Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi sul moto circolare, uno degli argomenti centrali nei programmi di Meccanica dei corsi di Fisica 1. I moti circolari possono verificarsi infatti in tutti i fenomeni fisici in cui un campo di forze attrae centralmente i corpi circostanti.
In questo articolo presentiamo 11 esercizi completamente risolti su questo tema; il materiale è particolarmente indicato per studenti dei corsi di Fisica 1 per la preparazione degli esami e per appassionati che desiderano avere una panoramica varia sull’argomento.
Moto circolare: ulteriori risorse
Oltre all’esaustiva lista alla fine dell’articolo, segnaliamo le raccolte di esercizi su argomenti correlati:
Evidenziamo anche i seguenti articoli teorici:
- Moto parabolico: teoria;
- Moto rettilineo uniformemente accelerato;
- Note sulla velocità e sull’ascissa curvilinea.
Sommario
Leggi...
Per affrontare con successo tali esercizi è richiesta una solida conoscenza delle tecniche matematiche affrontate nei corsi di Analisi 1 [1, 2, 3, 4], con particolare riferimento ai concetti di derivazione e integrazione. Le competenze acquisite in tale ambito risultano essenziali per la risoluzione dei problemi proposti, i quali presuppongono una comprensione approfondita delle relazioni cinematiche che governano il moto circolare.
Si auspica che gli esercizi proposti rappresentino uno stimolo intellettuale e costituiscano un valido supporto didattico nel percorso formativo degli studenti.
Autori e revisori
Leggi...
Introduzione al moto circolare
Leggi...
Gli esercizi proposti coprono una vasta gamma di problematiche, dai quesiti introduttivi, utili per consolidare la comprensione dei concetti fondamentali del moto circolare uniforme e non uniforme, fino a esercizi più complessi, che richiedono l’applicazione di principi avanzati e tecniche di calcolo più sofisticate.
In particolare, gli Esercizi 1, 2 e 3 affrontano nello specifico due tipologie di moto circolare: quello uniforme e quello uniformemente accelerato. A partire dall’Esercizio 4, il lettore sarà chiamato a risolvere problemi di moto circolare con variazioni più articolate, che in alcuni casi si riconducono ai moti studiati in precedenza.
La teoria sul moto circolare: brevi richiami
Leggi...
(1)
Si ha quindi per ogni
.
Se il corpo si muove in senso antiorario l’angolo , la velocità angolare
e l’accelerazione angolare è
se il corpo accelera,
se decelera.
Se invece si muove in senso orario, vale l’opposto, cioé: l’angolo , la velocità angolare
e l’accelerazione angolare è
se il corpo accelera,
se decelera.
I vettori e
al generico istante di tempo
sono rappresentati in figura 1 (c) e si individuano mediante la regola della mano destra: le dita della mano si chiudono nel verso in cui si muove il corpo, il pollice indica il verso del vettore
. Il verso di
è concorde a quello di
se il corpo sta accelerando, viceversa se il corpo sta decelerando.
Moto circolare vario.
(2)
dove è il versore normale alla circonferenza diretto verso l’esterno, mentre
è il versore tangente alla circonferenza orientato in senso antiorario, come illustrato in figura 1 (d).
Si definisce
(3)
(4)
rispettivamente accelerazione normale e accelerazione tangenziale all’istante .
Figura 1: rappresentazione dei sistemi di riferimento usati e dei vettori velocità e accelerazione.
Moto uniformemente accelerato.
Un moto circolare è detto uniformemente accelerato se è costante in modulo, direzione e verso, ossia
.
Siano e
rispettivamente l’istante di tempo in cui ha inizio il moto e l’angolo iniziale che il corpo forma con l’orizzontale, come illustrato in figura 1 (a). Le leggi che descrivono il moto circolare uniformemente accelerato del punto materiale sono
(5)
dove è l’angolo che spazza il corpo rispetto all’orizzontale nel generico istante
,
è l’angolo che spazza il corpo rispetto all’orizzontale all’istante
,
è la velocità angolare iniziale al tempo iniziale,
è la velocità angolare in funzione dell’angolo
,
è la velocità angolare valutata in
. Si noti che poiché all’istante
il punto
forma un angolo
con l’asse delle
, allora segue che
Definiamo all’istante un sistema di riferimento
tangente-normale, con origine
in corrispondenza del punto
, l’asse delle
tangente alla circonferenza e l’asse delle
ad esso ortogonale ed orientato come in figura 2. L’accelerazione nel moto circolare, rispetto a
si può esprimere come
(6)
dove e
rappresentano rispettivamente il versore nella direzione normale e tangenziale al moto del corpo, come illustrato in figura 2. Osserviamo che in questo caso, a differenza del moto circolare vario i due versori
e
non dipendono dal tempo
. Si definiscono
(7)
(8)
rispettivamente accelerazione normale e accelerazione tangenziale del moto circolare uniformemente accelerato.
Si osservi che nel moto circolare uniformemente accelerato l’accelerazione tangenziale è costante per definizione, per cui il modulo dell’accelerazione varia a causa del solo contributo dell’accelerazione normale, perché
varia istante per istante.
Figura 2: vettore velocità ed accelerazione
ad un generico istante
.
Sapendo che la lunghezza dell’arco di circonferenza percorso dal punto materiale nel generico istante vale
(9)
(10)
dove è il modulo della la velocità tangenziale.
Di conseguenza è possibile riscrivere l’equazione (6) come segue
(11)
Derivando ambo i membri dell’equazione (10) rispetto al tempo otteniamo
(12)
Grazie alla precedente equazione è possibile riscrivere (6) come segue
(13)
Avvalendoci dei precedenti fatti, ovvero che e
, moltiplicando per
ambo i membri le prime due equazioni del sistema (5) e per
ambo i membri l’ultima equazione del sistema (5), si ottiene
(14)
dove rappresenta la lunghezza dell’arco di circonferenza percorso dal punto al tempo iniziale
,
è la velocità all’istante
,
è la velocità tangenziale del punto
in funzione dell’angolo
,
corrisponde alla velocità tangenziale del punto all’angolo iniziale
,
descrive la lunghezza dell’arco di circonferenza percorso dal punto in relazione all’angolo
, e
denota la lunghezza dell’arco di circonferenza al quale si trova il punto
quando il raggio
forma un angolo
con l’orizzontale.
Moto circolare – Testi e soluzioni degli esercizi
Esercizio 1 . Un punto si muove di moto circolare uniforme attorno ad un polo fisso
e a una distanza
da esso. All’istante
, il punto materiale ha velocità angolare iniziale
.
Successivamente, inizia a decelerare con accelerazione angolare costante e si ferma dopo aver percorso un giro completo.
Si richiede di calcolare:
- Il tempo
impiegato dal punto materiale per compiere un giro completo (
), in funzione del parametro
;
- Il modulo della decelerazione del punto al tempo
, in funzione dei parametri
e
.
Figura 3: sistema fisico in esame.
Svolgimento punto 1.
Sfruttando le notazione introdotte nei richiami teorici, nel problema in esame, abbiamo
(15)
(16)
di conseguenza, nel contesto specifico, il sistema (5) si semplifica a
(17)
In corrispondenza dell’istante sappiamo che il corpo si arresta dopo aver percorso un giro completo,
, per cui dal sistema (17) segue che
(18)
Dalla seconda equazione del sistema (18) ricaviamo che il corpo decelera con decelerazione angolare costante pari a
(19)
che sostituita nella prima equazione dello stesso sistema restituisce
(20)
da cui ricaviamo che il tempo che impiega il corpo per fermarsi è pari a
Osserviamo che il tempo appena ottenuto è inversamente proporzionale alla velocità angolare iniziale
in accordo con quanto ci si aspetta intuitivamente.
Svolgimento punto 2.
(21)
Quindi, per ottenere l’espressione di all’istante
, utilizziamo la seconda equazione del sistema (17), ottenendo
(22)
dove nel secondo passaggio abbiamo utilizzato l’espressione di ricavata all’equazione (19).
Sostituendo le espressioni di ed
ottenute rispettivamente dalle equazioni (22) e (19) nell’equazione (21), risulta che
(23)
dove nel secondo passaggio abbiamo utilizzato l’espressione di ottenuta al punto 1.
L’equazione (23) può essere riscritta come
(24)
da cui
Esercizio 2 . Un punto si muove lungo una circonferenza di raggio
in senso antiorario. Esso parte da fermo dalla posizione
(
) con velocità angolare iniziale nulla e fino ad una seconda posizione
(
) si muove di moto uniformemente accelerato con accelerazione angolare
.
Dopo aver raggiunto la posizione il corpo frena uniformemente (con accelerazione diversa rispetto al tratto
), continuando il moto sulla circonferenza fino a fermarsi in
.
Calcolare:
- il tempo
impiegato dal corpo per andare dal punto
al punto
della circonferenza;
- il modulo dell’accelerazione centripeta in
;
- il modulo dell’accelerazione tangenziale del corpo per andare dal punto
al punto
della circonferenza.
Esprimere i risultati in funzione dei parametri del problema e
.
Figura 4: sistema fisico in esame.
Svolgimento punto 1.
Figura 5: configurazione del sistema quando il corpo si trova in un generico punto .
Nel tratto per andare dal punto al punto
, il corpo, partendo da fermo (
) nel punto
(
), si muove di moto circolare uniformemente accelerato la cui legge oraria è data dalla prima equazione del sistema (5), ossia
(25)
dove è l’istante in cui il corpo raggiunge il punto
. In corrispondenza di tale istante si ha che
(26)
Sostituendo l’espressione di data dall’equazione (26) nell’equazione (25), ricaviamo
(27)
da cui otteniamo che il tempo impiegato dal corpo per percorrere l’arco di circonferenza è pari a
Osserviamo che, coerentemente con le aspettative, il corpo impiega meno tempo per raggiungere il punto dal punto
all’aumentare dell’accelerazione angolare.
Svolgimento punto 2.
Dall’equazione (7), la componente centripeta dell’accelerazione del corpo nel punto
è data da
(28)
dove rappresenta la velocità angolare in corrispondenza dell’istante
.
Dalla seconda equazione del sistema (5), avendo posto l’origine dei tempi in
e ricordando che
si ha che all’istante
la velocità angolare del corpo vale
(29)
dove abbiamo sostituito l’espressione di calcolata al punto 1.
Sostituendo l’espressione di
, ottenuta all’equazione (29), nell’equazione (28) ricaviamo che la componente centripeta dell’accelerazione del corpo nel punto
vale
(30)
per cui il suo modulo è dato da
Svolgimento punto 3.
Nel percorrere la distanza dal punto al punto
, dove il corpo si ferma, esso compie un moto circolare uniformemente decelerato. Dall’equazione (8), la componente tangenziale
dell’accelerazione del corpo in questo tratto è data da
(31)
dove rappresenta la decelerazione angolare del corpo nel passaggio da
a
e
indica il tempo in cui il corpo si arresta. Come discusso nei richiami teorici, poiché il corpo sta decelerando muovendosi in senso antiorario ci aspettiamo che
.
Utilizzando la terza equazione del sistema (5), ponendo , si ottiene che nell’arco di circonferenza
(32)
dove , e osserviamo che
.
Valutando l’equazione (32) quando il corpo raggiunge il punto (quindi
) con velocità angolare
, ricaviamo
(33)
da cui, esplicitando rispetto alla decelerazione angolare , otteniamo
(34)
dove nel secondo passaggio abbiamo sostituito il valore di dato dall’equazione (29).
Sostituendo l’espressione di ottenuta all’equazione (34) nella definizione della componente tangenziale (eq.(31)) dell’accelerazione, otteniamo che quest’ultima vale
(35)
da cui il suo modulo è pari a
Esercizio 3 . Un punto materiale si muove lungo una semicirconferenza
di raggio
con moto circolare uniformemente accelerato. I punti
e
rappresentano rispettivamente l’inizio e la fine della semicirconferenza, mentre
è il punto centrale (si veda la figura 6). Inizialmente, il corpo ha una velocità di modulo
in
, mentre in
la sua velocità si annulla (
). Dall’estremo
, il punto materiale ritorna ad
seguendo una traiettoria rettilinea uniformemente accelerata lungo il diametro della semicirconferenza. Il tempo necessario per percorrere la semicirconferenza da
a
, indicato con
, è equivalente al tempo
impiegato dal corpo nel tragitto dal punto
al punto
attraverso il diametro della semicirconferenza.
Calcolare:
- l’accelerazione tangenziale del corpo nel tratto
in funzione di
ed
;
- il tempo
in funzione di
ed
;
- il modulo dell’accelerazione in
in funzione di
ed
;
- l’accelerazione lungo il diametro
in funzione di
ed
.
Esprimere i risultati utilizzando i parametri del problema e
.
Figura 6: sistema fisico in esame.
Svolgimento punto 1.
Figura 7: angoli e
individuati dal corpo nel percorrere il tratto
All’istante iniziale , il punto parte da
con una velocità
e raggiunge il punto
all’istante
con velocità nulla
, dopo aver percorso una semicirconferenza di lunghezza
.
Per calcolare , utilizziamo la terza equazione del sistema (14), ovvero
(36)
da cui otteniamo che
Osserviamo che il corpo sta decelerando muovendosi in senso orario. Di conseguenza, per quanto detto nei richiami teorici, la sua accelerazione angolare sarà , da cui segue che
.
Svolgimento punto 2.
(37)
(38)
Sfruttando l’espressione di ottenuta al punto precedente, l’equazione (38) diventa
(39)
o anche
Notiamo che nonostante il segno meno che compare nella formula precedente. Infatti, come notato sopra vale
, muovendosi il corpo in senso orario. Inoltre, il tempo
è proporzionale al raggio della circonferenza
ed inversamente proporzionale alla velocità del corpo nel punto
.
Svolgimento punto 3.
(40)
dove è l’istante in cui il corpo arriva nel punto
.
Dalla equazione (8) e dall’espressione di ottenuta al punto 1 si ha che
(41)
(42)
dove, come detto in precedenza, in accordo col fatto che il corpo decelera muovendosi in senso orario.
Per determinare la velocità angolare del corpo nel punto
, ci avvaliamo della terza equazione del sistema (5), espressa come segue
(43)
dove rappresenta la velocità angolare del corpo nel punto
,
è la velocità angolare del corpo nel punto A,
e
.
Sostituendo l’espressione di ottenuta dall’equazione (42) nell’equazione (43), otteniamo
(44)
Sostituendo le equazioni (42) e (44) nell’equazione (40), si ricava che
(45)
da cui
Svolgimento punto 4.
Figura 8: sistema di riferimento .
Consideriamo l’istante iniziale come quello in cui il corpo si trova nel punto alla posizione
con velocità
. La legge oraria che descrive il suo moto lungo il diametro
è quindi data da
(46)
Dopo un tempo pari a , il corpo si trova in
alla posizione
, rendendo l’equazione (46) come segue:
(47)
(48)
dove nel secondo passaggio abbiamo utilizzato l’espressione di ottenuta al punto 2.
In virtù dell’equazione (48), l’equazione (47) può essere riscritta come
(49)
da cui otteniamo che il modulo dell’accelerazione lungo il diametro
è dato da
Scarica gli esercizi svolti
Ottieni 11 esercizi svolti sul moto circolare scaricabili. La dispensa ha una lunghezza complessiva di 34 pagine.
Esercizio 4 . Un punto si muove lungo una circonferenza di raggio
. A partire dall’istante
, in cui la sua velocità è nulla, si osserva che l’accelerazione centripeta segue la legge
, con
.
Calcolare il modulo dell’accelerazione tangenziale in funzione dei parametri
e
.
Figura 9: sistema fisico in esame.
Svolgimento.
(50)
Utilizzando l’equazione (3), si ottiene che all’istante di tempo vale la seguente relazione
(51)
da cui, risolvendo rispetto a , otteniamo
(52)
In un moto circolare generico, l’accelerazione angolare è data dall’equazione (4), ovvero
(53)
Ricordando che , utilizzando l’equazione (107), ricaviamo
(54)
ossia
Osserviamo che essendo costante in modulo, il moto descritto dal punto materiale è un moto circolare uniformemente accelerato.
Esercizio 5 . Consideriamo un punto materiale che si muove lungo una traiettoria circolare con velocità angolare iniziale
. La circonferenza ha raggio
, e il suo centro è indicato con
. Il moto del punto è descritto nel seguente modo:
- Da
a
, l’accelerazione angolare è
, con
espresso in
;
- Successivamente, il punto subisce un ulteriore frenamento, e la sua accelerazione angolare diventa costante, con valore
, tale che
, fino a raggiungere la completa fermata.
Calcolare:
- il modulo dell’accelerazione
del punto all’istante
;
- l’istante
in cui il punto si ferma completamente.
Esprimere i risultati in funzione dei parametri del problema, cioè ,
e
.
Figura 10: sistema fisico in esame.
Svolgimento punto 1.
(55)
dove, applicando il teorema di Pitagora, il modulo dell’accelerazione è dato da
(56)
dove .
Poiché il moto circolare non è uniformemente accelerato per per ottenere l’espressione di
è necessario integrare l’equazione
tra
e
. Applicando il Teorema fondamentale del calcolo integrale, otteniamo
(57)
Valutando l’equazione (56) all’istante , ricaviamo:
(58)
e sostituendo l’espressione di ottenuta dalla (57)
(59)
ovvero
Svolgimento punto 2.
Dalla seconda equazione del sistema (5), otteniamo:
(60)
dove abbiamo sostituito poiché il corpo si arresta in corrispondenza di
.
Esplicitando l’equazione (60) rispetto al tempo , si trova
(61)
Sostituendo l’espressione di ottenuta dall’equazione (57) nell’equazione (61), troviamo che l’istante
in cui il punto si ferma è dato da
(62)
da cui raccogliendo si ricava
Esercizio 6 . Consideriamo un corpo che si muove di moto circolare lungo una circonferenza di centro
e raggio
. La velocità angolare del corpo al tempo iniziale
è nulla.
Il corpo è soggetto a un’accelerazione angolare data da , con
e
costanti positive e non nulle , espresse in
e
rispettivamente.
Per un generico istante , determinare:
- La velocità angolare del corpo;
- Le componenti tangenziale e centripeta dell’accelerazione del corpo;
- Il vettore accelerazione del corpo e il suo modulo rispetto ad un sistema di riferimento inerziale
con origine
nel centro della circonferenza ed orientato come in figura 11;
- L’angolo formato tra l’accelerazione e la tangente alla circonferenza.
Esprimere i risultati in funzione dei parametri del problema ,
e
.
Figura 11: sistema fisico in esame.
Svolgimento punto 1.
(63)
dove nella seconda uguaglianza abbiamo sfruttato l’informazione che il corpo parte con velocità angolare nulla e
.
Dunque ad un generico istante di tempo
la velocità angolare del corpo è data da
Osserviamo che essendo segue che
in ogni istante di tempo
.
Svolgimento punto 2.
(64)
ovvero
Dall’equazione (3) e utilizzando l’espressione di ottenuta al punto 1, possiamo determinare la componente centripeta dell’accelerazione del corpo all’istante
, ossia
(65)
che può essere riscritta come
Svolgimento punto 3.
Il modulo dell’accelerazione del corpo all’istante
è espresso come la radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti tangenziale e centripeta, ovvero
(66)
Sostituendo nella precedente equazione le espressioni di e
ottenute al punto 2, otteniamo che il modulo dell’accelerazione in un istante generico
, è dato da
(67)
ovvero
(68)
(69)
Per ricavare il vettore accelerazione del corpo possiamo fare uso della formula (2). Tuttavia, nell’equazione (2) compaiono esplicitamente i versori e
, che dipendono esplicitamente dal tempo. Dobbiamo quindi esplicitare la dipendenza dal tempo dei due versori. A questo scopo, intendiamo esprimere tali versori in funzione di
, al fine di ottenere l’espressione esplicita di
e
.
Consideriamo un sistema di riferimento cartesiano fisso con origine
posizionata al centro della circonferenza e gli assi
e
orientati come mostrato in figura 12.
Figura 12: versori e
rispetto al sistema di riferimento
.
Dalla trigonometria elementare, ricaviamo le espressioni per i versori e
in funzione di
, cioè
(70)
dove ed
sono rispettivamente i versori dell’asse
e
.
Sostituendo queste espressioni nell’equazione (69), otteniamo
(71)
ovvero
L’espressione di si ottiene integrando rispetto al tempo l’espressione di
ottenuta al punto 1, ossia
(72)
Svolgimento punto 4.
(73)
esplicitando rispetto a , ricaviamo
(74)
Sostituendo nell’equazione (74) le espressioni di ed
ottenute al punto 2, otteniamo
(75)
che può essere semplificato a
Osserviamo che il precedente risultato è ben definito in quanto per ogni istante di tempo
.
Approfondimento.
(76)
che può essere semplificato ulteriormente a
(77)
Definendo il coseno iperbolico come
(78)
possiamo utilizzare questa definizione nell’equazione (77), ottenendo
(79)
da cui, semplificando ulteriormente, segue che
Esercizio 7 . Consideriamo un corpo in movimento lungo una circonferenza di raggio
con una legge oraria definita da
, dove
,
e
sono quantità positive con le seguenti unità di misura:
,
e
, rispettivamente.
Calcolare
- velocità e accelerazione angolare del corpo al tempo
;
- L’angolo formato dal vettore accelerazione con la direzione tangenziale in un istante generico
.
Esprimere i risultati in funzione dei parametri del problema, e
.
Nota: assumere che ad ogni istante di tempo valga la condizione
.
Figura 13: sistema fisico in esame.
Svolgimento punto 1.
(80)
Valutando l’equazione (80) in corrispondenza di otteniamo che la velocità angolare del corpo in tale istante vale
Dall’equazione (1) e l’espressione ricavata per all’equazione (80), deduciamo che l’accelerazione angolare è descritta da
(81)
Valutando l’equazione (81) al tempo , otteniamo che l’accelerazione angolare del corpo in quel momento è
Svolgimento punto 2.
(82)
Da un’analisi simile a quanto fatto per l’accelerazione tangenziale, utilizzando l’equazione (3) e l’espressione di , otteniamo l’accelerazione centripeta del corpo in funzione del tempo, cioè
(83)
Nella figura 1 (d), l’angolo formato tra il vettore accelerazione
e la direzione tangenziale al corpo in un istante generico
, rappresentata dal versore
, è definito da
(84)
Sostituendo i valori dalle equazioni (82) e (83) nella precedente equazione, l’angolo diventa
Si noti che il rapporto tra le componenti della velocità non dipende dal raggio della circonferenza. Inoltre, è interessante osservare che
(85)
indicando che con il passare del tempo la componente centripeta dell’accelerazione domina quella tangenziale, ossia per
.
Esercizio 8 . Consideriamo un punto in movimento lungo una circonferenza di raggio
in senso antiorario. Sia
un sistema di riferimento fisso con l’origine
posizionata al centro della circonferenza e l’asse
orientato come indicato nella figura 14.
Il modulo della velocità del punto segue la legge , dove
e
sono quantità positive non nulle, con unità di misura
e
rispettivamente.
Assumendo che all’istante iniziale l’angolo
formato tra il raggio vettore e l’asse
sia nullo, vogliamo calcolare, in un generico istante di tempo
:
- la velocità angolare
;
- l’angolo
;
- l’accelerazione angolare
;
- le componenti dell’accelerazione rispetto a un sistema di riferimento tangente-normale alla circonferenza
ed il suo modulo.
Esprimere i risultati in funzione dei parametri del problema ,
, e
Figura 14: sistema fisico in esame.
Svolgimento punto 1.
(86)
Sostituendo l’espressione di fornita nella traccia del problema, otteniamo che la velocità angolare del corpo è data da
Osserviamo che il precedente risultato è ben definito siccome e
sono quantità positive ed il denominatore non si può annullare.
Svolgimento punto 2.
Integrando rispetto a la prima equazione in (1), si ottiene
(87)
dove nella prima uguaglianza si è usato il Teorema fondamentale del calcolo integrale, mentre nella seconda si sono usate le espressioni di fornita dalla traccia,
ottenuta al primo punto e si è moltiplicato e diviso per
l’integrale.
Valutando la funzione integranda tra
e
, si ricava
Osserviamo che l’espressione di è matematicamente ben definita essendo
.
Svolgimento punto 3.
(88)
che può essere espressa come
Come in precedenza, essendo e
sono quantità positive l’espressione di
ottenuta è ben definita.
Svolgimento punto 4.
(89)
ovvero
Dato che i versori e
sono ortogonali in ogni istante e hanno norma unitaria, possiamo determinare il modulo dell’accelerazione applicando il teorema di Pitagora, cioè
(90)
che può essere semplificato a
Calcolare:
- il valore massimo del modulo dell’accelerazione tangenziale
;
- il valore massimo del modulo dell’accelerazione centripeta
;
- il tempo
corrispondente alla condizione di valore massimo del punto 1;
- il tempo
corrispondente alla condizione di valore massimo del punto 2.
Esprimere i risultati in funzione dei parametri del problema ,
, e
.
Figura 15: sistema fisico in esame.
Svolgimento punto 1.
Dalla seconda definizione all’equazione (1),
otteniamo l’accelerazione angolare del corpo all’istante
(91)
Sostituendo l’espressione di , ottenuta dalla (91), nell’equazione (4), otteniamo l’accelerazione tangenziale del corpo, cioè
(92)
Notiamo che il massimo valore del modulo dell’accelerazione tangenziale si verifica quando
(93)
Quindi, combinando le equazioni (92) e (93), deduciamo che
Svolgimento punto 2.
(94)
Sostituendo l’espressione di , ottenuta dalla (94), nell’equazione (3), ricaviamo l’accelerazione centripeta in un generico istante
, ossia
(95)
Dall’equazione (95) deduciamo che il modulo di è massimo quando
(96)
Quindi, combinando le equazioni (95) e (96), deduciamo che
Svolgimento punto 3.
(97)
dove .
Esplicitando l’equazione (97) rispetto a
, otteniamo
(98)
Osserviamo che il precedente risultato è ben definito essendo .
Notiamo che affinché il tempo abbia un significato fisico, deve essere tale che
(99)
Quindi, il parametro deve soddisfare
(100)
Il parametro deve essere quindi un numero intero maggiore di
, pertanto dovrà necessariamente essere un numero naturale.
Pertanto, possiamo scrivere
Osserviamo che poiché è descritto da un moto periodico non esiste un solo istante di tempo
in cui l’accelerazione tangenziale ha modulo massimo, ma ne esistono infiniti e sono del tipo
(101)
ossia il primo massimo si verifica all’istante e i successivi si presentano ad intervalli regolari di
.
Svolgimento punto 4.
Analogamente, per determinare il tempo in cui l’accelerazione centripeta raggiunge il massimo valore, partendo dall’equazione
(96), ricaviamo
(102)
dove . Risolvendo l’equazione (102) rispetto a
, otteniamo
(103)
Osserviamo che il precedente risultato è ben definito essendo .
In modo simile a quanto fatto per , consideriamo solo i valori non negativi di
, cioè
, e quindi il parametro
deve soddisfare
(104)
Il parametro deve essere quindi un numero intero maggiore o uguale di
, pertanto dovrà necessariamente essere un numero naturale.
Quindi possiamo scrivere
Analogamente a quanto detto nel punto 3, non esiste un solo istante di tempo in cui l’accelerazione centripeta assume modulo massimo, ma infiniti e sono del tipo
(105)
ossia il primo massimo si verifica all’istante e i successivi si presentano ad intervalli regolari di
.
Esercizio 10 . Un punto materiale si muove lungo un’orbita circolare di raggio
con una velocità angolare iniziale costante
. A partire dall’istante
, fino all’istante
, la sua accelerazione angolare è descritta dalla relazione
, con
. Per
, l’accelerazione angolare diventa costante e assume il valore
fino a quando il punto materiale si ferma completamente.
Calcolare:
- Il modulo
dell’accelerazione totale del punto all’istante
.
- L’istante
in cui il punto si ferma.
Svolgimento.
Figura 16: sistema fisico in esame.
Poiché e la condizione iniziale è data da
, possiamo formulare il seguente problema di Cauchy:
(106)
Risolviamo la prima equazione in (106)
posto si ha
.
(107)
allora il modulo dell’accelerazione normale è dato dall’equazione (3), ovvero
(108)
Calcoliamo la velocità angolare nell’istante come segue
Valutando l’equazione (108) in corrispondenza dell’istante , l’accelerazione centripeta in tale istante vale
Il modulo dell’accelerazione tangenziale è dato dall’equazione (4)
e, calcolando l’accelerazione tangenziale nell’istante , otteniamo
Quindi possiamo determinare il modulo dell’accelerazione nell’istante
Ora sia con
rad/s
.
Siccome l’accelerazione angolare è costante, possiamo scrivere il modulo come segue
e, chiamando l’istante in cui il punto materiale si ferma, abbiamo
ossia risolvendo rispetto a
Valutando la precedente espressione in corrispondenza dei valori numerici del problema, si conclude che il tempo cercato è a partire da
.
Esercizio 11 . Una ruota inizialmente in quiete viene messa in rotazione attorno al suo asse e la sua velocità angolare cresce uniformemente per un intervallo di tempo
fino a raggiungere il valore
; la velocità angolare è poi mantenuta costante per un intervallo di tempo
, dopodiché è fatta diminuire uniformemente e in un intervallo di tempo
la ruota si arresta.
Calcolare il numero complessivo dei giri fatti dalla ruota.
Figura 17: rappresentazione dei vari moti della ruota, ciascun rappresenta il tempo di rimanenza in tale moto.
Svolgimento.
(109)
L’angolo spazzato dalla ruota durante il suo moto circolare uniformemente accelerato si ricava dalle prima equazione del sistema (5), ovvero
(110)
dove abbiamo usato il risultato pervenuto nella precedente equazione.
Per un intervallo di tempo pari a la ruota segue un moto circolare con velocità angolare
uniforme.
Dalla equazione (1), ricaviamo che se il moto è circolare uniforme con velocità angolare costante
, allora
(111)
Pertanto possiamo calcolare l’angolo spazzato durante questo moto che è pari a
(112)
Infine, la ruota segue un moto circolare uniformemente decelerato partendo da una velocità angolare fino a fermarsi completamente. Sapendo che impiega un intervallo di tempo
per fermarsi, dalla seconda equazione del sistema (5) possiamo calcolare l’accelerazione angolare
della ruota, cioè
(113)
da cui calcoliamo l’angolo spazzato dalla ruota durante l’intervallo di tempo
, ovvero
(114)
L’angolo totale spazzato dalla ruota è . Per calcolare il numero di giri
è sufficiente dividere l’angolo totale spazzato dalla ruota
per 2
, ovvero
Riferimenti bibliografici
[1] Qui Si Risolve, Guida al calcolo delle derivate ed esempi vari.
[2] Qui Si Risolve, Calcolo differenziale – Teoria sulle derivate.
[3] Qui Si Risolve, Teoria sugli integrali definiti – Integrazione secondo Riemann.
[4] Qui Si Risolve, Teoria sulle equazioni differenziali lineari e non lineari.
[5] Mazzoldi, P., Nigro, M., Voci, C., Fisica – Vol. 1: Meccanica, Termodinamica, Elettromagnetismo, Edises, 2003.
[6] Rosati, G., Fisica Generale – Meccanica e Termodinamica, Zanichelli, 1988.
[7} Mencuccini, C., Silvestrini, V., Fisica – Vol. 1: Meccanica e Termodinamica, Liguori Editore, 1996.
[8] Resnick, R., Halliday, D., Krane, K., Physics, Vol. 1, Wiley, 2002.
Esercizi di Meccanica classica
Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica Classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.
Leggi..
- Cinematica del punto materiale.
- Dinamica del punto materiale: le leggi di Newton nella meccanica classica.
- Dinamica del punto materiale: lavoro ed energia.
- Moti relativi.
- Sistemi di punti materiali.
- Dinamica del corpo rigido.
- Urti .
- Gravitazione .
- Oscillazioni e onde.
- Meccanica dei fluidi.
- Onde meccaniche.
- Statica in meccanica classica.
- Fondamenti di relatività ristretta: trasformazioni di Lorentz e principali conseguenze.
- Calcolo del centro di massa e dei momenti d’inerzia.
Tutti gli esercizi di elettromagnetismo
Se si desidera proseguire con gli esercizi, di seguito è disponibile una vasta raccolta che copre interamente gli argomenti del programma di
Leggi...
- Esercizi su lavoro elettrico e potenziale elettrico.
- Esercizi sulla legge di Gauss.
- Esercizi sui conduttori, condensatori, dielettrici ed energia elettrostatica.
- Esercizi sulla corrente elettrica.
- Esercizi sul campo magnetico e forza magnetica.
- Esercizi sulle sorgenti di un campo magnetico e legge di Ampere.
- Esercizi su campi elettrici e magnetici variabili nel tempo.
- Esercizi su oscillazione del campo elettrico e correnti alternate.
- Esercizi sulle onde elettromagnetiche.
- Esercizi sulla riflessione e rifrazione della luce.
- Esercizi sull’ ottica geometrica.
- Esercizi sull’ interferenza.
- Esercizi sulla diffrazione.
- Esercizi sulle proprietà corpuscolari e ondulatorie della materia.
Per chi intende verificare le proprie competenze, è stata predisposta una raccolta di esercizi misti di elettromagnetismo.
Esercizi di Meccanica razionale
Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica razionale, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.
Leggi...
Ulteriori risorse didattiche per la fisica
Leggi...
- Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
- ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
- Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
- Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
- The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
- American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
- Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
- Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
- Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
- Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.
Scarica gli esercizi svolti
Ottieni il documento contenente 11 esercizi risolti , contenuti in 34 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione del moto circolare.