Esercizio corpo rigido 13

Dinamica del corpo rigido

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Esercizio 13  (\bigstar\bigstar \largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un corpo rigido è formato da tre asticelle sottili identiche di lunghezza \ell, unite fra loro in modo da assumere la forma della lettera H come in figura. L’insieme è libero di ruotare intorno ad un asse orizzontale fisso, che coincide con una delle gambe dell’H. Partendo da una posizione di riposo in cui il piano dell’H è orizzontale, il sistema è lasciato libero di ruotare. Qual è la velocità angolare del corpo quando il piano dell’H arriva in posizione verticale?

 

 

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Svolgimento. Sul sistema agiscono solo le rispettive forze peso di ciascuna asticella e sappiamo che la forza peso è una forza di natura conservativa, quindi si conserva l’energia del sistema.
Applicando il principio di conservazione dell’energia meccanica abbiamo:

(1)   \begin{equation*} E_f+U_f = E_i+U_i \end{equation*}

dove E_f è l’energia cinetica finale e E_i è l’energia meccanica iniziale del sistema, U_f è l’energia potenziale finale ed U_i è l’energia potenziale iniziale.
All’inizio è tutto in quiete quindi l’energia complessiva del sistema risulterà nulla:

    \[E_i=0 \; \mathrm{J},\]

mentre per quanto riguarda l’energia cinetica finale, ricordiamo che quando un corpo rigido ruota rispetto ad un asse fisso, l’energia cineticà sarà puramente rotazionale, in formule:

    \[E=\dfrac{1}{2}I\omega^2\]

dove I è il momento d’inerzia rispetto a tale asse.
Nel nostro caso abbiamo tre asticelle 1,2 e 3 (vedi figura 1): le asticelle 2 e 3 sono vincolate a ruotare rispetto ad un asse passante e coincidente con la direzione di 1.
La definizione di momento d’inerzia è la seguente:

    \[I=\int R^2 dm\]

dove in generale l’integrale sopra riportato può essere di varia natura a seconda del corpo rigido in questione.
Ad esempio: se la massa è distribuita solo su una superficie, avremo un integrale di superficie; se la massa è distribuita su un un volume, si ha un integrale di volume e così via.
Nel nostro caso abbiamo un integrale di linea di prima specie e R è la distanza di un elementino dm del corpo rigido rispetto all’asse di rotazione, facile osservare che l’asticella 1 ha momento d’inerzia nullo poichè 1 si trova coincidente con l’asse di rotazione (R=0) quindi non dà contributo alla variazione di energia cinetica del sistema, per determinare la variazione di energia cinetica di 2 basta applicare il teorema di Teorema di Huygens-Steiner che ricordiamo qua di seguito.

Il momento d’inerzia di un corpo di massa m rispetto ad un asse che si trova a una distanza k dal centro di massa del corpo è dato da :

(2)   \begin{equation*} I=I_{CM}+mk^2 \end{equation*}

dove I_{CM} è il momento d’inerzia del corpo rispetto ad un asse passante per il centro di massa e parallelo al primo.

Applicando ora (2) possiamo riscrivere I_2 come segue:

    \[I_2=\dfrac{1}{12}m\ell^2+m\ell^2=\dfrac{1}{3}m\ell^2\]

per quanto riguarda I_3 ovvero il momento d’inerzia di 3 rispetto all’asse di rotazione osserviamo che ogni elemento dm_3 ha la stessa distanza R=\ell da tale asse e applicando la definzione di momento d’inerzia abbiamo

    \[I=\int R^2 dm_3=\int \ell^2 dm_3= \ell^2\int dm_3= \ell^2m,\]

Dunque possiamo concludere che l’energia cinetica finale del sistema è:

    \[E_f = \dfrac{1}{2}I\omega_f^2=\left( \dfrac{1}{3}m\ell^2 + m\ell^2 \right)\omega_f^2=\dfrac{4}{3}m\ell^2\omega_f^2\]

Per quanto riguarda l’energia potenziale iniziale fissando la quota ad y=0 (vedi figura 2: il sistema è orizzontale)

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abbiamo

    \[U_i=0 \; \mathrm{J}.\]

Quando l’asta è verticale (vedi figura 3)

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l’energia potenziale è

    \[U_f=-mg\dfrac{\ell}{2}-mg\ell\]

Sostituendo i valori trovati in (1) abbiamo:

    \[\begin{aligned} \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{4}{3} m\ell^2 \right) \omega^2 - mg \ell - mg \dfrac{\ell}{2} = 0 \quad\Leftrightarrow \quad \dfrac{2}{3} m\ell^2 \; \omega^2 - m g \ell - m g \dfrac{\ell}{2} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad\Leftrightarrow \omega^2 = \dfrac{9}{4} \dfrac{g}{\ell} \end{aligned}\]

da cui concludiamo che

    \[\boxcolorato{fisica}{\omega = \dfrac{3}{2} \sqrt{\dfrac{g}{\ell}}.}\]

 

Fonte: D.Halliday, R.Resnick, J.Walker – Fondamenti di fisica, Meccanica, Zanichelli.