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Teoria sul moto rettilineo uniformemente accelerato

Moto rettilineo uniformemente accelerato

Home » Teoria sul moto rettilineo uniformemente accelerato

In questo articolo esploreremo la teoria sul moto rettilineo uniformemente accelerato, un elemento chiave nei corsi di Fisica 1. Analizzeremo le principali formule che descrivono il movimento di un corpo lungo una traiettoria rettilinea con accelerazione costante.

Il moto rettilineo uniformemente accelerato è uno dei concetti fondamentali della fisica classica, essenziale per comprendere il comportamento dei corpi in movimento. Questo tipo di moto si verifica quando un corpo si muove lungo una linea retta con un’accelerazione costante in modulo, direzione e verso.

Nel corso dell’articolo, esamineremo in dettaglio le equazioni che governano il moto rettilineo uniformemente accelerato. Inizieremo studiando la posizione e la velocità iniziale del corpo, quindi procederemo con l’integrazione delle equazioni di moto per derivare le leggi orarie. Inoltre, dimostreremo come queste equazioni possano essere applicate in scenari pratici, fornendo esempi concreti e figure esplicative per facilitare la comprensione.

L’articolo è quindi particolarmente utile per studenti di ingegneria, fisica e matematica che intendono preparare l’esame di Fisica 1: buona lettura a tutti!

Consigliamo la lettura del materiale in Cinematica del punto materiale e Dinamica del punto materiale, oltre ovviamente ai seguenti articoli su argomenti relativi:

 

Teoria sul moto rettilineo uniformemente accelerato: autori e revisori

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Autore: Valerio Brunetti.

Revisore: Cesare Malagu’.


 

Teoria sul moto rettilineo uniformemente accelerato: formule e dimostrazioni

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Un corpo che si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato segue un percorso rettilineo con un’accelerazione di modulo costante. In altre parole, l’accelerazione del corpo è costante in direzione, modulo e verso.

Consideriamo un sistema di riferimento inerziale unidimensionale Ox dal quale osservare il corpo in movimento. L’accelerazione si può quindi esprimere come

    \[ \vec{a} = a\, \hat{x}, \]

dove \hat{x} è il versore dell’asse x orientato nella direzione del semiasse positivo e a è la componente dell’accelerazione \vec{a} lungo l’asse delle x. Se a > 0, il moto è rettilineo uniformemente accelerato; al contrario, se a < 0, il moto è rettilineo uniformemente decelerato.

Definiamo x(t) come la posizione del corpo in un istante generico t, come illustrato nella figura seguente.

   

Rendered by QuickLaTeX.com

 

Figura 1: rappresentazione del sistema di riferimento Ox.

Schema di un sistema di riferimento unidimensionale Ox. Un corpo si muove lungo l'asse x con posizione x(t) variabile nel tempo, rappresentando un moto rettilineo uniformemente accelerato o decelerato.    

  Supponiamo che il moto del corpo abbia inizio al tempo t=t_0. La posizione iniziale e la velocità iniziale del corpo sono rispettivamente x(t_0)\eqqcolon x_0 e v\left(t_0\right)\eqqcolon v_0. Inoltre, si supponga che il moto sia rettilineo uniformemente accelerato (o decelerato). Sapendo che l’accelerazione è la derivata seconda della posizione del corpo abbiamo

(1)   \begin{equation*} \ddot{x}=a, \end{equation*}

o equivalentemente sapendo che la derivata seconda è la derivata della velocità abbiamo

(2)   \begin{equation*} \dfrac{d\dot{x}}{dt}=a, \end{equation*}

da cui, integrando ambo i membri della precedente relazione rispetto al tempo, otteniamo

(3)   \begin{equation*} \int \dfrac{d\dot{x}}{dt}\,dt=\int a\,dt, \end{equation*}

ovvero

(4)   \begin{equation*} \dot{x}=at+c, \end{equation*}

dove c è una costante arbitraria da determinare.

Poniamo

(5)   \begin{equation*} \dot{x}\left(t_0\right)=v_0=at_0+c, \end{equation*}

per cui

(6)   \begin{equation*} c=v_0-at_0. \end{equation*}

Quindi

(7)   \begin{equation*} \dot{x}(t)\eqqcolon v\left(t\right)=at+v_0-at_0=v_0+a\left(t-t_0\right). \end{equation*}

Si conclude che la legge della velocità in funzione del tempo è

    \[\boxcolorato{fisica}{v\left(t\right)=v_0+a\left(t-t_0\right),\quad \text{per $t\geq t_0$}.}\]

Sapendo che la velocità è la derivata della posizione del corpo, si ha

(8)   \begin{equation*} \dfrac{dx}{dt}(t)\eqqcolon v\left(t\right)=v_0+a\left(t-t_0\right), \end{equation*}

da cui, integrando ambo i membri della precedente relazione rispetto al tempo, otteniamo

(9)   \begin{equation*} \int\dfrac{dx}{dt}dt=\int\left(v_0+a\left(t-t_0\right)\right)dt, \end{equation*}

cioè

(10)   \begin{equation*} x\left(t\right)=v_0t + \dfrac{a}{2}\left(t-t_0\right)^2+k, \end{equation*}

dove k è una costante arbitraria da determinare.

Poniamo

(11)   \begin{equation*} x\left(t_0\right)=x_0=v_0t_0+k, \end{equation*}

conseguentemente

(12)   \begin{equation*} k=x_0-v_0t_0. \end{equation*}

Dunque, si ha

(13)   \begin{equation*} x\left(t\right)=v_0t+\dfrac{a}{2}\left(t-t_0\right)^2+x_0-v_0t_0, \end{equation*}

o anche

(14)   \begin{equation*} x\left(t\right)=x_0+ v_0\left(t-t_0\right)+\dfrac{a}{2}\left(t-t_0\right)^2. \end{equation*}

Si conclude che la legge oraria del moto uniformemente accelerato è

    \[\boxcolorato{fisica}{x\left(t\right)=x_0+v_0\left(t-t_0\right)+\dfrac{1}{2}a\left(t-t_0\right)^2,\quad \text{per $t\geq t_0$}.}\]

Le leggi orarie dello spazio e della velocità sono rispettivamente

(15)   \begin{equation*} \begin{cases} x\left(t\right)=x_0+v_0\left(t-t_0\right)+\dfrac{1}{2}a\left(t-t_0\right)^2\\ v\left(t\right)=v_0+a\left(t-t_0\right). \end{cases} \end{equation*}

Dall’equazione (15)_2 abbiamo

(16)   \begin{equation*} t-t_0=\dfrac{v-v_0}{a}. \end{equation*}

Sostituendo t-t_0 (calcolata in (16) in (15)_1, otteniamo

    \[\begin{aligned} &x=x_0+v_0\left(\dfrac{v-v_0}{a}\right)+\dfrac{1}{2} a\left(\dfrac {v-v_0}{a}\right)^2=\\\\ &=x_0+\dfrac{v_0 v-v_0^2}{a}+\dfrac{1}{2}\cancel{a} \left(\dfrac{v^2+v_0^2-2vv_0}{a^{\cancel{2}}}\right)=\\\\ &=x_0+\dfrac{\cancel{2v_0v} -2v_0^2+v^2+v_0^2-\cancel{2vv_0}}{2a}=\\\\ &=x_0+\dfrac{1}{2a}\left(v^2-v_0^2\right), \end{aligned}\]

oppure

(17)   \begin{equation*} 2a\left(x-x_0\right)=v^2-v_0^2, \end{equation*}

i.e.

    \[\boxcolorato{fisica}{v^2\left(x\right)=v_0^2+2a\left(x-x_0\right)\quad \text{per $x\geq x_0$}.}\]

La relazione precedentemente determinata esprime la velocità in funzione dello spazio.

Dall’equazione (15)_2 abbiamo

(18)   \begin{equation*} v_0=v-a\left(t-t_0\right). \end{equation*}

Sostituendo v_0 (calcolata in (18)) in (15)_1, otteniamo

(19)   \begin{equation*} x=x_0+\left(v-a\left(t-t_0\right)\right)\left(t-t_0\right)+\dfrac{1}{2}a\left(t-t_0\right)^2, \end{equation*}

da cui

(20)   \begin{equation*} x=x_0+v\left(t-t_0\right)-a\left(t-t_0\right)^2+\dfrac{1}{2}a\left(t-t_0\right)^2. \end{equation*}

La relazione precedentemente ottenuta, se messa a confronto con la legge oraria del moto del corpo, presenta una differenza significativa. Infatti, nel membro destro della legge oraria compare la velocità iniziale del corpo, mentre nella precedente relazione compare la velocità finale.

Nelle applicazioni pratiche, quest’ultima relazione può essere molto utile per determinare, ad esempio, il tempo che un corpo impiega a percorrere una distanza d nel caso in cui si fermi una volta raggiunta tale distanza. Analogamente, si può utilizzare la legge oraria per determinare il tempo che un corpo impiega a percorrere una distanza d nell’ipotesi in cui la velocità iniziale sia nulla.


 

Esercizi sul moto rettilineo uniformemente accelerato

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Se desiderate mettere in pratica quanto descritto nella teoria, vi invitiamo a visitare la sezione dedicata agli esercizi sul Moto rettilineo uniformemente accelerato. Qui troverete esercizi vari, risolti in dettaglio con la massima precisione. Questi esercizi sono ideati per studenti di ingegneria, fisica e matematica.

 
 

Esercizi di Meccanica classica

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica Classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

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Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

Se si desidera proseguire con gli esercizi, di seguito è disponibile una vasta raccolta che copre interamente gli argomenti del programma di

  • Elettromagnetismo. Questa raccolta include spiegazioni dettagliate e gli esercizi sono organizzati in base al livello di difficoltà, offrendo un supporto completo per lo studio e la pratica.

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    Per chi intende verificare le proprie competenze, è stata predisposta una raccolta di esercizi misti di elettromagnetismo.


     
     

    Esercizi di Meccanica razionale

    Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica razionale, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

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    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

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    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

     

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