(5)
Si osservi che il momento della forza è nullo. Il vettore risultante è negativo, questo giustifica la rotazione oraria del sistema. Calcoliamo ora il momento d’inerzia totale rispetto all’asse di rotazione passante per il punto , partendo con il calcolare il momento d’inerzia della sfera, che si ottiene applicando il teorema di Huygens-Steiner
(6)
Il momento d’inerzia dell’asta è noto e risulta essere
(7)
Ne segue che il momento d’inerzia totale è
(8)
Applichiamo ora la seconda legge cardinale per i corpi rigidi, che mette in relazione il momento totale delle forze esterne con la variazione del momento angolare (descritta dal momento d’inerzia e dall’accelerazione angolare)
(9)
Si osservi che convenzionalmente se la rotazione è oraria l’accelerazione angolare è negativa mentre se è antioraria è positiva. Concludiamo con la seguente soluzione
Svolgimento Punto 3.
(10)
Consideriamo ora il sistema quando ha compito una rotazione di .
Il sistema di riferimento scelto è rappresentato in figura 6. Scegliamo ora il livello di riferimento per il calcolo delle quote per l’energia potenziale gravitazionale al caso finale, ovvero quando il sistema ha compiuto una rotazione di e la sfera sarà posizionata verso il basso. Inizialmente il centro di massa si trova ad una quota nulla rispetto al sistema di riferimento scelto pertanto l’energia potenziale del sistema è nulla, inoltre il sistema è in quiete quindi anche l’energia cinetica iniziale è nulla, cioè
(11)
Nella situazione finale il sistema ha un’energia potenziale gravitazionale pari ad e un’energia cinetica rotazionale pari ad , che sommate danno l’energia cinetica finale del sistema, ovvero
(12)
dove . Dalla conservazione dell’energia si ha
(13)
o anche
(14)
da cui
(15)
cioè
(16)
concludiamo con la seguente soluzione
Fonte
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