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Esercizio moti relativi 6

Moti relativi in Meccanica classica

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Esercizio sui moti relativi 6 è il sesto esercizio della raccolta esercizi dedicati ai moti relativi. Il successivo esercizio disponibile nella sequenza è Esercizio sui moti relativi 7, mentre il precedente è Esercizio sui moti relativi 5. L’argomento dei moti relativi precede lo studio degli esercizi svolti sul lavoro e sull’energia e prosegue con l’analisi degli esercizi svolti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio è rivolto agli studenti del corso di Fisica 1, risultando particolarmente utile per i percorsi di studio in ingegneria, fisica e matematica.

 

Testo dell’Esercizio sui moti relativi 6

Esercizio 6 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Un anello sottile di massa m è libero di muoversi senza attrito lungo una guida lineare di lunghezza L che ruota su un piano orizzontale, intorno ad un asse verticale passante per un suo estremo, con velocità angolare \vec{\omega} mantenuta costante da un motore. Inizialmente l’anello è tenuto fermo a metà della guida. Successivamente l’anello viene quindi lasciato libero di scorrere lungo la guida. Determinare il modulo della velocità dell’anello, rispetto ad un sistema di riferimento fisso, quando esso raggiunge l’estremità della guida. Si esprima il risultato del problema in funzione di L, m e \omega.

 

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Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale P, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1)   \begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}

Nell’equazione (3):

  • \vec{F} è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
  • \vec{a}_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
  • \vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }, dove \vec{\omega} la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{r}^{\, \prime } il vettore posizione di m rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • -m\vec{a}_c è la forza centrifuga, dove \vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right);
  • -m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}} è la forza di Coriolis, dove \vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }, essendo \vec{v}^{\, \prime } la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • \vec{a}^{\,\prime} è l’accelerazione relativa di m nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2)   \begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}


Svolgimento.

Consideriamo due sistemi di riferimento: Oxyz fisso e centrato nell’asse della guida, e O'x'y'z^\prime tale che l’asse x' sia istante per istante coincidente con la guida con O'\equiv O (come rappresentato in figura 2), e infine tale che z^\prime \equiv z. Si noti che, essendo un sistema rotante, O'x'y'z^\prime è un sistema di riferimento non inerziale.

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Osservando dal sistema di riferimento Oxyz esprimiamo la velocità dell’anello in coordinate radiali e tangenziali, rispettivamente v_{\text{rad}} e v_{\text{tan}}. Notiamo che, dal momento che l’anello è costretto a muoversi sulla guida, nel sistema di riferimento solidale con essa l’anello ha sola velocità radiale. Nel sistema fisso invece la velocità tangenziale è v_{\text{tan}} = \omega r, dove r è la sua posizione lungo la guida (ossia la distanza di m da O).

Nell’istante in cui m raggiunge la fine della guida si ha r=L e pertanto la sua velocità tangenziale all’uscita della guida è

(3)   \begin{equation*} \boxed{ v_{\text{tan}} = \omega L. } \end{equation*}

Osserviamo ora dal sistema di riferimento O'x'y': dal momento che tale sistema ruota con velocità costante \vec{\omega} rispetto a Oxy, le uniche due forze apparenti presenti in O'x'y' sono la forza centrifuga

(4)   \begin{equation*} -m\Vec{a}_{\text{Centrifuga}} = -m\, \Vec{\omega}\wedge(\Vec{\omega}\wedge \Vec{r}\,'), \end{equation*}

e la forza di Coriolis

(5)   \begin{equation*} -m\Vec{a}_{\text{Coriolis}} = -m\, 2(\Vec{\omega}\wedge \Vec{v}\,'). \end{equation*}

Dato che l’anello si muove sulla guida (lungo l’asse x') segue che la forza centrifuga è diretta lungo l’asse x' (nella direzione del semiasse positivo), mentre quella di Coriolis lungo l’asse y'. I versi delle forze si possono determinare dalle equazioni (4) e (5). Si noti anche che, essendo l’anello vincolato a muoversi sulla guida, una componente della forza vincolare annulla la forza di Coriolis. Per completezza aggiungiamo che sull’anello agisce anche la forza di gravità (diretta lungo l’asse z), che tuttavia è anch’essa annullata da una componente della reazione vincolare.

Calcoliamo la forza centrifuga definita in (4). Siano \hat{x}^{\prime}, \hat{y}^{\prime} e \hat{z} rispettivamente i versori dell’asse delle x^\prime, y^\prime e z^\prime. Inoltre, sia x^\prime la posizione di m lungo l’asse delle x^\prime. Si noti che r\equiv x^\prime. Abbiamo dunque

(6)   \begin{equation*} \begin{aligned} \vec{F}_{\text{centrifuga}} & = - m\vec{\omega}\wedge\left(\vec{\omega}\wedge\vec{x}^{\,\prime}\right) \\ & = -m\left(\omega\hat{z}\right)\wedge\left[\left(\omega\hat{z}\right)\wedge\left(x^\prime\hat{x}^\prime\right)\right] \\ & = -m\omega\hat{z}\wedge\left(-\omega x^\prime \hat{y}^{\prime}\right) \\ & = m\omega^2 x^\prime \hat{x}^\prime, \end{aligned} \end{equation*}

che è a sua volta diretta nella direzione delle x^\prime. Notiamo che la la forza centrifuga è conservativa perché dipende dalla sola posizione x^\prime e \omega è costante (se \omega non fosse stato costante la forza di centrifuga non sarebbe stata conservativa). Dunque possiamo associarvi un potenziale U_{\text{centrifuga}} tale che

(7)   \begin{equation*} -\dfrac{dU_{\text{centrifuga}}}{dx^\prime}=m\omega^2 x^\prime , \end{equation*}

da cui integrando ambo i membri rispetto alla variabile x^\prime si ottiene

(8)   \begin{equation*} U_{\text{centrifuga}}=-\frac{1}{2}m\omega^2 x'^2+\text{costante}. \end{equation*}

Dato che non sono presenti forze dissipative e i vincoli del problema non fanno lavoro sull’anello (vincoli ideali) si conserva l’energia dell’anello in ogni istante t\geq 0. L’energia totale iniziale nel sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime z^\prime di m è

(9)   \begin{equation*} E_i=-\frac{1}{2}m\omega^2 x'^2(0)+\text{costante}=-\frac{1}{2}m\omega^2\,\dfrac{L^2}{4}+\text{costante}=-\frac{1}{8}mL^2\omega^2+\text{costante}, \end{equation*}

dove abbiamo sfruttato il risultato pervenuto nell’equazione (8) e il fatto che l’anello è inizialmente fermo nel sistema di riferimento non inerziale. L’energia cinetica dell’anello quando sta per uscire dalla guida è

(10)   \begin{equation*} E_f=-\frac{1}{2}m\omega^2 x'^2(0)+\dfrac{1}{2}m\dot{x^\prime}(L)+\text{costante}=-\frac{1}{2}m\omega^2L^2+\dfrac{1}{2}m\dot{x^\prime}(L)+\text{costante}, \end{equation*}

dove abbiamo sfruttato di nuovo il risultato pervenuto nell’equazione (8). Con la notazione \dot{x^\prime}(L) si intende indicare la velocità radiale che ha l’anello all’uscita della guida, cioè \dot{x^\prime}(L)=v_{\text{rad}}. Per la conservazione dell’energia avvalendoci delle due precedenti equazioni abbiamo

(11)   \begin{equation*} -\frac{1}{8}mL^2\omega^2+\text{costante}= \frac{1}{2}m v_{\text{rad}}^2 - \frac{1}{2}m\omega^2L^2+\text{costante}, \end{equation*}

da cui

(12)   \begin{equation*} -\frac{1}{8}mL^2\omega^2+\frac{1}{2}m\omega^2L^2=\frac{1}{2}m v_{\text{rad}}^2, \end{equation*}

o anche

(13)   \begin{equation*} \dfrac{3}{4}mL^2\omega^2=\frac{1}{2}m v_{\text{rad}}^2, \end{equation*}

conseguentemente

(14)   \begin{equation*} \boxed{ v_{\text{rad}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\omega L. } \end{equation*}

Sfruttando la precedente equazione e l’equazione (3) è possibile calcolare il modulo della velocità dell’anello all’uscita della guida, ovvero

(15)   \begin{equation*} v = \sqrt{v_{\text{rad}}^2 + v_{\text{tan}}^2} =\sqrt{\dfrac{3}{4}mL^2\omega^2+\omega^2L^2}, \end{equation*}

in altri termini

    \[\boxcolorato{fisica}{v = \frac{\sqrt{7}}{2}\omega L.}\]

 

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