Esercizio corpo rigido 11

Dinamica del corpo rigido

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Esercizio 11 (\bigstar \largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Una sbarra sottile uniforme OA, lunga 1 m, è incernierata per un’estremità O in modo da poter spazzare su un piano verticale. La sbarra viene sollevata fino alla posizione orizzontale, poi viene lasciata cadere. Calcolare la velocità angolare della sbarra, e la velocità lineare della sua estremità libera A nell’istante in cui la sbarra ha descritto un angolo di 60^\circ.

 

 Svolgimento. Una sbarra sottile uniforme OA, lunga 1 m, è incernierata per un’estremità O in modo da poter spazzare su un piano verticale. La sbarra viene sollevata fino alla posizione orizzontale, poi viene lasciata cadere. Calcolare la velocità angolare della sbarra, e la velocità lineare della sua estremità libera A nell’istante in cui la sbarra ha descritto un angolo di 60^\circ.

Nella figura 1 rappresentiamo la sbarra sottile all’istante t=0\,\text{s}

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Nella figura 2 rappresentiamo la sbarra sottile nell’istante t=t^\star >0 tale che la sua estremità libera A abbia descritto un angolo \theta

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La sbarra sottile è vincolata a ruotare rispetto al polo O, quindi l’energia cinetica sarà solo rotazionale, inotre trascurando tutti gli attriti si osserva che l’unica forza agente è la forza peso che è conservativa, quindi si conserva l’energia meccanica.
Dalla conservazione dell’energia considerando l’istante t=0 e t=t^\star si ha che

(1)   \begin{equation*} \dfrac{1}{2} I_0 \omega_F^2 - \dfrac{1}{2} I_0 \, \omega_0^2 = mg (h_0-h_f) \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} I_0 \omega_F^2 + mg h_f= mgh_0 + \dfrac{1}{2} I_0 \omega_0^2 \end{equation*}

dove \omega_0 = 0 rad/s perchè all’inizio l’asta è in quiete, \omega_f è la velocità angolare nell’istante t=t^\star, h_0 = 0 è la posizione iniziale dell’asta (vedi figura 1), h_f=-\ell/2 \sin \theta è la posizione finale dell’asta all’istante t=t^\star (vedi figura 2) ed infine I_0 è il momento d’inerzia della sbarra sottile rispetto ad O.
Ricordando che il momento d’inerzia rispetto al centro di massa è I_{cm} = \frac{1}{12}m\ell^2 e che il teorema di Huygens-Steiner dà I_0 = I_{cm}+mR^2 dove R = \ell/2, allora in questo caso otteniamo

    \[I_0 = \dfrac{1}{12} m\ell^2 + m \dfrac{\ell^2}{4}= \dfrac{1}{3}m\ell^2\]

Tornando all’equazione (1) abbiamo che

    \[\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} \; m \; \ell^2 \; \omega_f^2 = mg \; \dfrac{\ell}{2} \sin \theta \Leftrightarrow \omega_f = \sqrt{\dfrac{3g \sin \theta}{\ell}} \sim 5.1 \; \mathrm{rad}/\mathrm{s}^2\]

ed infine

    \[\boxcolorato{fisica}{v_f = \omega_f \ell = 5.08 \; \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.}\]

 

Fonte: Schaum-Fisica generale.