Esercizio corpo rigido 12

Dinamica del corpo rigido

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Esercizio 12 (\bigstar \largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). La bacchetta omogenea, rappresentata in figura, lunga \ell= 2 m e con massa m = 1.5 kg, puo’ ruotare intorno a un perno orizzontale, privo di attrito posto a un’estremità. E’ lasciata libera da una posizione di riposo inclinata di \theta = 40^\circ sopra l’orizzontale.
(a) Qual è l’accelerazione angolare della bacchetta all’istante in cui viene lasciate libera? (Il suo momento d’inerzia rispetto al perno è I = 2 kg m^2).
(b) Usando il principio di conservazione dell’energia trovare la velocità angolare della bacchetta all’istante in cui passa per la posizione orizzontale.

 

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 Svolgimento punto a. abbiamo una bacchetta che è vincolata a ruotare rispetto ad un asse passante per uno dei suoi estremi e perpendicolare al piano sul quale giace; tenendo conto che I_O=I e che il modulo del momento della forza peso è pari ad mg \dfrac{\ell}{2} \cos \theta entrante nel piano sul quale giace la bacchetta, applicando la prima seconda legge cardinale per i corpi rigidi si ha che:

    \[-mg \dfrac{\ell}{2} \cos \theta = I \ddot{\theta}\quad \Leftrightarrow \quad \ddot{\theta} = \dfrac{-mg \dfrac{\ell}{2} \cos \theta}{I}\]

All’istante t=0\,\,\text{s} abbiamo i seguneti valori: \theta = 40^\circ,\,\ell=2\, \text{m},\,m=1.5\,\text{kg},\,I=2\,\text{kg}\,\text{m}^2 si ottiene

    \[\boxcolorato{fisica}{ \ddot{\theta}(0) = -5.63 \; \mathrm{rad}/\mathrm{s}^2.}\]

Si osservi che il Il segno meno è per indicare che l’asta ruota in senso orario.

 

Punto b. Si osserva che agiscono solo forze di natura conservativa, quindi si conserva l’energia meccanica del sistema.
Il principio di conservazione dell’energia si scrive come

(1)   \begin{equation*} U_i + K_i = U_f + K_f \end{equation*}

dove il pedice i indica iniziale, il pedice f indica finale, U è l’energia potenziale e K è l’energia cinetica.
Scegliamo un sistema di riferimento inerziale Oxy con O coincidente con l’estremo della sbarretta (vedi figura 2).
All’istante t=0 abbiamo la seguente situazione (vedi figura 2)

 

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mentre nell’istante in cui la sbarretta è orizzontale si ha la seguente situazione (vedi figura 3)

 

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Osservando che U_f = 0 e K_i=0, (1) diventa

    \[U_i=K_f\]

Ricordiamo che l’energia cinetica di un corpo rigido che ruota rispetto ad un asse fisso perpendicolare al piano sul quale giace, può essere espresso come segue:

    \[\begin{aligned} K=\dfrac{1}{2}\int_{\gamma}v^2dm=\dfrac{1}{2}(\dot{\theta})^2\int_{\gamma}R^2dm=\dfrac{1}{2}I(\dot{\theta})^2 \end{aligned}\]

Chiamando \dot{\theta}=\omega_f ovvero la velocità angolare che l’asta possiede quando è in posizione orizzontale, si ha

    \[mg h_i = \dfrac{1}{2}I(\dot{\theta})^2\]

dove h_i = \frac{\ell}{2} \sin \theta e quindi

    \[\omega_f= \sqrt{\dfrac{mg \ell \sin \theta}{I}}\]

Tenendo conto dei valori numerici forniti dal testo si ottiene

 

    \[\boxcolorato{fisica}{ \omega_f= 3.07 \; \mathrm{rad}/\mathrm{s}^2.}\]

 

Approfondimento. Si ricorda che il centro di massa è definito come segue:

    \begin{equation*} \vec{r}_{CM} = \dfrac{\int_{\gamma} \vec{r} \; dm}{\int_{\gamma} dm} \end{equation*}

dove \gamma è il sostegno occupato dal corpo rigido e \vec{r} è il raggio vettore che individua ciascun punto del corpo rigido.
Dato che la massa è distribuita in modo omogeneo, il modulo del centro di massa diventa

    \[r_{CM} = \dfrac{\int_{\gamma}r \; dm}{\int_{\gamma} dm}=\dfrac{\lambda}{m}\left( \int_{0}^{\ell} rdr \right)=\dfrac{\ell}{2}\]

Inoltre, ricordiamo la seconda legge cardinale per i corpi rigidi:

(2)   \begin{equation*} \dfrac{d\vec{L}_O}{dt}= {\vec{M}_O\,}^{\text{\tiny ext}}-m\, \vec{v}_0 \wedge \vec{v}_{CM} \end{equation*}

Siccome il corpo rigido ruota rispetto ad un asse fisso perpendicolare al piano in cui giace, si ha

    \[\dfrac{d\vec{L}}{dt}= I_O \, \ddot{\theta} \, \hat{z}\]

dove I_O è il momento di inerzia del sistema rispetto ad O e {\vec{M}\,}^{\text{\tiny ext}} è la somma di tutti i momenti esterni.
Dal momento che il polo O è fisso vale quanto segue

    \[\vec{v}_0 \wedge \vec{v}_{CM} = 0\]

e quindi (2) diventa

    \[\boxcolorato{fisica}{ {\vec{M}_O\,}^{\text{\tiny ext}}=I_O \, \ddot{\theta} \, \hat{z}.}\]

 

Fonte: Schaum-Fisica generale.