Questa dispensa è stata redatta con l’intento di chiarire alcuni concetti relativi alla velocità di un punto materiale che si muove lungo una traiettoria qualsiasi. Spesso gli studenti si trovano confusi quando nei testi viene adottata una notazione del tipo , senza che sia chiarito se rappresenta il modulo del vettore o la componente del vettore stesso nella direzione del versore , quest’ultimo orientato nella direzione di .

Cercheremo di chiarire il concetto di ascissa curvilinea e le proprietà ad essa associate, oltre a discutere il principio di invarianza delle relazioni vettoriali rispetto alla scelta del sistema di riferimento. Un ulteriore obiettivo è quello di evidenziare come la derivata del modulo della velocità differisce dal modulo della derivata della velocità .

Per trattare quest’ultimo concetto, abbiamo richiamato e dimostrato la formula della derivata di un versore, necessaria per chiarire tale distinzione. La dispensa include inoltre una serie di esempi pratici e alcune osservazioni sulla derivata della velocità per garantire una trattazione completa del tema.

Si sottolinea che abbiamo scelto di trattare specificamente il vettore velocità in quanto strettamente connesso al concetto di ascissa curvilinea; tuttavia, tutte le osservazioni formulate nelle relative sezioni possono essere estese a un qualsiasi vettore .

Autore: Valerio Brunetti.  

Revisori: Daniele Bjørn Malesani, Cesare Malagù, Giuseppe Palaia, Federico Manzoni, Valerio Brunetti, Andrea Corradini.  

La velocità è uno dei concetti fondamentali nella fisica e nelle scienze ingegneristiche. Essa descrive la rapidità con cui un oggetto si sposta da un punto all’altro e gioca un ruolo cruciale in molte applicazioni pratiche e teoriche. La comprensione precisa e rigorosa del concetto di velocità è essenziale per l’analisi dei moti, sia nei sistemi semplici che in quelli complessi.

Questo articolo ha l’obiettivo di richiamare e approfondire la definizione di velocità, partendo dalle nozioni base fino ad arrivare alle sue formulazioni più avanzate. Saranno esaminati i diversi aspetti della velocità, inclusi la velocità scalare, la velocità vettoriale, e le loro rispettive rappresentazioni matematiche.

Approfondiremo anche il concetto di velocità istantanea e media, e come queste misure si applicano a traiettorie rettilinee e curvilinee. La trattazione includerà esempi pratici e applicazioni reali per illustrare l’importanza della velocità nei vari campi della fisica e dell’ingegneria.

Infine, verranno esaminati i metodi per calcolare la velocità utilizzando strumenti matematici avanzati, come il calcolo differenziale e integrale. Questo approccio permetterà di comprendere meglio le dinamiche dei sistemi fisici e di sviluppare modelli più accurati per la previsione dei moti.

Attraverso questo richiamo, ci proponiamo di fornire una visione chiara e comprensiva della velocità, evidenziando la sua importanza e le sue applicazioni in vari ambiti scientifici e tecnologici.

Di seguito richiamiamo la definizione di raggio vettore, fondamentale per comprendere il concetto di derivata.

 

Pertanto, il “raggio vettore di rispetto a ” può essere individuato come la differenza tra il “raggio vettore di ” e il “raggio vettore di ”

In uno spazio tridimensionale, il raggio vettore di un punto rispetto all’origine è espresso come

dove , e sono le componenti scalari del punto lungo gli assi , e rispettivamente, e mentre , e sono i versori lungo gli assi , e e rispettivamente.

Questa definizione del raggio vettore è fondamentale nella descrizione delle coordinate spaziali e viene utilizzata per determinare la posizione di punti, la direzione e la distanza in vari contesti fisici, come la cinematica e la dinamica.

 

Di seguito la definizione della derivata.

 

   

 

Figura 1: rappresentazione della traiettoria generica del punto materiale.

   

Osservazione 3. Immaginiamo un punto che si muove lungo una traiettoria curva. Supponiamo che sia la posizione del punto al tempo e sia la posizione al tempo . Possiamo considerare un triangolo formato da , , e il vettore spostamento . Per un intervallo di tempo molto piccolo , il triangolo formato dalle posizioni , e dallo spostamento è quasi isoscele, poiché le lunghezze e sono quasi uguali. L’angolo al vertice, cioè l’angolo tra e , tende a , quando . Quando l’angolo al vertice tende a 0, gli angoli alla base del triangolo tendono a . Questo significa che il vettore spostamento è perpendicolare a e .

La velocità è definita come la derivata del vettore posizione rispetto al tempo

(2)

Poiché è perpendicolare a e per , il vettore velocità è tangente alla traiettoria.

Considerando che la traiettoria può essere vista come un insieme di archi di circonferenza molto piccoli, ogni arco ha un raggio . La velocità è tangente a questi piccoli archi di circonferenza, e quindi tangente alla traiettoria complessiva. La tangente in un punto di un arco di circonferenza è per definizione tangente alla traiettoria complessiva.