Esercizio moti relativi 19

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Esercizio sui moti relativi 19 è il diciannovesimo esercizio della raccolta esercizi dedicati ai moti relativi. Il successivo esercizio disponibile nella sequenza è Esercizio sui moti relativi 20, mentre il precedente è Esercizio sui moti relativi 18. L’argomento dei moti relativi precede lo studio degli esercizi svolti sul lavoro e sull’energia e prosegue con l’analisi degli esercizi svolti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio è rivolto agli studenti del corso di Fisica 1, risultando particolarmente utile per i percorsi di studio in ingegneria, fisica e matematica.

Testo dell’Esercizio sui moti relativi 19

Esercizio 19 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Una piattaforma ruota con velocità angolare $\vec{\omega}_0$ di modulo, direzione e verso costante, rispetto ad un’asse passante per il centro del disco e perpendicolare sul piano sul quale giace. Si assuma che il modulo della velocità sia $\omega_0 = 10\, \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ . Si consideri un sistema di riferimento solidale alla piattaforma con origine nel centro (dove passa l’asse di rotazione) e un altro, con la stessa origine, solidale al suolo. Un dischetto è legato tramite un filo lungo $\ell = \text{1,5}$ m all’origine e ruota anch’esso con velocità angolare $\vec{\omega}_0$ ; tra dischetto e piattaforma non c’è attrito. Si osserva che la tensione del filo vale $T = 15$ N. Con un freno la velocità angolare della piattaforma viene ridotta al valore $\omega=2\, \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ e mantenuta poi costante a questo valore. Calcolare:

la velocità tangenziale del dischetto, vista dal sistema solidale con la piattaforma;
l’accelerazione del dischetto, vista dal sistema solidale con la piattaforma;
la massa del dischetto.

Si assuma il filo inestensibile e di massa trascurabile.

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Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale $P$ , la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1) $\begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}$

Nell’equazione (11):

$\vec{F}$ è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
$\vec{a}_{O^\prime}$ è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
$\vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }$ , dove $\vec{\omega}$ la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e $\vec{r}^{\, \prime }$ il vettore posizione di $m$ rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
$-m\vec{a}_c$ è la forza centrifuga, dove $\vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right)$ ;
$-m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}}$ è la forza di Coriolis, dove $\vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }$ , essendo $\vec{v}^{\, \prime }$ la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
$\vec{a}^{\,\prime}$ è l’accelerazione relativa di $m$ nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2) $\begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}$

Svolgimento punto 1.

Scegliamo un sistema di riferimento inerziale $O{xyz}$ (dove $O, \hat{x},\hat{y},\hat{z}$ sono rispettivamente l’origine del sistema di riferimento, il versore dell’asse delle $x$ , il versore dell’asse delle $y$ e il versore dell’asse delle $z$ ) solidale con il suolo, mentre indicheremo con $O'{x'y'z'}$ un secondo sistema di riferimento non inerziale solidale con la piattaforma. I sistemi vengono scelti in modo tale che coincidano le origini $O \equiv O'$ e gli assi $\hat{z}\equiv \hat{z}'$ tale per cui coincidano con l’asse dei rotazione del disco.

Tra il disco e la piattaforma non è presente attrito, pertanto per un osservatore solidale con $O{xyz}$ una riduzione della velocità angolare nella piattaforma non va ad incidere sul moto del dischetto. Infatti, un’interazione tra disco e piattaforma può avvenire solo tramite forze di sfregamento tra le due superfici, che però vengono annullate per assunzione iniziale del problema. Quindi, nonostante la velocità angolare della piattaforma si sia ridotta da $\omega_0= 10\, \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ a $\omega= 2\, \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$ , il dischetto è rimasto alla medesima velocità angolare $\vec{\omega}_0$ nel sistema di riferimento $Oxyz$ . La velocità tangenziale $\vec{v}$ del dischetto misurata rispetto al sistema $O{xyz}$ si calcola applicando il prodotto vettore tra la sua velocità angolare $\vec{\omega}_0 = \omega_0\,\hat{z}$ e il suo raggio vettore definito come $\vec{\ell}$ , cioè

(3) $\begin{equation*} \vec{v} =\vec{\omega}_0\wedge \vec{\ell} . \end{equation*}$

Si osservi che (3) è valida perché il moto è circolare. Siano $\hat{t}$ e $\hat{n}$ rispettivamente il versore tangente alla traiettoria di $m$ nel sistema di riferimento $Oxyz$ e il versore radiale (normale in questo caso perché la traiettoria è circolare uniforme) alla traiettoria di $m$ nel sistema di riferimento $Oxyz$ . Il moto che un osservatore in $O{xyz}$ osserva è circolare uniforme per il dischetto, quindi il raggio vettore $\vec{\ell}$ è un vettore di modulo costante $\ell$ che rappresenta il raggio della circonferenza percorsa dal dischetto. Abbiamo dunque

(4) $\begin{equation*} \vec{v} =\vec{\omega}_0\wedge \vec{\ell} = \omega_0 \ell \, \hat{z}\wedge \hat{n} = \omega_0\ell \,\hat{t}, \end{equation*}$

dove è stato usato $\hat{z}\wedge\hat{n}=\hat{t}$ . Da notare che $\vec{\ell}$ è il medesimo vettore in entrambi i sistemi di riferimento in quanto indica la posizione del dischetto rispetto all’origine, che è la stessa per entrambi i sistemi, l’unica cosa che cambia è la velocità con cui ruota: nel sistema $O{xyz}$ il raggio vettore $\vec{\ell}$ ruota con velocità angolare $\vec{\omega}_0$ , mentre nel sistema $O'{x'y'z'}$ il raggio vettore $\vec{\ell}$ ha una velocità angolare $\vec{\omega}^{\,\prime}$ diversa. Calcoliamo ora la velocità tangenziale del dischetto $\vec{v}\,'$ rispetto al sistema di riferimento $O'{x'y'z'}$ come chiesto dal problema. Tra i due sistemi di riferimento $O{xyz}$ e $O'{x'y'z'}$ c’è una velocità angolare relativa pari a $\vec{\omega}$ , è necessario considerare dunque il teorema delle velocità relative tra due sistemi di riferimento per passare da una velocità $\vec{v}$ rispetto $O{xyz}$ all’altra $\vec{v}\,'$ rispetto a $O'{x'y'z'}$ . Il teorema delle velocità relative si presenta come

(5) $\begin{equation*} \vec{v} = \vec{v}\,' + \vec{v}_{O'}+\vec{\omega}\wedge \vec{\ell}\,', \end{equation*}$

dove $\vec{v}$ , $\vec{v}\,'$ , $\vec{\omega}$ , $\vec{v}_{O'}$ e $\vec{\ell}\,'$ sono rispettivamente la velocità del punto materiale misurata in $O{xyz}$ , la velocità del punto materiale misurata in $O'{x'y'z'}$ , la velocità angolare del sistema riferimento $O'{x'y'z'}$ rispetto ad $O{xyz}$ e il raggio vettore del punto materiale rispetto a $O'{x'y'z'}$ .

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Nel nostro caso $O \equiv O'$ , dunque vale $\vec{v}_{O'}=\vec{0}$ e $\vec{\ell}\,' = \vec{\ell}$ per ogni $t\geq0$ . Sfruttando quanto detto l’equazione (5) diventa

(6) $\begin{equation*} \vec{v}\,' = \vec{v} - \vec{\omega} \wedge \vec{\ell}. \end{equation*}$

Mettendo a sistema la precedente equazione con l’equazione (4) e sapendo che $\vec{\omega} = \omega \,\hat{z}$ e $\hat{z} \wedge \hat{\ell}= \hat{t}$ , si ottiene

(7) $\begin{equation*} \vec{v}\,' = \omega_0 \ell \,\hat{t} - \omega \ell\, \hat{t} = (\omega_0-\omega)\ell\,\hat{t}. \end{equation*}$

Dato che $\omega_0-\omega<\omega_0$ , un osservatore solidale alla piattaforma vedrà il dischetto girare con una velocità angolare minore dopo che la piattaforma ha rallentato (in particolare osserverà una velocità angolare pari a $\vec{\omega}_0- \vec{\omega}$ che è anche la velocità angolare del raggio vettore $\vec{\ell}$ nel sistema $O'{x'y'z'}$ ), mantenendo sempre un moto circolare uniforme con velocità tangenziale pari a

$\boxcolorato{fisica}{\vec{v}\,' = (\omega_0-\omega)\ell \,\hat{t} = 12\, \hat{t}\,\,\text{m}\cdot \text{s}^{-1}.}$

In figura 4 è rappresentato lo schema dell’esercizio in questa situazione, si osserva che il dischetto non è più solidale al sistema $O'{x'y'z'}$ ma continua invece a ruotare attorno alla medesima asse di rotazione con la stessa velocità angolare $\vec{\omega}_0$ .

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Svolgimento punto 2.

Come detto precedentemente, il moto del dischetto rispetto al sistema di riferimento non inerziale $O'{x'y'z'}$ è circolare uniforme, quindi l’accelerazione tangenziale del corpo è nulla. È noto che qualsiasi accelerazione è scomponibile come somma vettoriale di un’accelerazione tangenziale al moto (aumenta o diminuisce la velocità tangenziale del moto) e un’accelerazione centripeta (che quantifica e permette un moto curvilineo). Se l’accelerazione tangenziale del dischetto è nulla allora la sua accelerazione è data unicamente dal contributo centripeto, sapendo che l’osservatore solidale alla piattaforma (sistema $O'{x'y'z'}$ ) osserva per il dischetto un moto circolare uniforme con velocità tangenziale pari a $\vec{v}\,'$ abbiamo che la sua accelerazione centripeta è

$\boxcolorato{fisica}{ \vec{a}\,' = -{ |\vec{v}\,'|^2 \over |\,\vec{\ell}\,| }\hat{n} = -(\omega_0-\omega)^2\ell \,\hat{n} = -96\,\hat{n}\,\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}.}$

Il segno meno presente nella precedente equazione sta ad indicare che l’accelerazione del punto materiale punto verso il centro della circonferenza.

Svolgimento punto 3.

Per un osservatore solidale al sistema di riferimento inerziale $O{xyz}$ il moto del dischetto è circolare uniforme con modulo di velocità angolare pari a $\omega_0$ . Ne segue che la sua accelerazione ha componente unicamente centripeta e vale

(8) $\begin{equation*} \vec{a} = -\omega_0^2 \ell \,\hat{n}. \end{equation*}$

Poiché il sistema $O{xyz}$ è inerziale possiamo scrivere la seconda legge di Newton come

(9) $\begin{equation*} \vec{T} = m\vec{a}, \end{equation*}$

e ricavare la massa del dischetto, ottenendo la seguente soluzione

$\boxcolorato{fisica}{ m = {T \over \omega_0^2 \ell} = \text{0,1}\, \text{kg}.}$

Approfondimento.

Conoscendo l’accelerazione relativa $\vec{a}\,'$ del dischetto rispetto al sistema non inerziale $O'{x'y'z'}$ è possibile calcolare l’accelerazione $\vec{a}$ rispetto al sistema di riferimento inerziale $O{xyz}$ usando il teorema delle accelerazione relative. Il teorema delle accelerazioni relative è enunciabile nel seguente modo: dati due sistemi di riferimento $O{xyz}$ e $O'{x'y'z'}$ rispettivamente inerziale e non inerziale con accelerazione relativa $\vec{a}_{O'}$ , velocità angolare relativa $\vec{\omega}$ e accelerazione angolare relativa $\vec{\alpha}$ , la relazione tra l’accelerazione $\vec{a}$ di un punto materiale misurato da un osservatore solidale con $O{xyz}$ e l’accelerazione $\vec{a}\,'$ misurata da un osservatore solidale con $O'{x'y'z'}$ è la seguente

(10) $\begin{equation*} \vec{a} = \vec{a}\,' + \vec{a}_{O'}+ \vec{\alpha}\wedge \vec{r}\,' + 2\,\vec{\omega} \wedge \vec{v}\,' + \vec{\omega}\wedge(\vec{\omega}\wedge \vec{r}\,'), \end{equation*}$

dove $\vec{r}\,'$ è il raggio vettore dell’oggetto nel sistema di riferimento $O'{x'y'z'}$ . Innanzitutto, nel nostro caso abbiamo che $\vec{\alpha} = \vec{0}$ e $\vec{a}_{O'}=\vec{0}$ in quanto i due sistemi $O{xyz}$ e $O'{x'y'z'}$ hanno solo un moto rotazionale a velocità angolare relativa costante. Calcoliamo i termini della precedente equazione separatamente. Abbiamo dunque

(11) $\begin{equation*} \vec{\omega} \wedge \vec{v}\,' = \omega \hat{z} \wedge (\ell (\omega_0 - \omega)) \hat{t} = \ell \omega (\omega_0-\omega) (\hat{z} \wedge \hat{t})= - \ell \omega (\omega_0-\omega) \hat{n}. \end{equation*}$

Infatti, per la regola della mano destra abbiamo che $\hat{z} \wedge \hat{t}$ è un versore opposto a $\hat{n}$ , in quanto $\hat{t}$ è perpendicolare a $\hat{n}$ . Quindi il termine $2\, \vec{\omega} \wedge \vec{r}\,'$ è un termine centripeto. Infine

(12) $\begin{equation*} \vec{\omega}\wedge(\vec{\omega}\wedge \vec{r}\,') = \omega \hat{z} \wedge (\omega \,\hat{z} \wedge \ell \,\hat{n}) = \omega \hat{z} \wedge (\omega \ell \, \hat{t}) =\omega^2\ell \,(\hat{z} \wedge \hat{t})=- \omega^2\ell \,\hat{\ell}. \end{equation*}$

Otteniamo anche qui un termine centripeto. Mettendo a sistema le equazioni (11), (12), (10), e ricordando che $\vec{\alpha} = \vec{0}$ , $\vec{a}_{O'}=\vec{0}$ e il risultato pervenuto al secondo punto del problema, si ottiene

(13) $\begin{equation*} \begin{split} \vec{a} &= \vec{a}\,' + 2 \vec{\omega} \wedge\vec{v}\,' + \vec{\omega} \wedge (\vec{\omega} \wedge \vec{r}\,'), \\ & = -(\omega_0 -\omega)^2 \ell \,\hat{n} -2\ell \omega(\omega_0 -\omega) \hat{n} - \omega^2\ell \hat{n},\\ & = \bigg(-\omega_0 \ell^2 - \omega \ell^2 + 2 \omega \omega_0 \ell+2\omega^2 \ell - 2\omega \omega_0 \ell -\omega^2\ell\bigg)\hat{n}, \\ & = -\omega_0^2 \ell \hat{\ell}. \end{split} \end{equation*}$

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Esercizio moti relativi 19

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