Login Abbonati
Accedi ai contenuti scaricabili
a

Menu

M

Chiudi

Esercizio corpo rigido 13

Dinamica del corpo rigido

Home » Esercizio corpo rigido 13

L’Esercizio Corpo Rigido 13 è il tredicesimo nella serie dedicata agli esercizi sul corpo rigido. Segue l’Esercizio Corpo Rigido 12 e precede l’Esercizio Corpo Rigido 14. È rivolto a studenti di Fisica 1, in particolare a coloro che studiano ingegneria, fisica o matematica.

Nel percorso didattico di Fisica 1, prima di affrontare i corpi rigidi, si studiano gli esercizi sui sistemi di punti materiali. Successivamente, si passa agli esercizi sugli urti tra punti materiali e corpi rigidi, che rappresentano un momento di sintesi nel percorso formativo.

 

Testo esercizio corpo rigido 13

Esercizio 13 (\bigstar\bigstar \largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un corpo rigido è formato da tre asticelle sottili identiche di lunghezza \ell, unite fra loro in modo da assumere la forma della lettera H come in figura. L’insieme è libero di ruotare intorno ad un asse orizzontale fisso, che coincide con una delle gambe dell’H. Partendo da una posizione di riposo in cui il piano dell’H è orizzontale, il sistema è lasciato libero di ruotare. Qual è la velocità angolare del corpo quando il piano dell’H arriva in posizione verticale?

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Esercizio sul corpo rigido: sistema di tre asticelle unite a formare una H, libero di ruotare attorno a un asse fisso.

Svolgimento.

Sul sistema agiscono solo le rispettive forze peso di ciascuna asticella e sappiamo che la forza peso è una forza di natura conservativa, quindi si conserva l’energia del sistema. Applicando il principio di conservazione dell’energia meccanica abbiamo:

(1)   \begin{equation*} E_f+U_f = E_i+U_i \end{equation*}

dove E_f è l’energia cinetica finale e E_i è l’energia meccanica iniziale del sistema, U_f è l’energia potenziale finale ed U_i è l’energia potenziale iniziale. All’inizio è tutto in quiete quindi l’energia complessiva del sistema risulterà nulla:

    \[E_i=0 \; \mathrm{J},\]

mentre per quanto riguarda l’energia cinetica finale, ricordiamo che quando un corpo rigido ruota rispetto ad un asse fisso, l’energia cineticà sarà puramente rotazionale, in formule:

    \[E=\dfrac{1}{2}I\omega^2\]

dove I è il momento d’inerzia rispetto a tale asse. Nel nostro caso abbiamo tre asticelle 1,2 e 3 (vedi figura 1): le asticelle 2 e 3 sono vincolate a ruotare rispetto ad un asse passante e coincidente con la direzione di 1. La definizione di momento d’inerzia è la seguente:

    \[I=\int R^2 dm\]

dove in generale l’integrale sopra riportato può essere di varia natura a seconda del corpo rigido in questione. Ad esempio: se la massa è distribuita solo su una superficie, avremo un integrale di superficie; se la massa è distribuita su un un volume, si ha un integrale di volume e così via. Nel nostro caso abbiamo un integrale di linea di prima specie e R è la distanza di un elementino dm del corpo rigido rispetto all’asse di rotazione, facile osservare che l’asticella 1 ha momento d’inerzia nullo poichè 1 si trova coincidente con l’asse di rotazione (R=0) quindi non dà contributo alla variazione di energia cinetica del sistema, per determinare la variazione di energia cinetica di 2 basta applicare il teorema di Teorema di Huygens-Steiner che ricordiamo qua di seguito.

Il momento d’inerzia di un corpo di massa m rispetto ad un asse che si trova a una distanza k dal centro di massa del corpo è dato da :

(2)   \begin{equation*} I=I_{CM}+mk^2 \end{equation*}

dove I_{CM} è il momento d’inerzia del corpo rispetto ad un asse passante per il centro di massa e parallelo al primo.

Applicando ora (2) possiamo riscrivere I_2 come segue:

    \[I_2=\dfrac{1}{12}m\ell^2+m\ell^2=\dfrac{1}{3}m\ell^2\]

per quanto riguarda I_3 ovvero il momento d’inerzia di 3 rispetto all’asse di rotazione osserviamo che ogni elemento dm_3 ha la stessa distanza R=\ell da tale asse e applicando la definzione di momento d’inerzia abbiamo

    \[I=\int R^2 dm_3=\int \ell^2 dm_3= \ell^2\int dm_3= \ell^2m,\]

Dunque possiamo concludere che l’energia cinetica finale del sistema è:

    \[E_f = \dfrac{1}{2}I\omega_f^2=\left( \dfrac{1}{3}m\ell^2 + m\ell^2 \right)\omega_f^2=\dfrac{4}{3}m\ell^2\omega_f^2\]

Per quanto riguarda l’energia potenziale iniziale fissando la quota ad y=0 (vedi figura 2: il sistema è orizzontale)

Rendered by QuickLaTeX.com

abbiamo

    \[U_i=0 \; \mathrm{J}.\]

Quando l’asta è verticale (vedi figura 3)

Rendered by QuickLaTeX.com

l’energia potenziale è

    \[U_f=-mg\dfrac{\ell}{2}-mg\ell\]

Sostituendo i valori trovati in (1) abbiamo:

    \[\begin{aligned} \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{4}{3} m\ell^2 \right) \omega^2 - mg \ell - mg \dfrac{\ell}{2} = 0 \quad\Leftrightarrow \quad \dfrac{2}{3} m\ell^2 \; \omega^2 - m g \ell - m g \dfrac{\ell}{2} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad\Leftrightarrow \omega^2 = \dfrac{9}{4} \dfrac{g}{\ell} \end{aligned}\]

da cui concludiamo che

    \[\boxcolorato{fisica}{\omega = \dfrac{3}{2} \sqrt{\dfrac{g}{\ell}}.}\]

 

Fonte.

D.Halliday, R.Resnick, J.Walker – Fondamenti di fisica, Meccanica, Zanichelli.

 

 

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 69 esercizi risolti, contenuti in 242 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione della dinamica del corpo rigido.

 
 

Esercizi di Meccanica classica

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica Classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

Leggi..


 
 

Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

Se si desidera proseguire con gli esercizi, di seguito è disponibile una vasta raccolta che copre interamente gli argomenti del programma di

  • Elettromagnetismo. Questa raccolta include spiegazioni dettagliate e gli esercizi sono organizzati in base al livello di difficoltà, offrendo un supporto completo per lo studio e la pratica.

    Leggi...

    Per chi intende verificare le proprie competenze, è stata predisposta una raccolta di esercizi misti di elettromagnetismo.


     
     

    Esercizi di Meccanica razionale

    Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica razionale, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

    Leggi...


     
     

    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

    Leggi...

    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

     
     






    Document