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Esercizio moti relativi 13

Moti relativi in Meccanica classica

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Esercizio sui moti relativi 13 è il tredicesimo esercizio della raccolta esercizi dedicati ai moti relativi. Il successivo esercizio disponibile nella sequenza è Esercizio sui moti relativi 14, mentre il precedente è Esercizio sui moti relativi 12. L’argomento dei moti relativi precede lo studio degli esercizi svolti sul lavoro e sull’energia e prosegue con l’analisi degli esercizi svolti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio è rivolto agli studenti del corso di Fisica 1, risultando particolarmente utile per i percorsi di studio in ingegneria, fisica e matematica.

 

Testo dell’Esercizio sui moti relativi 13

Esercizio 13 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Una piattaforma si trova su di un piano orizzontale e ruota con velocità angolare \vec{\omega} costante in modulo, direzione e verso, rispetto ad un asse passante per il proprio centro di massa, e perpendicolare al piano sul quale giace, come rappresentato in figura 1. All’istante t=0, una pallina viene lanciata orizzontalmente con velocità \vec{v}_0 dal centro della piattaforma. Si trascuri ogni forma di attrito. Si determini l’accelerazione della pallina, ad un generico istante t>0, rispetto da un riferimento solidale alla piattaforma.

 

 

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Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale P, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1) \begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}

Nell’equazione (3):

  • \vec{F} è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
  • \vec{a}_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
  • \vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }, dove \vec{\omega} la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{r}^{\, \prime } il vettore posizione di m rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • -m\vec{a}_c è la forza centrifuga, dove \vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right);
  • -m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}} è la forza di Coriolis, dove \vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }, essendo \vec{v}^{\, \prime } la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • \vec{a}^{\,\prime} è l’accelerazione relativa di m nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2) \begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}

   


Svolgimento.

Scegliamo due sistemi di riferimento: un sistema di riferimento fisso Oxyz e un sistema di riferimento O'x'y'z' solidale con la piattaforma che ruota. Il sistema di riferimento O'x'y'z' ruota con velocità angolare costante \vec{\omega}, pertanto è un sistema di riferimento non inerziale. Li disponiamo in modo tale che O \equiv O' e z \equiv z', come rappresentato nella figura 2.

 

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Siano \hat{x}, \hat{y}, \hat{z}, \hat{x}', \hat{y}' e \hat{z}^{\prime}, i versori rispettivamente degli assi x, y, z, x^\prime, y^\prime e z^\prime. Si osservi che i versori x^\prime e y^\prime cambiano costantemente direzione, infatti sono funzioni del tempo; inoltre, dato che z\equiv z^\prime, vale \hat{z}=\hat{z}^\prime. Nella figura 2 si è rappresentato l’angolo \theta che forma l’asse delle x con l’asse x' in un generico istante t>0. Quindi l’angolo \theta è una funzione del tempo, dato che la piattaforma (e il sistema O'x'y'z' insieme ad essa) ruota con velocità angolare costante \vec{\omega}. Supponendo che al tempo t=0 i due sistemi di riferimento siano coincidenti, ossia x \equiv x' e y \equiv y', allora \theta evolve nel tempo secondo la legge \theta(t) = \omega t, dato che \omega è costante la legge oraria è quella di un moto circolare uniforme rispetto al sistema di riferimento fisso.

Inoltre, scegliamo di orientare il sistema di riferimento Oxyz in modo da avere \vec{v}_0 = v_0 \,\hat{x}. Osservando dal sistema di riferimento Oxy sulla pallina non agiscono forze, pertanto la pallina procederà di moto rettilineo uniforme lungo l’asse delle x. Sia m la massa della pallina. La seconda legge della dinamica, “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale P, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti, uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale, cioè

(3) \begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_{\text{Centrifuga}}-m\vec{a}_{\text{Tangenziale}}-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}{\,^\prime}, \end{equation*}

dove

  • \vec{F} è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
  • \vec{a}_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
  • \vec{a}_{\text{tangenziale}}=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }, dove \vec{\omega} è la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{r}^{\, \prime } è la distanza tra il punto materiale e l’origine del sistema di riferimento non inerziale;
  • -m\vec{a}_{\text{Centrifuga}} è la forza centrifuga, dove \vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right);
  • -m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}} è la forza di Coriolis, dove \vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }, mentre \vec{v}^{\, \prime } è la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale.

Nel nostro problema, sulla pallina non sono presenti forze reali, quindi \vec{F}=\vec{0}; la velocità angolare \vec{\omega} è costante in modulo, direzione e verso, pertanto \vec{a}_{\text{Tangenziale}}=\vec{0}; inoltre, il sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime non trasla, di conseguenza \vec{a}_{O^\prime}=\vec{0}. Sfruttando quanto detto l’equazione (3) diventa

(4) \begin{equation*} -m\vec{a}_{\text{Centrifuga}}-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}{\,^\prime}, \end{equation*}

oppure

(5) \begin{equation*} -\vec{a}_{\text{Centrifuga}}-\vec{a}_{\text{Coriolis}}=\vec{a}{\,^\prime}, \end{equation*}

in altri termini

(6) \begin{equation*} \vec{a}{\,^\prime} = - \vec{\omega} \wedge \vec{\omega} \wedge \vec{r}{\,^\prime} - 2\ \vec{\omega} \wedge \vec{v}{\,^\prime} = - \vec{\omega} \wedge (\vec{\omega} \wedge \vec{r}{\,^\prime} + 2\ \vec{v}{\,^\prime}). \end{equation*}

Per il teorema delle velocità relative, si ha

(7) \begin{equation*} \vec{v}{\,^\prime} = \vec{v}_0 - \vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\,\prime} = v_0\,\hat{x} - \vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\,\prime}, \end{equation*}

dove \vec{v}^{\,\prime}, come già detto, è la velocità relativa della pallina nel sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime. Sostituendo \vec{v}^{\,\prime} (calcolata nella precedente equazione) nell’equazione (6), si ottiene

(8) \begin{equation*} \vec{a}{\,^\prime} = - \vec{\omega} \wedge (\vec{\omega} \wedge \vec{r}{\,^\prime} + 2\ \vec{v}{\,^\prime})= - \vec{\omega} \wedge (\vec{\omega} \wedge \vec{r}{\,^\prime} + 2v_0\,\hat{x} - 2\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\,\prime}), \end{equation*}

conseguentemente

(9) \begin{equation*} \boxed{\vec{a}{\,^\prime} = \vec{\omega} \wedge (\vec{\omega} \wedge \vec{r}{\,^\prime}- 2v_0\,\hat{x} ).} \end{equation*}

Proiettando il versore \hat{x} lungo gli assi x^\prime e y^\prime, si ottiene

(10) \begin{equation*} \boxed{ \hat{x} = \cos\theta\ \hat{x}^\prime - \sin\theta\ \hat{y}^\prime = \cos(\omega t) \hat{x}^\prime - \sin(\omega t) \hat{y}^\prime,} \end{equation*}

dove abbiamo sfruttato il fatto che \theta =\omega t; in altri termini, abbiamo espresso il versore \hat{x} come combinazione lineare dei versori \hat{x}^\prime e \hat{y}^\prime. Sia \vec{x}(t) il vettore posizione della pallina nel sistema di riferimento fisso Oxy; dato che il corpo si muove di moto rettilineo uniforme, si ha

(11) \begin{equation*} \vec{x}(t)=v_0t\,\hat{x}. \end{equation*}

Sfruttando il risultato pervenuto nell’equazione (10), la precedente equazione può essere riscritta come

(12) \begin{equation*} \boxed{\vec{x}(t)=v_0t\left(\cos(\omega t)\, \hat{x}^\prime - \sin(\omega t)\, \hat{y}^\prime\right).} \end{equation*}

Siccome O\equiv O^\prime, si ha \vec{x}(t)=\vec{r}^{\,\prime}(t). Osservando che \vec{\omega}=\omega \,\hat{z}^{\prime}, sfruttando i risultati ottenuti nelle equazioni (10) e (12), e ricordando che \vec{x}(t)=\vec{r}^{\,\prime}(t), l’equazione (9) può essere riscritta come

(13) \begin{equation*} \begin{aligned} \vec{a^\prime} &= \omega\, \hat{z}^\prime \wedge \left\{ \omega \hat{z}^\prime \wedge \left[ v_0t\cos(\omega t)\, \hat{x}^\prime - v_0t\sin(\omega t)\, \hat{y}^\prime \right] - 2 v_0\left[\cos(\omega t)\, \hat{x}^\prime - \sin(\omega t)\, \hat{y}^\prime \right] \right\} = \\[10pt] & = \omega \, \hat{z}^\prime \wedge \left[ \omega v_0 t \cos(\omega t)\, \hat{y}^\prime + \omega v_0 t \sin(\omega t) \, \hat{x}^\prime - 2 v_0\cos(\omega t)\, \hat{x}^\prime + 2 v_0\sin(\omega t)\, \hat{y}^\prime \right] = \\[10pt] & = \omega \, \hat{z}^\prime \wedge \left\{ \left[ \omega v_0 t \sin(\omega t) - 2 v_0\cos(\omega t) \right] \hat{x}^\prime + \left[ \omega v_0 t \cos(\omega t) + 2 v_0\sin(\omega t) \right] \hat{y}^\prime \right\} = \\[10pt] & = \left[ \omega^2 v_0 t \sin(\omega t) - 2\omega v_0\cos(\omega t) \right] \hat{y}^\prime - \left[ \omega^2 v_0 t \cos(\omega t) + 2\omega v_0\sin(\omega t) \right] \hat{x}^\prime, \end{aligned} \end{equation*}

dove abbiamo sfruttato \hat{z}^\prime \wedge \hat{x}^\prime=\hat{y}^\prime, \hat{z}^\prime \wedge \left(-\hat{y}^\prime\right)=\hat{x}^\prime e \hat{z}^\prime \wedge \hat{y}^\prime=-\hat{x}^\prime. In conclusione, l’accelerazione della pallina nel sistema di riferimento solidale con la piattaforma è

\[\boxcolorato{fisica}{\vec{a}^{\,\prime} = - \left[ \omega^2 v_0 t \cos(\omega t) + 2\omega v_0\sin(\omega t) \right] \hat{x}^\prime+\left[ \omega^2 v_0 t \sin(\omega t) - 2\omega v_0\cos(\omega t) \right] \hat{y}^\prime.}\]

 


Metodo alternativo.

Consideriamo due sistemi di riferimento: uno inerziale Oxyz e non inerziale O'x'y'z'. Senza perdita di generalità supponiamo che all’istante iniziale O \equiv O' e z \parallel z' (in generale z e z^\prime non sono paralleli , infatti nella figura 3 abbiamo rappresentato la situazione più generale possibile). La relazione che intercorre tra il punto materiale P e i sistemi di riferimento è

(14) \begin{equation*} \vec{r}\, '= \vec{r}-\vec{r}_{O'}, \end{equation*}

dove \vec{r}\,' è la distanza di P da O', \vec{r} è la distanza di P da O, ed infine \vec{r}_{O'} è la distanza tra O e O'.

 

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Siano \hat{x}, \hat{y}, \hat{z}, \hat{x}', \hat{y}' e \hat{z}' i versori rispettivamente degli assi x,y, z, x', y' e z'. Nel nostro caso, abbiamo O\equiv O^\prime, pertanto \vec{r}_{O'}=\vec{0}, e di conseguenza, la precedente relazione diventa

(15) \begin{equation*} \vec{r}\, '= \vec{r}. \end{equation*}

Abbiamo

(16) \begin{equation*} \vec{r} = x \; \hat{x} + y \; \hat{y} + z \; \hat{z} \quad \mbox{e} \quad \vec{r}\,' = x' \; \hat{x}'+ y\,' \; \hat{y}' + z' \; \hat{z}', \end{equation*}

dove x, y, z, x^\prime, y^\prime e z^\prime, sono le componenti di m rispetto agli assi x, y, z, x', y' e z'. Siccome m è vincolato a muoversi sul piano orizzontale, si ha z\equiv z^\prime=0. Dunque, sfruttando l’equazione (16), e ricordando che z\equiv z^\prime=0, l’equazione (15) diventa

(17) \begin{equation*} x' \, \hat{x}' + y' \; \hat{y}' = x \,\hat{x}+y \,\hat{y}. \end{equation*}

Moltiplicando, ambo i membri dell’equazione per \hat{x}', otteniamo

(18) \begin{equation*} x' = x\, \hat{x} \cdot \hat{x}'+y \,\hat{y}\cdot \hat{x}'. \end{equation*}

Analogamente, moltiplichiamo ambo i membri per \hat{y}', si giunge ad

(19) \begin{equation*} y' = x\, \hat{x}\cdot \hat{y}'+y\, \hat{y}\cdot \hat{y}'. \end{equation*}

Mettendo a sistema le equazione (18) e (19), si trova

(20) \begin{equation*} \begin{cases} x' = x\, \hat{x} \cdot \hat{x}\, '+y \,\hat{y}\cdot \hat{x}\, '\\ y' = x\, \hat{x}\cdot \hat{y}'+y\, \hat{y}\cdot \hat{y}'. \end{cases} \end{equation*}

Nei precedenti calcoli abbiamo usato \hat{x}^{\prime}\cdot \hat{x}^{\prime}=1, \hat{y}^{\prime}\cdot \hat{y}^{\prime}=1 e \hat{x}^{\prime}\cdot \hat{y}^{\prime}=0. Le coordinate x e y della pallina, nel sistema di riferimento Oxyz, sono rispettivamente per ogni t\geq 0

(21) \begin{equation*} x = v_0 t \quad\text{e} \quad y = 0, \end{equation*}

da cui, il precedente sistema, diventa

(22) \begin{equation*} \begin{cases} x' = x\, \hat{x} \cdot \hat{x}\, '\\ y' = x\, \hat{x}\cdot \hat{y}'. \end{cases} \end{equation*}

Dalla figura 2, si deduce che

(23) \begin{equation*} \hat{x}\cdot\hat{x}' = \cos\theta = \cos(\omega t) = \hat{y}\cdot\hat{y}', \end{equation*}

e

(24) \begin{equation*} \hat{x}\cdot\hat{y}' = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right) = -\sin\theta = -\sin(\omega t) . \end{equation*}

Utilizzando le equazioni (23) e (24), il sistema (22) diventa

(25) \begin{equation*} \begin{cases} x' = v_0 t \cos(\omega t) \\ y' = -v_0 t \sin(\omega t). \end{cases} \end{equation*}

Derivando rispetto al tempo, ambo i membri delle equazioni (25)_1 e (25)_2, si ottiene

(26) \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle \frac{dx'}{dt} = v_0\cos(\omega t) - v_0 \omega t\sin(\omega t) \\[10pt] \displaystyle \frac{dy'}{dt} = -v_0 \sin(\omega t) - v_0 \omega t \cos(\omega t). \end{cases} \end{equation*}

Si osservi che {dx'}/{dt} e {dy'}/{dt} rappresentano rispettivamente la componente x^\prime e y^\prime della velocità \vec{v}^{\,\prime}. Di nuovo, derivando rispetto al tempo ambo i membri, delle equazioni (26)_1 e (26)_2, si ha

(27) \begin{equation*} \begin{cases} \displaystyle \frac{d^2x'}{dt^2} = -v_0\omega\sin(\omega t) - v_0 \omega \sin(\omega t) - v_0 \omega^2 t \cos(\omega t) = - 2 v_0 \omega \sin(\omega t) - v_0 \omega^2 t \cos(\omega t) \\[10pt] \displaystyle \frac{d^2y'}{dt^2} = -v_0 \omega \cos(\omega t) - v_0 \omega \cos(\omega t) + v_0 \omega^2 t \sin(\omega t) = - 2 v_0 \omega \cos(\omega t) + v_0 \omega^2 t \sin(\omega t). \end{cases} \end{equation*}

Si osservi che {d^2x'}/{dt^2} e {d^2y'}/{dt^2} rappresentano rispettivamente la componente x^\prime e y^\prime dell’accelerazione \vec{a}^{\,\prime}. I risultati del sistema (27) sono in accordo con i risultati pervenuti nell’equazione (13).

 

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