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Esercizio corpo rigido 11

Dinamica del corpo rigido

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L’Esercizio Corpo Rigido 11 è l’undicesimo nella serie dedicata agli esercizi sul corpo rigido. Segue l’Esercizio Corpo Rigido 10 e precede l’Esercizio Corpo Rigido 12. È rivolto a studenti di Fisica 1, in particolare a coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

Nel percorso didattico di Fisica 1, prima di affrontare i corpi rigidi, si studiano gli esercizi sui sistemi di punti materiali. Successivamente, si passa agli esercizi sugli urti tra punti materiali e corpi rigidi, che rappresentano un momento di sintesi nel percorso formativo.

 

Testo esercizio corpo rigido 11

Esercizio 11 (\bigstar \largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Una sbarra sottile uniforme OA, lunga 1 m, è incernierata per un’estremità O in modo da poter spazzare su un piano verticale. La sbarra viene sollevata fino alla posizione orizzontale, poi viene lasciata cadere. Calcolare la velocità angolare della sbarra, e la velocità lineare della sua estremità libera A nell’istante in cui la sbarra ha descritto un angolo di 60^\circ.

Svolgimento.

Una sbarra sottile uniforme OA, lunga 1 m, è incernierata per un’estremità O in modo da poter spazzare su un piano verticale. La sbarra viene sollevata fino alla posizione orizzontale, poi viene lasciata cadere. Calcolare la velocità angolare della sbarra, e la velocità lineare della sua estremità libera A nell’istante in cui la sbarra ha descritto un angolo di 60^\circ.

Nella figura 1 rappresentiamo la sbarra sottile all’istante t=0\,\text{s}

Rendered by QuickLaTeX.com

Nella figura 2 rappresentiamo la sbarra sottile nell’istante t=t^\star >0 tale che la sua estremità libera A abbia descritto un angolo \theta

Rendered by QuickLaTeX.com

La sbarra sottile è vincolata a ruotare rispetto al polo O, quindi l’energia cinetica sarà solo rotazionale, inotre trascurando tutti gli attriti si osserva che l’unica forza agente è la forza peso che è conservativa, quindi si conserva l’energia meccanica. Dalla conservazione dell’energia considerando l’istante t=0 e t=t^\star si ha che

(1)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2} I_0 \omega_F^2 - \dfrac{1}{2} I_0 \, \omega_0^2 = mg (h_0-h_f) \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} I_0 \omega_F^2 + mg h_f= mgh_0 + \dfrac{1}{2} I_0 \omega_0^2 \end{equation*}

dove \omega_0 = 0 rad/s perchè all’inizio l’asta è in quiete, \omega_f è la velocità angolare nell’istante t=t^\star, h_0 = 0 è la posizione iniziale dell’asta (vedi figura 1), h_f=-\ell/2 \sin \theta è la posizione finale dell’asta all’istante t=t^\star (vedi figura 2) ed infine I_0 è il momento d’inerzia della sbarra sottile rispetto ad O. Ricordando che il momento d’inerzia rispetto al centro di massa è I_{cm} = \frac{1}{12}m\ell^2 e che il teorema di Huygens-Steiner dà I_0 = I_{cm}+mR^2 dove R = \ell/2, allora in questo caso otteniamo

    \[I_0 = \dfrac{1}{12} m\ell^2 + m \dfrac{\ell^2}{4}= \dfrac{1}{3}m\ell^2\]

Tornando all’equazione (1) abbiamo che

    \[\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \; m \; \ell^2 \; \omega_f^2 = mg \; \dfrac{\ell}{2} \sin \theta \Leftrightarrow \omega_f = \sqrt{\dfrac{3g \sin \theta}{\ell}} \sim 5.1 \; \mathrm{rad}/\mathrm{s}^2\]

ed infine

    \[\boxcolorato{fisica}{v_f = \omega_f \ell = 5.08 \; \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.}\]

 

Fonte.

Schaum-Fisica generale.

 

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    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

     
     






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