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Esercizio moti relativi 34

Moti relativi in Meccanica classica

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Esercizio sui moti relativi 34 è il trentaquattresimo esercizio della raccolta esercizi dedicati ai moti relativi. Il successivo esercizio disponibile nella sequenza è Esercizio sui moti relativi 35, mentre il precedente è Esercizio sui moti relativi 33. L’argomento dei moti relativi precede lo studio degli esercizi svolti sul lavoro e sull’energia e prosegue con l’analisi degli esercizi svolti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio è rivolto agli studenti del corso di Fisica 1, risultando particolarmente utile per i percorsi di studio in ingegneria, fisica e matematica.

 

Testo dell’Esercizio sui moti relativi 34

Esercizio 34 (\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar). In figura 1 è presente un punto materiale di massa m_A posto su di un piano inclinato che poggia su di un piano orizzontale e collegato tramite un filo ad una carrucola C_1. La carrucola C_1 è collegato grazie ad un altro filo ad una carrucola C_2 che a suo volta grazie ad un filo è collegata ad un punto materiale di massa m_B. Il punto materiale di massa m_B ha su di esso un altro blocco di massa m_A. Il sistema fisico è in condizioni di equilibrio. Si ipotizzi che valga m_A=m_B e che il piano inclinato formi un angolo \alpha con il piano orizzontale; tra le diverse superfici di contatto esiste attrito con gli stessi coefficienti di attrito statico e dinamico ad esclusione della superficie tra m_B e m_C.

  1. Si determini il valore minimo del coefficiente di attrito statico \mu_s per il quale sussiste l’equilibrio e il corrispondente modulo \vert \vec{R}\vert della reazione sviluppata dalla carrucola C_1.
  2. In questo nuovo punto tra m_B e m_C c’è attrito con coefficiente di attrito dinamico pari a \mu_d. Al blocco C, nella posizione di figura 1, viene applicato un impulso \vec{I} orizzontale per essere messo in moto. Si determini quale condizione deve valere affinché il blocco B rimanga fermo mentre C si muova su B. Successivamente si ipotizzi che B si muova mentre C si muove su di essa. In queste condizioni si calcoli il modulo V^\prime della velocità che il blocco C possiede rispetto a quello B dopo aver percorso sopra B un tratto di lunghezza \ell.

Si consideri ogni filo presente nel sistema fisico illustrato in figura 1 ideale. Inoltre, si ipotizzi che tra fili e carrucole che non ci sia attrito e che i fili siano sempre tesi.

 

 

 

 

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Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale P, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1) \begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}

Nell’equazione (1):

  • \vec{F} è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
  • \vec{a}_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
  • \vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }, dove \vec{\omega} la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{r}^{\, \prime } il vettore posizione di m rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • -m\vec{a}_c è la forza centrifuga, dove \vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right);
  • -m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}} è la forza di Coriolis, dove \vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }, essendo \vec{v}^{\, \prime } la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • \vec{a}^{\,\prime} è l’accelerazione relativa di m nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2) \begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}

   


Svolgimento primo punto.

Sul blocco A si manifestano la reazione vincolare \vec{N}_A, la forza peso m_A\vec{g} e la tensione \vec{T}_1. Sul corpo C si manifestano la reazione vincolare \vec{N}_C e la forza peso m_C\vec{g}. Sul blocco B si manifestano la tensione \vec{T}_2, la reazione vincolare \vec{N}_B, la forza -\vec{N}_C per il terzo principio della dinamica, la forza peso m_B\vec{g} e la forza di attrito statico \vec{f}_B. Inoltre, scegliamo due sistemi di riferimento fissi Oxy e O^\prime x^\prime y^\prime, come rappresentato in figura 2, per osservare il sistema fisico in esame.    

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    Ovviamente la forza \vec{f}_A è la forza di attrito statico tra m_A e il piano inclinato e \vec{f}_B è la forza di attrito statico tra m_B e il piano orizzontale. Il coefficiente di attrito statico per essere minimo deve soddisfare

(3) \begin{equation*} \begin{cases} f_A =N_A \, \mu_s\\ f_B = N_B \, \mu_s. \end{cases} \end{equation*}

Siccome tra fili e carrucole non è presente attrito vale T_1 = T_2 = T. Pe la seconda legge della dinamica in condizioni di equilibrio osservando dai due precedenti sistemi di riferimento si ha

(4) \begin{equation*} \begin{cases} N_A = m_A g \, \cos \alpha\\ N_B = (m_B+m_C) \, g\\ m_A g \, \sin \alpha - T - f_A = 0\\ T = f_B\\ T_1 = T_2 = T. \end{cases} \end{equation*}

Risolvendo il sistema si trova che

\[m_A g \, \sin \alpha - (m_B + m_C) g \; \mu_s - m_A g \, \cos \alpha \; \mu_s = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \mu_s = \dfrac{m_A \, \sin \alpha}{(m_B+m_C) + m_A \,\cos \alpha} \equiv \mu_{s,\text{min}}.\]

Si conclude che il coefficiente di attrito statico minimo è

\[\boxcolorato{fisica}{ \mu_{s,\text{min}}=\dfrac{m_A \, \sin \alpha}{(m_B+m_C) + m_A \,\cos \alpha} .}\]

    Calcoliamo la reazione vincolare \vec{R} della carrucola. Di seguito, in figura 3, rappresentiamo la reazione vincolare della carrucola.    

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    Siano \hat{x} e \hat{y} rispettivamente i versori dell’asse delle x e dell’asse delle y. Dalla figura 3 si deduce che

(5) \begin{equation*} \vec{R} = T \, \cos \alpha \; \hat{x} + (T+T\sin \alpha) \; \hat{y}, \end{equation*}

da cui allora

(6) \begin{equation*} \vert \vec{R} \vert = \sqrt{T^2 \cos^2 \alpha + (T+T\sin\alpha)^2} = T \sqrt{2+2\sin \alpha} = T \sqrt{2(1+\sin\alpha)}, \end{equation*}

dove

(7) \begin{equation*} T = f_B = \mu_{s,\text{min}} (m_B+m_C)g = \dfrac{m_A g \, \sin \alpha (m_B+m_C)}{(m_B+m_C)+m_A \, \cos \alpha}. \end{equation*}

Concludiamo che il modulo della reazione vincolare della carrucola è

\[\boxcolorato{fisica}{ \vert \vec{R} \vert = \dfrac{\sqrt{2}m_A g \sin \alpha \; (m_B+m_C) \sqrt{1+\sin \alpha}}{(m_B+m_C) + m_A \, \cos \alpha}.}\]

   


Svolgimento secondo punto.

Sapendo che la variazione della quantità di moto è uguale all’impulso applicato a C, considerando che a t=0 il corpo C è fermo, si trova

(8) \begin{equation*} v_0 = \dfrac{I}{m_C}, \end{equation*}

dove v_0 è la velocità iniziale che ha il corpo C rispetto al sistema fisso, cioè subito dopo che l’impulso cessa di essere applicato al corpo C. All’impulso I è associata una forza impulsiva F applicata al corpo C applicata per un tempo di durata brevissima. Vanno studiati due diversi casi: il primo è capire quale condizione deve sussistere affinché il sistema rimanga in quiete, il secondo la condizione che deve sussistere per far entrare il sistema in movimento. Assumiamo che i corpi A e B in quiete e il corpo C in movimento con velocità orizzontale iniziale di modulo v_0. Sul blocco A si manifestano la reazione vincolare \vec{N}_A, la forza peso m_A\vec{g}, la tensione \vec{T}_1 e la forza di attrito statico \vec{f}_{A,s}. Sul corpo C si manifestano la reazione vincolare \vec{N}_C, la forza peso m_C\vec{g} e la forza di attrito dinamico \vec{f}_{C,s}. Sul blocco B si manifestano la tensione \vec{T}_2, la reazione vincolare \vec{N}_B, la forza -\vec{N}_C per il terzo principio della dinamica, la forza peso m_B\vec{g}, la forza di attrito statico \vec{f}_{B,s} e la forza -\vec{f}_{C,s} per il terzo principio della dinamica. Inoltre, come il precedente punto, scegliamo due sistemi di riferimento fissi Oxy e O^\prime x^\prime y^\prime, come rappresentato in figura 2.    

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    Affinché il corpo B rimanga fermo, deve essere verificata la seguente disequazione

(9) \begin{equation*} f_{B,s}=f_{C,s} + T \leq N_B\mu_s\quad \Leftrightarrow \quad \mu_d m_C g + m_A g \, \sin \alpha-\mu_s \, m_A g \, \cos \alpha \le (m_B+m_C) g \, \mu_s. \end{equation*}

Assumiamo che la precedente condizione non sia verificata e che il sistema entri in movimento. In questa nuova configurazione al posto delle forze di attrito statico sui vari corpi si manifestano le forze di attrito dinamico. Sul corpo C la forza di attrito dinamico è pari a N_C\mu_d, sul corpo B la forza di attrito dinamico è pari a N_B\mu_d e, infine, sul corpo A la forza di attrito dinamico è pari a N_A\mu_d. Sotto l’ipotesi che il sistema entra in movimento possiamo scrivere, sempre per la seconda legge della dinamica, quanto segue

(10) \begin{equation*} \begin{cases} N_A = m_A g \cos \alpha\\ m_A g \sin \alpha - T - N_A \mu_d =m_A a\\ T+N_C \mu_d - N_B \mu_d = m_B a\\ N_B = (m_C + m_B)g\\ -N_C \mu_d = m_C a_C\\ N_C = m_C g, \end{cases} \end{equation*}

dove a è l’accelerazione in modulo del corpo m_A e m_B rispetto al sistema fisso e a_C è l’accelerazione del corpo C rispetto al sistema fisso. Risolvendo il precedente sistema si ottiene

(11) \begin{equation*} \begin{cases} a = \dfrac{m_A g \, \sin \alpha - m_A g \mu_d \cos \alpha - m_B g \mu_d}{m_A+m_B}\\[10pt] a_C = -g \mu_d. \end{cases} \end{equation*}

Sfruttando il precedente sistema possiamo trovare l’accelerazione relativa tra m_B e m_C, cioè

(12) \begin{equation*} \begin{aligned} a^\prime = a_C-a & = -g \mu_d - \dfrac{m_A g \, \sin \alpha - m_A g \mu_d \cos \alpha - m_B g \mu_d}{m_A+m_B} =\\ & = \dfrac{-g \, \mu_d (m_A+m_B)-m_A \, g \, \sin \alpha + m_A \, g \, \mu_d \, \cos \alpha + m_B \, g \, \mu_d}{m_A+m_B}=\\ & = \dfrac{g(m_A \mu_d \, \cos \alpha - m_A \sin \alpha - \mu_d m_A )}{m_A+m_B}. \end{aligned} \end{equation*}

Scegliamo un sistema di riferimento O^{\prime\prime}x solidale con B; tale sistema è chiaramente non inerziale dato che B sta accelerando rispetto al sistema fisso. Rispetto a tale sistema di riferimento, per la cinematica, C ha velocità

(13) \begin{equation*} \left(v^{\prime}(x)\right)^2= \left(v^{\prime}_0\right)^2+2\Delta x a^{\prime}, \end{equation*}

dove v^{\prime}(x) è la velocità in funzione dello spazio, v^\prime_0 è la velocità iniziale di C nel sistema O^{\prime\prime}x e \Delta x è lo spazio percorso. Imponiamo \Delta x=\ell, v^{\prime}_0=I/m_C (si ricordi il risultato pervenuto nell’equazione (8)) e sfruttiamo l’equazione (12), ottenendo dalla precedente equazione

(14) \begin{equation*} \left(v^{\prime}(\ell)\right)^2=2\ell a^{\prime}=\dfrac{I^2}{m^2_C}+\dfrac{2\ell g(m_A \mu_d \, \cos \alpha - m_A \sin \alpha - \mu_d m_A )}{m_A+m_B}, \end{equation*}

o anche

(15) \begin{equation*} v^{\prime}(\ell)= V^\prime=\sqrt{v_0^2-2 \ell a^\prime}=\sqrt{\left(\dfrac{I}{m_C}\right)^2-2 \ell a^\prime} = \sqrt{\left(\dfrac{I}{m_C}\right)^2+ \dfrac{2\ell g m_A (\mu_d \cos \alpha - \sin \alpha - \mu_d)}{m_A+m_B}}. \end{equation*}

Si conclude che la velocità cercata è

\[\boxcolorato{fisica}{ V^\prime= \sqrt{\left(\dfrac{I}{m_C}\right)^2+ \dfrac{2\ell g m_A (\mu_d \cos \alpha - \sin \alpha - \mu_d)}{m_A+m_B}}.}\]

   


Approfondimento.

Alternativamente per calcolare \vert \vec{R} \vert si poteva procedere per via geometrica, applicando il metodo del parallelogramma. A tal proposito consideriamo la figura 4, rappresentata di seguito.    

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    Dalla figura 4 si deduce che \beta = \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\alpha}{2} in quanto

(16) \begin{equation*} \beta = \dfrac{\pi}{2}-\gamma = \dfrac{\pi}{2}- \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right) = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\alpha}{2}. \end{equation*}

Per di più dalla figura 4 si può osservare che

(17) \begin{equation*} \dfrac{ \vert \vec{R} \vert}{2} = T \sin \beta = T \cos \left(-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\alpha}{2}\right) = \dfrac{m_A g \, \sin \alpha (m_B+m_C)}{(m_B+m_C)+m_A \, \cos \alpha} \cos \left(-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\alpha}{2}\right), \end{equation*}

conseguentemente

(18) \begin{equation*} \vert \vec{R} \vert=\dfrac{2m_A g \, \sin \alpha (m_B+m_C)}{(m_B+m_C)+m_A \, \cos \alpha} \cos \left(-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\alpha}{2}\right) = \dfrac{2m_A g \, \sin \alpha (m_B+m_C)}{(m_B+m_C)+m_A \, \cos \alpha} \cos \left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\alpha}{2}\right). \end{equation*}

Osserviamo che l’espressione di \vert \vec{R}\vert ottenuta al punto precedente e l’espressione di \vert \vec{R}\vert ottenuta al l’equazione precedente non differiscono, infatti

(19) \begin{equation*} \begin{aligned} &2 \cos \left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\alpha}{2}\right) =\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\alpha}{2}+\sin \dfrac{\alpha}{2}\right)=\sqrt{2}\left(\sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha }{2}}+\sqrt{\dfrac{1-\cos \alpha }{2}} \right)=\\ &=\sqrt{2\left(\sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha }{2}}+\sqrt{\dfrac{1-\cos \alpha }{2}} \right)^2}=\sqrt{1+\cos \alpha+1-\cos \alpha +2\sqrt{1-(\cos \alpha)^2}}=\\ & =\sqrt{2 (1+\sin \alpha)}, \,\, \mbox{con }\alpha \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right). \end{aligned} \end{equation*}

   


Osservazione.

Vale che

(20) \begin{equation*} \sqrt{1-(\cos \alpha)^2}=\left \vert \sin \alpha \right \vert \,\, \text{con }\alpha \in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right), \end{equation*}

e

(21) \begin{equation*} \cos \dfrac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha}{2}}\,\, \text{e}\,\,\sin \dfrac{\alpha}{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1-\cos \alpha}{2}}. \end{equation*}

Però siccome assumiamo \alpha \in \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right) abbiamo preso \cos \dfrac{\alpha}{2}= \sqrt{\dfrac{1+\cos \alpha}{2}}\,\, \text{e}\,\,\sin \dfrac{\alpha}{2}= \sqrt{\dfrac{1-\cos \alpha}{2}}. Inoltre, è interessante notare che

(22) \begin{equation*}\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\alpha}{2}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\alpha}{2}\right). \end{equation*}

 

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Esercizi di Meccanica razionale

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