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Esercizio moti relativi 21

Moti relativi in Meccanica classica

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Esercizio sui moti relativi 21 è il ventunesimo esercizio della raccolta esercizi dedicati ai moti relativi. Il successivo esercizio disponibile nella sequenza è Esercizio sui moti relativi 22, mentre il precedente è Esercizio sui moti relativi 20. L’argomento dei moti relativi precede lo studio degli esercizi svolti sul lavoro e sull’energia e prosegue con l’analisi degli esercizi svolti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio è rivolto agli studenti del corso di Fisica 1, risultando particolarmente utile per i percorsi di studio in ingegneria, fisica e matematica.

 

Testo dell’Esercizio sui moti relativi 21

Esercizio 21 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un pendolo semplice di lunghezza \ell è appeso ad un supporto che avanza con accelerazione costante \vec{a} diretta lungo l’asse orizzontale. Al filo è appeso un corpo di massa m. Si richiede di calcolare:

  1. l’angolo di equilibrio rispetto alla verticale;
  2. il periodo delle piccole oscillazioni rispetto alla posizione di equilibrio.

Si consideri ogni filo presente nel sistema fisico illustrato in figura 1 ideale.

 

 

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Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale P, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1) \begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}

Nell’equazione (1):

  • \vec{F} è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
  • \vec{a}_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
  • \vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }, dove \vec{\omega} la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{r}^{\, \prime } il vettore posizione di m rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • -m\vec{a}_c è la forza centrifuga, dove \vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right);
  • -m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}} è la forza di Coriolis, dove \vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }, essendo \vec{v}^{\, \prime } la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • \vec{a}^{\,\prime} è l’accelerazione relativa di m nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2) \begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}

   


Svolgimento punto 1.

Scegliamo un sistema di riferimento non inerziale, solidale con il supporto che avanza con accelerazione costante \vec{a}. Poiché tale sistema di riferimento è non inerziale sul corpo di massa m agisce alla forza apparente -m\vec{a}, mentre le forze reali agenti su m sono la tensione \vec{T} e la forza peso m\vec{g}. Di seguito, in figura 2, sono rappresentate le forze -m\vec{a}, \vec{T} e m\vec{g}. Inoltre, sempre in figura 2, è stato rappresentato il versore \hat{t} che rappresenta la direzione tangente alla traiettoria di m.    

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    Dalla seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale all’equilibrio abbiamo

(3) \begin{equation*} \begin{cases} T-mg \cos \theta - ma \sin \theta = 0\\ ma \cos \theta - mg \sin \theta = 0, \end{cases} \end{equation*}

dove la prima e la seconda equazione del precedente sistema rappresentano rispettivamente la seconda legge della dinamica proiettata nella direzione normale alla traiettoria di m e la seconda legge della dinamica proiettata nelle direzione tangente alla traiettoria di m. Dalla seconda equazione del precedente sistema troviamo

\[\boxcolorato{fisica}{\theta =\theta_{\text{eq}}= \arctan\left(\dfrac{a}{g}\right).}\]

   


Svolgimento punto 2.

Spostiamo di un piccolo angolo \theta dalla posizione di equilibrio la massa m, come rappresentato in figura 3.    

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    Proiettando le forze nella direzione tangente al moto di m abbiamo

(4) \begin{equation*} -ma\cos \left(\theta _{\text{eq}}-\theta\right)+mg\sin\left(\theta _{\text{eq}}-\theta\right)=m\ell\ddot{\theta}. \end{equation*}

Applicando le regole di somma e sottrazione del seno e del coseno la precedente equazione diventa

(5) \begin{equation*} -a (\cos\theta _{\text{eq}} \cos \theta+ \sin\theta _{\text{eq}} \sin \theta) + g (\sin \theta _{\text{eq}} \cos \theta - \cos \theta _{\text{eq}} \sin \theta)=\ell\ddot{\theta}, \end{equation*}

o anche

(6) \begin{equation*} -a\cos\theta _{\text{eq}} \cos \theta-a\sin\theta _{\text{eq}} \sin \theta+g\sin \theta _{\text{eq}} \cos \theta-g\cos \theta _{\text{eq}} \sin \theta=\ell\ddot{\theta}, \end{equation*}

in altri termini

(7) \begin{equation*} -\sin\theta\left(a\sin\theta_{\text{eq}}+g\cos \theta_{\text{eq}}\right)+ \cos \theta \left(-a\cos\theta _{\text{eq}} +g\sin \theta _{\text{eq}}\right)=\ell\ddot{\theta}. \end{equation*}

Per piccole oscillazioni vale

(8) \begin{equation*} \sin \theta \sim \theta \end{equation*}

e

(9) \begin{equation*} \cos \theta \sim 1. \end{equation*}

Sfruttando le due precedenti equazioni possiamo riscrivere l’equazione (7) come di seguito

(10) \begin{equation*} -\theta\left(a\sin\theta_{\text{eq}}+g\cos \theta_{\text{eq}}\right)+\left(-a\cos\theta _{\text{eq}} +g\sin \theta _{\text{eq}}\right)=\ell\ddot{\theta}, \end{equation*}

conseguentemente

(11) \begin{equation*} \ddot{\theta}+\theta\dfrac{a\sin\theta_{\text{eq}}+g\cos \theta_{\text{eq}}}{\ell}-\dfrac{-a\cos\theta _{\text{eq}} +g\sin \theta _{\text{eq}}}{\ell}=0. \end{equation*}

La precedente equazione rappresenta l’equazione di un oscillatore armonico semplice con quadrato della pulsazione pari a

(12) \begin{equation*} \omega^2=\dfrac{a\sin\theta_{\text{eq}}+g\cos \theta_{\text{eq}}}{\ell}. \end{equation*}

Sostituendo \theta_{\text{eq}}= \arctan\left({a}/{g}\right) ottenuto al precedente punto nella precedente equazione otteniamo

(13) \begin{equation*} \omega^2=\dfrac{a\sin\arctan\left(\dfrac{a}{g}\right)+g\cos \arctan\left(\dfrac{a}{g}\right)}{\ell}. \end{equation*}

Per fatti di goniometria si ha

(14) \begin{equation*} \sin\arctan\left(\dfrac{a}{g}\right)= \dfrac{\dfrac{a}{g}}{\sqrt{1+\left(\dfrac{a}{g}\right)^2}} \end{equation*}

e

(15) \begin{equation*} \cos \arctan\left(\dfrac{a}{g}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{1+\left(\dfrac{a}{g}\right)^2}} . \end{equation*}

Sfruttando le due precedenti equazioni l’equazione (13) diventa

(16) \begin{equation*} \begin{aligned} \omega^2&=\dfrac{a\sin\arctan\left(\dfrac{a}{g}\right)+g\cos \arctan\left(\dfrac{a}{g}\right)}{\ell}=\dfrac{ \dfrac{\dfrac{a^2 }{g}}{\sqrt{1+\left(\dfrac{a}{g}\right)^2}}+\dfrac{g}{\sqrt{1+\left(\dfrac{a}{g}\right)^2}}}{\ell}=\\[10pt ] &=\dfrac{ \dfrac{\dfrac{a^2}{g}+g}{\sqrt{1+\left(\dfrac{a^2}{g}\right)^2}}}{\ell}=\dfrac{ g\dfrac{\left(\dfrac{a}{g}\right)^2+1}{\sqrt{1+\left(\dfrac{a^2}{g}\right)^2}}}{\ell}=\\[10pt ] &=\dfrac{ g\dfrac{\sqrt{\left(1+\left(\dfrac{a}{g}\right)^2\right)^2}}{\sqrt{1+\left(\dfrac{a^2}{g}\right)^2}}}{\ell}=\dfrac{g}{\ell}\sqrt{\left(1+\dfrac{a^2}{g^2}\right)}\\[10pt] &=\dfrac{{\sqrt{a^2+g^2}}}{{\ell}}. \end{aligned} \end{equation*}

Ricordando che \omega=2\pi/T, dove T è il periodo delle piccole oscillazioni, dalla precedente equazione abbiamo concludiamo che

\[\boxcolorato{fisica}{T = 2\pi \sqrt{\dfrac{\ell}{\sqrt{a^2+g^2}}}.}\]

   


Osservazione.

Notiamo che

(17) \begin{equation*} -a\cos\theta _{\text{eq}} +g\sin \theta _{\text{eq}} =-a\dfrac{1}{\sqrt{1+\left(\dfrac{a}{g}\right)^2}}+g\dfrac{\dfrac{a}{g}}{\sqrt{1+\left(\dfrac{a}{g}\right)^2}}= -\dfrac{a}{\sqrt{1+\left(\dfrac{a}{g}\right)^2}}+\dfrac{a}{\sqrt{1+\left(\dfrac{a}{g}\right)^2}}=0, \end{equation*}

dove abbiamo usato le equazioni (14) e (15). Alla luce della precedente equazione possiamo riscrivere l’equazione (11) come di seguito

(18) \begin{equation*} \ddot{\theta}+\theta\dfrac{a\sin\theta_{\text{eq}}+g\cos \theta_{\text{eq}}}{\ell}=0, \end{equation*}

dato che

(19) \begin{equation*} \dfrac{-a\cos\theta _{\text{eq}} +g\sin \theta _{\text{eq}}}{\ell}=0. \end{equation*}

Inoltre, sfruttando l’equazione (16) è possibile riscrivere l’equazione (18) come

(20) \begin{equation*} \ddot{\theta}+\theta\dfrac{{\sqrt{a^2+g^2}}}{{\ell}}=0. \end{equation*}

   


Approfondimento.

La precedente equazione ci fa dedurre che il sistema fisico in esame può essere visto come un pendolo semplice soggetto ad una forza \vec{F} di modulo F = m \sqrt{a^2+g^2}, orientata come in figura 3.    

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    Sia \theta l’angolo delle piccole oscillazioni. Lungo \hat{t} possiamo scrivere

(21) \begin{equation*} -F \, \sin \theta = m \ell \ddot{\theta} \end{equation*}

e siccome valgono le piccole oscillazioni, ovvero \theta è molto piccolo, possiamo sostituire \sin \theta \approx\theta, così l’equazione diventa

(22) \begin{equation*}\ddot{\theta} + \dfrac{F}{m\ell} \theta = 0, \end{equation*}

dove

(23) \begin{equation*} \omega^2 = \dfrac{F}{m\ell}, \end{equation*}

da cui

(24) \begin{equation*} T = 2\pi \sqrt{\dfrac{\ell}{\sqrt{a^2+g^2}}}. \end{equation*}

Il precedente risultato poteva essere dedotto a priori grazie al principio di equivalenza. Per il principio di equivalenza il pendolo si comporta come un usuale pendolo semplice ma in un campo di gravità modificato dalla forza apparente -m\vec{a}.

 

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