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Velocità e ascissa curvilinea: note

Moto circolare e moto armonico

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Note sulla velocità e sull’ascissa curvilinea

Benvenuti nella nostra guida sui concetti di velocità vettoriale e ascissa curvilinea. Tali nozioni sono estremamente importanti per descrivere moti non rettilinei, ossia quando la loro traiettoria non sia una retta. Utilizzando in maniera corretta questi concetti, è possibile determinare tutti i dati del moto: spostamento risultante, lunghezza della traiettoria percorsa. Nonostante l’importanza di queste applicazioni, l’uso del vettore velocità e dell’ascissa curvilinea causa spesso confusione nei neofiti: lo scopo principale di questo articolo è di fare chiarezza e di fornire una guida semplice, chiara ed esaustiva sull’argomento, che sia di aiuto agli studenti dei corsi di Fisica 1.
Buona lettura!

Oltre al materiale reperibile nelle cartelle Cinematica del punto materiale e Dinamica del punto materiale, risultano di particolare interesse i seguenti articoli, su argomenti collegati:

 

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Ottieni il documento contenente note sulla velocità e sull’ascissa curvilinea.

 

Velocità e ascissa curvilinea: sommario

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Questa dispensa è stata redatta con l’intento di chiarire alcuni concetti relativi alla velocità di un punto materiale P che si muove lungo una traiettoria qualsiasi. Spesso gli studenti si trovano confusi quando nei testi viene adottata una notazione del tipo \vec{v} = v \, \hat{t}, senza che sia chiarito se v rappresenta il modulo del vettore o la componente del vettore stesso nella direzione del versore \hat{t}, quest’ultimo orientato nella direzione di \vec{v}.

Cercheremo di chiarire il concetto di ascissa curvilinea e le proprietà ad essa associate, oltre a discutere il principio di invarianza delle relazioni vettoriali rispetto alla scelta del sistema di riferimento. Un ulteriore obiettivo è quello di evidenziare come la derivata del modulo della velocità differisce dal modulo della derivata della velocità \vec{v}.

Per trattare quest’ultimo concetto, abbiamo richiamato e dimostrato la formula della derivata di un versore, necessaria per chiarire tale distinzione. La dispensa include inoltre una serie di esempi pratici e alcune osservazioni sulla derivata della velocità per garantire una trattazione completa del tema.

Si sottolinea che abbiamo scelto di trattare specificamente il vettore velocità \vec{v} in quanto strettamente connesso al concetto di ascissa curvilinea; tuttavia, tutte le osservazioni formulate nelle relative sezioni possono essere estese a un qualsiasi vettore \vec{u}.

 

Velocità e ascissa curvilinea: autori e revisori

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Autore: Valerio Brunetti.  

Revisori: Daniele Bjørn Malesani, Cesare Malagù, Giuseppe Palaia, Federico Manzoni, Valerio Brunetti, Andrea Corradini.  

 

velocità e ascissa curvilinea: richiamo della definizione di velocità

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La velocità è uno dei concetti fondamentali nella fisica e nelle scienze ingegneristiche. Essa descrive la rapidità con cui un oggetto si sposta da un punto all’altro e gioca un ruolo cruciale in molte applicazioni pratiche e teoriche. La comprensione precisa e rigorosa del concetto di velocità è essenziale per l’analisi dei moti, sia nei sistemi semplici che in quelli complessi.

Questo articolo ha l’obiettivo di richiamare e approfondire la definizione di velocità, partendo dalle nozioni base fino ad arrivare alle sue formulazioni più avanzate. Saranno esaminati i diversi aspetti della velocità, inclusi la velocità scalare, la velocità vettoriale, e le loro rispettive rappresentazioni matematiche.

Approfondiremo anche il concetto di velocità istantanea e media, e come queste misure si applicano a traiettorie rettilinee e curvilinee. La trattazione includerà esempi pratici e applicazioni reali per illustrare l’importanza della velocità nei vari campi della fisica e dell’ingegneria.

Infine, verranno esaminati i metodi per calcolare la velocità utilizzando strumenti matematici avanzati, come il calcolo differenziale e integrale. Questo approccio permetterà di comprendere meglio le dinamiche dei sistemi fisici e di sviluppare modelli più accurati per la previsione dei moti.

Attraverso questo richiamo, ci proponiamo di fornire una visione chiara e comprensiva della velocità, evidenziando la sua importanza e le sue applicazioni in vari ambiti scientifici e tecnologici.

Di seguito richiamiamo la definizione di raggio vettore, fondamentale per comprendere il concetto di derivata.

Definizione 1 (raggio vettore). In fisica, il raggio vettore di un punto P rispetto a un altro punto Q è definito come il vettore che va da Q a P ed è espresso come

    \[ \vec{r}_Q(P) = \vec{P} - \vec{Q}. \]

Se si intende il “raggio vettore di un punto” rispetto all’origine di un sistema di riferimento di centro O, allora il raggio vettore di P è

    \[ \vec{r}(P) = \vec{r}_O(P) = \vec{P} - \vec{O}. \]

 

Pertanto, il “raggio vettore di P rispetto a Q” può essere individuato come la differenza tra il “raggio vettore di P” e il “raggio vettore di Q”

    \[ \vec{r}_Q(P) = \vec{P} - \vec{Q} = (\vec{P} - \vec{O}) - (\vec{Q} - \vec{O}) = \vec{r}(P) - \vec{r}(Q). \]

In uno spazio tridimensionale, il raggio vettore \vec{r}(P) di un punto P(x, y, z) rispetto all’origine è espresso come

    \[ \vec{r}(P) = x \,\hat{x} + y \,\hat{y} + z \,\hat{z}, \]

dove x, y e z sono le componenti scalari del punto P lungo gli assi x, y e z rispettivamente, e mentre \hat{x}, \hat{y} e \hat{z} sono i versori lungo gli assi x, e y e z rispettivamente.

Questa definizione del raggio vettore è fondamentale nella descrizione delle coordinate spaziali e viene utilizzata per determinare la posizione di punti, la direzione e la distanza in vari contesti fisici, come la cinematica e la dinamica.

 

Di seguito la definizione della derivata.

Definizione 2 (derivata). Sia P un punto materiale che si muove lungo una traiettoria qualsiasi in un sistema di riferimento Oxyz. Indichiamo con \vec{r}(t) il raggio vettore di tale punto al tempo t. La velocità vettoriale è definita come

(1)   \begin{equation*} \vec{v} \coloneqq \lim_{\Delta t \to 0} \dfrac{\vec{r}(t + \Delta t) - \vec{r}(t)}{\Delta t} = \dfrac{d\vec{r}(t)}{dt}. \end{equation*}

Qui, \vec{r}(t + \Delta t) e \vec{r}(t) rappresentano rispettivamente la posizione di P al tempo t + \Delta t e al tempo t lungo la traiettoria generica, come illustrato in figura 1.

La definizione (1) rappresenta la velocità vettoriale istantanea del punto P sulla traiettoria, ed è un vettore tangente alla traiettoria nel punto \vec{r}(t).

 

   

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Figura 1: rappresentazione della traiettoria generica del punto materiale.

   

Osservazione 3. Immaginiamo un punto che si muove lungo una traiettoria curva. Supponiamo che \vec{r}(t) sia la posizione del punto al tempo t e \vec{r}(t + \Delta t) sia la posizione al tempo t + \Delta t. Possiamo considerare un triangolo formato da \vec{r}(t), \vec{r}(t + \Delta t), e il vettore spostamento \Delta \vec{r} = \vec{r}(t + \Delta t) - \vec{r}(t). Per un intervallo di tempo molto piccolo \Delta t, il triangolo formato dalle posizioni \vec{r}(t), \vec{r}(t + \Delta t) e dallo spostamento \Delta \vec{r} è quasi isoscele, poiché le lunghezze \vec{r}(t) e \vec{r}(t + \Delta t) sono quasi uguali. L’angolo al vertice, cioè l’angolo tra \vec{r}(t) e \vec{r}(t + \Delta t), tende a 0, quando \Delta t \to 0. Quando l’angolo al vertice tende a 0, gli angoli alla base del triangolo tendono a 90^\circ. Questo significa che il vettore spostamento \Delta \vec{r} è perpendicolare a \vec{r}(t) e \vec{r}(t + \Delta t).

La velocità \vec{v}(t) è definita come la derivata del vettore posizione rispetto al tempo

(2)   \begin{equation*} \vec{v}(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} \end{equation*}

Poiché \Delta \vec{r} è perpendicolare a \vec{r}(t) e \vec{r}(t + \Delta t) per \Delta t \to 0, il vettore velocità \vec{v}(t) è tangente alla traiettoria.

Considerando che la traiettoria può essere vista come un insieme di archi di circonferenza molto piccoli, ogni arco ha un raggio R. La velocità \vec{v}(t) è tangente a questi piccoli archi di circonferenza, e quindi tangente alla traiettoria complessiva. La tangente in un punto di un arco di circonferenza è per definizione tangente alla traiettoria complessiva.

 

Definizione di ascissa curvilinea

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L’ascissa curvilinea, denotata con s, è una misura della posizione lungo una traiettoria curva. Contrariamente alla distanza lineare, che viene misurata lungo una linea retta, l’ascissa curvilinea tiene conto della forma della traiettoria ed è misurata lungo la curva.

Supponiamo di avere una traiettoria descritta da una curva continua e differenziabile nello spazio tridimensionale. Se scegliamo un punto di partenza A sulla traiettoria, possiamo definire l’ascissa curvilinea di un punto P come la lunghezza dell’arco della traiettoria che collega A a P.

Calcolo dell'ascissa curvilinea.

 

Definizione 4 (ascissa curvilinea). Matematicamente, se la traiettoria è descritta da un vettore posizione \vec{r}(t) parametrizzato dal tempo t, l’ascissa curvilinea s è data da

(3)   \begin{equation*} s(t) = \int_{t_0}^{t} \left| \frac{d\vec{r}(\tau)}{d\tau} \right| d\tau, \end{equation*}

dove t_0 è il tempo corrispondente al punto di partenza A, t è il tempo corrispondente al punto P, e \tau è una variabile di integrazione. Si assuma che t>t_0.

Proprietà dell'ascissa curvilinea.

L’ascissa curvilinea gode delle seguenti proprietà

  • è sempre non negativa: s \geq 0;
  • aumenta monotonamente lungo la traiettoria: se P_1 precede P_2 lungo la traiettoria, allora s(P_1) < s(P_2);
  • è indipendente dalla parametrizzazione della curva: dipende solo dalla forma della traiettoria, e dai suoi estremi, e non dalla velocità con cui viene percorsa.

   

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Figura 2: rappresentazione della curva percorso dal punto materiale per andare da A a P e dall’ascissa curvilinea.

   

La figura 2 mostra in rosso la curva percorsa da un punto materiale che si sposta da A a P. Si supponga che il punto si muova lungo la curva con moto variabile, senza mai invertire la direzione. La distanza percorsa lungo la curva, indicata come s(t), rappresenta la lunghezza del tragitto compiuto dal punto materiale al tempo t>0, nota come ascissa curvilinea. Essendo una lunghezza, l’ascissa curvilinea non può assumere valori negativi, poiché rappresenta la distanza effettivamente percorsa sulla curva.

È fondamentale distinguere tra la curva e la lunghezza percorsa su di essa: la curva descrive il percorso, mentre l’ascissa curvilinea quantifica la distanza totale percorsa dal punto materiale lungo tale percorso. La distanza lungo la curva dal punto A fino alla posizione rappresentata dalla freccia (che indica il verso di percorrenza) è l’ascissa curvilinea al tempo t. Una volta che il punto materiale raggiunge P, l’ascissa curvilinea coinciderà con la lunghezza totale della curva, rappresentando l’intero percorso.

È importante notare la differenza tra la distanza percorsa in un generico istante t e la distanza totale percorsa lungo l’intera curva fino alla destinazione finale.

Osservazione 5. Si noti che il punto A situato sulla traiettoria è distinto dal punto O, il quale è stato definito per il sistema di riferimento Oxy.

Esempio di applicazione dell'ascissa curvilinea.

Consideriamo una traiettoria circolare di raggio R centrata nell’origine del piano xy nel sistema di riferimento adottato nella figura 1. La posizione di un punto P su questa traiettoria può essere espressa in coordinate polari come

    \[ \vec{r}(\theta) = R \cos(\theta) \,\hat{x} + R \sin(\theta) \,\hat{y}, \]

dove \theta è l’angolo che forma il punto materiale con l’asse delle x mentre si muove di moto circolare, \hat{x} è il versore lungo l’asse delle x e \hat{y} è il versore lungo l’asse delle y.

Dalla precedente equazione, calcoliamo la derivata del vettore posizione rispetto al tempo t, ottenendo

    \[ \frac{d\vec{r}(t)}{dt} = \frac{d}{dt} \left( R \cos(\theta(t)) \hat{x} + R \sin(\theta(t)) \hat{y} \right). \]

Applichiamo la derivata a ciascun termine

    \[ \frac{d\vec{r}(t)}{dt} = R \frac{d}{dt} \left( \cos(\theta(t)) \right) \hat{x} + R \frac{d}{dt} \left( \sin(\theta(t)) \right) \hat{y}. \]

Utilizzando la regola della catena, otteniamo

    \[ \frac{d\vec{r}(t)}{dt} = R \left( -\sin(\theta(t)) \frac{d\theta(t)}{dt} \right) \hat{x} + R \left( \cos(\theta(t)) \frac{d\theta(t)}{dt} \right) \hat{y}, \]

da cui

    \[ \frac{d\vec{r}(t)}{dt} = -R \sin(\theta(t)) \frac{d\theta}{dt} \hat{x} + R \cos(\theta(t)) \frac{d\theta}{dt} \hat{y}. \]

Il modulo della derivata del vettore posizione è dato da

    \[ \left| \frac{d\vec{r}(t)}{dt} \right| = \sqrt{\left( -R \sin(\theta(t)) \frac{d\theta}{dt} \right)^2 + \left( R \cos(\theta(t)) \frac{d\theta}{dt} \right)^2}, \]

ovvero

    \[ \left| \frac{d\vec{r}(t)}{dt} \right| = \sqrt{R^2 \sin^2(\theta(t)) \left( \frac{d\theta}{dt} \right)^2 + R^2 \cos^2(\theta(t)) \left( \frac{d\theta}{dt} \right)^2}, \]

cioè

    \[ \left| \frac{d\vec{r}(t)}{dt} \right| = \sqrt{R^2 \left( \frac{d\theta}{dt} \right)^2 \left( \sin^2(\theta(t)) + \cos^2(\theta(t)) \right)}. \]

Ricordando che \sin^2(\theta(t)) + \cos^2(\theta(t)) = 1 per ogni \theta \in \mathbb{R}, otteniamo

    \[\left| \frac{d\vec{r}(t)}{dt} \right|=R\left \vert\dfrac{d\theta }{dt} \right \vert.\]

Dunque, grazie al precedente risultato, da (3), otteniamo

    \[ s(t) = \int_{t_0}^{t} R \left| \frac{d\theta}{d\tau} \right| d\tau \]

Assumendo che \frac{d\theta}{d\tau} sia positiva (per semplicità), possiamo rimuovere il valore assoluto

    \[ s(t) = R \int_{t_0}^{t} \frac{d\theta}{d\tau} d\tau. \]

Per il teorema fondamentale del calcolo integrale, abbiamo

    \[ s(t) = R \left[ \theta(\tau) \right]_{t_0}^{t}, \]

conseguentemente

    \[ s(t) = R (\theta(t) - \theta(t_0)). \]

Questo risultato mostra che l’ascissa curvilinea s nel caso in cui d\theta/dt>0 è proporzionale alla differenza degli angoli \theta misurati ai tempi t e t_0.

 

Premessa: sistemi di riferimento inerziali e non inerziali

Nel contesto della cinematica, è fondamentale comprendere la nozione di sistema di riferimento, poiché la descrizione del moto di un oggetto dipende strettamente dal punto di vista dell’osservatore. Esistono due principali categorie di sistemi di riferimento: i sistemi di riferimento inerziali e i sistemi di riferimento non inerziali.

Sistema di riferimento inerziale.

Un sistema di riferimento inerziale è un sistema di coordinate spaziali in cui un punto materiale mantiene una velocità costante, descrivendo un moto rettilineo uniforme o rimanendo in quiete, in assenza di variazioni esterne. In questo sistema, la traiettoria del moto di un corpo è lineare e non vi sono accelerazioni non dovute a cambiamenti nel moto stesso.  

Esempio 6. Immaginiamo di osservare una pallina che scivola su una superficie priva di attrito in un ambiente spaziale lontano da influenze gravitazionali. Se osserviamo questo movimento da un’astronave che si muove a velocità costante, la pallina continuerà a muoversi in linea retta con velocità costante. In questo caso, l’astronave rappresenta un sistema di riferimento inerziale.

 

Sistema di riferimento non inerziale.

Un sistema di riferimento non inerziale, al contrario, è un sistema di coordinate spaziali in cui un punto materiale può apparire soggetto a variazioni della velocità, anche quando non vi è alcuna modifica nelle condizioni di moto rispetto al sistema di riferimento inerziale. In questi sistemi, il moto di un oggetto può deviare dalla traiettoria rettilinea uniforme, apparendo accelerato o deviato, a causa della natura del sistema di riferimento stesso.

 

Esempio 7. Consideriamo la stessa pallina, ma questa volta osservata da un osservatore all’interno di un’automobile che accelera o compie una curva. Da questo punto di vista, la pallina non sembrerà più muoversi in linea retta con velocità costante, ma potrà apparire come se fosse deviata in direzioni diverse, in base al cambiamento del movimento dell’automobile. In questo caso, l’automobile rappresenta un sistema di riferimento non inerziale.

Questa distinzione tra sistemi di riferimento inerziali e non inerziali è cruciale per l’analisi del moto e per comprendere come le leggi della cinematica si applicano nei vari contesti. Nel proseguo di questo file, faremo costante riferimento a queste nozioni per interpretare correttamente i fenomeni fisici descritti.

Osservazioni sulla velocità.

La posizione di un punto lungo una traiettoria può essere descritta utilizzando una coordinata curvilinea s, misurata a partire da un’origine arbitraria. Il valore di s rappresenta la lunghezza della traiettoria e varia nel tempo durante il movimento. La derivata \frac{ds}{dt} rappresenta la variazione temporale della posizione lungo la traiettoria, ovvero la velocità istantanea del punto, analogamente a quanto accade nel moto rettilineo. Conoscendo la forma della traiettoria e la velocità con cui viene percorsa, si ottiene una descrizione completa del moto, che può essere riassunta nella grandezza chiamata velocità vettoriale.

La velocità vettoriale è definita come la derivata del raggio vettore rispetto al tempo, come definito in (1). Al limite, la variazione infinitesimale d\vec{r} del raggio vettore è in direzione tangente alla traiettoria nel punto P ed ha un modulo uguale allo spostamento infinitesimo ds lungo la traiettoria. Pertanto, possiamo scrivere d\vec{r} = ds \, \hat{t}, dove \hat{t} è il versore tangente alla curva, che varia nel tempo man mano che il punto avanza lungo la traiettoria. In sostanza, il moto può essere visto come una sequenza di spostamenti rettilinei infinitesimali con direzione variabile: la direzione istantanea del moto coincide con quella della tangente alla traiettoria nel punto considerato. La definizione (1) diventa così più esplicita

(4)   \begin{equation*} \vec{v} = \frac{ds}{dt} \, \hat{t} = v \, \hat{t}. \end{equation*}

Pertanto, la velocità vettoriale \vec{v} descrive, in ogni istante, la direzione e il verso del moto, con il suo modulo v = \frac{ds}{dt} che rappresenta la velocità istantanea con cui la traiettoria viene percorsa.

Abbiamo visto che, a livello infinitesimale, d\vec{r} = ds \, \hat{t}; tuttavia, è facile notare che per uno spostamento finito, l’incremento del raggio vettore \Delta \vec{r} è molto diverso dalla distanza effettivamente percorsa lungo la curva (uno è la corda, l’altro è l’arco). Bisogna quindi fare attenzione a non confondere questi due concetti: da un lato il raggio vettore e i suoi incrementi finiti, dall’altro il percorso effettivo. Ad esempio, un punto potrebbe percorrere un’orbita chiusa tornando al punto di partenza e in tal caso il raggio vettore non cambierebbe, ma il punto avrebbe percorso una distanza finita (\Delta \vec{r} = 0, \Delta s \neq 0) con una velocità vettoriale istantanea diversa da 0 (mentre, per estensione ovvia dal moto rettilineo, risulterebbe nulla la velocità vettoriale media).

Vogliamo ora sottolineare una proprietà fondamentale delle relazioni vettoriali come la (4) con l’aiuto della figura 1. La traiettoria del moto e il fatto che la velocità si esprime come v \, \hat{t} sono caratteristiche intrinseche, ovvero non dipendono dalla scelta del sistema di riferimento. Si può spostare l’origine O in un’altra posizione, ruotare gli assi, ma la curva (non la sua espressione analitica), la direzione, il verso e il modulo della velocità rimangono invariati. Nella figura 1, per esempio, se si sposta l’origine cambia certamente \vec{r}, ma non \Delta \vec{r} e quindi d\vec{r}. Questo concetto è noto come invarianza delle relazioni vettoriali rispetto alla scelta del sistema di riferimento.

D’altra parte, un vettore è espresso esplicitamente attraverso le sue componenti, che dipendono dal sistema di riferimento. Calcoliamo ora le componenti della velocità nelle due situazioni più comuni.

Invarianza delle relazioni vettoriali rispetto alla scelta del sistema di riferimento.

La definizione di raggio vettore 1 e di velocità vettoriale 2 rimane la stessa in tutti i sistemi di riferimento. Tuttavia, è importante sottolineare che, sebbene la velocità \vec{v} sia definita in un sistema di riferimento S – che può essere sia inerziale sia non inerziale – il vettore \vec{v} non sarà necessariamente lo stesso se osservato da un altro sistema di riferimento S^\prime, anch’esso potenzialmente inerziale o non inerziale.

Ad esempio, se un osservatore è fermo in un’area di servizio (quindi in un sistema di riferimento fisso) e vede un’auto B muoversi a una velocità costante di 120 \,\text{km}\cdot \text{h}^{-1} lungo l’autostrada, tale velocità non sarà percepita allo stesso modo da un osservatore che si trova su un’altra auto C in movimento. Supponiamo che l’auto C si muova a una velocità costante di 100 \,\text{km}\cdot \text{h}^{-1}: dal punto di vista dell’osservatore su C, l’auto B apparirà muoversi a una velocità relativa di 20 \,\text{km}\cdot \text{h}^{-1}. Questo esempio illustra come la velocità dipenda dal sistema di riferimento dal quale viene osservata.

Il punto cruciale di questa discussione è che una volta definito un vettore in un determinato sistema di riferimento – sia esso il raggio vettore, la velocità, l’accelerazione, o qualsiasi altro vettore – non è garantito che la grandezza fisica in oggetto sia rappresentata dallo stesso vettore in un altro sistema di riferimento.

L’invarianza delle relazioni vettoriali implica che le proprietà fisiche descritte dai vettori non dipendono dalla posizione o dall’orientamento del sistema di riferimento scelto per descriverle. In altre parole, se spostiamo l’origine del nostro sistema di riferimento o ruotiamo i suoi assi, le relazioni fondamentali tra i vettori rimangono inalterate.

Per comprendere meglio questo concetto, consideriamo un esempio. Immaginiamo di osservare un punto materiale che si muove lungo una traiettoria curva in due sistemi di riferimento diversi: il sistema Oxy e un sistema O'x'y', ottenuto traslando o ruotando il primo. Sebbene le coordinate del punto materiale cambino nei due sistemi di riferimento, Tra i vettori posizione \vec{r}, velocità \vec{v} e accelerazione \vec{a} sussistono le stesse relazioni matematiche in entrambi i sistemi. Le leggi fisiche che descrivono il moto del punto materiale, quindi, sono invarianti rispetto alla scelta del sistema di riferimento.

D’altra parte, un vettore è espresso esplicitamente attraverso le sue componenti, che dipendono dal sistema di riferimento. Le componenti di un vettore, infatti, variano a seconda delle coordinate utilizzate per descrivere il sistema di riferimento. Ad esempio, un vettore \vec{v} può essere descritto dalle sue componenti v_x e v_y nel sistema di riferimento Oxy, ma avrà componenti diverse v_{x'} e v_{y'} nel sistema traslato o ruotato O'x'y'.

Calcoliamo ora le componenti della velocità in due situazioni notevoli: il moto rettilineo uniforme e il moto circolare uniforme.

Nel moto rettilineo uniforme, un punto materiale si muove lungo una retta con velocità costante. Supponiamo che il moto avvenga lungo l’asse x del sistema di riferimento Oxy. La velocità vettoriale \vec{v} ha solo una componente non nulla lungo l’asse x

    \[ \vec{v} = v_x \,\hat{x}, \]

dove v_x è costante e \hat{x} è il versore lungo l’asse x, come detto in precedenza. In un sistema di riferimento ruotato O'x'y', le componenti della velocità saranno

    \[ v_{x'} = v_x \cos(\theta) \]

    \[ v_{y'} = v_x \sin(\theta) \]

dove \theta è l’angolo di rotazione tra i due sistemi di riferimento.

Nel moto circolare uniforme, un punto materiale si muove lungo una traiettoria circolare con velocità angolare costante \omega. La velocità vettoriale \vec{v} è tangente alla traiettoria circolare in ogni punto e il suo modulo è v = R \omega, dove R è il raggio della traiettoria. In coordinate polari, la velocità ha una componente radiale nulla e una componente tangenziale v_\theta

    \[ \vec{v} = R \omega \,\hat{t}, \]

dove \hat{t} è il versore tangente alla traiettoria. In un sistema di riferimento traslato O'x'y', le componenti della velocità possono essere espresse in termini delle nuove coordinate, ma la velocità tangenziale rimane v = R \omega, confermando l’invarianza delle relazioni vettoriali.

In conclusione, sebbene le componenti dei vettori cambino con il sistema di riferimento, le relazioni tra i vettori e le leggi fisiche che descrivono il moto rimangono invariate, dimostrando l’invarianza delle relazioni vettoriali rispetto alla scelta del sistema di riferimento.

Osservazione 8. Osserviamo che la derivata temporale dell’ascissa curvilinea s non può mai essere negativa perché la distanza s aumenta nel tempo, anche se ci si muove indietro nello spazio. In altri termini, \dot{s} è sempre positiva e di conseguenza s è una funzione monotona crescente.

Velocità scalare.

In precedenza abbiamo ottenuto che

    \[ \vec{v} = \frac{ds}{dt} \, \hat{t} = v \, \hat{t}. \]

Definiamo v = \frac{ds}{dt} come il modulo della velocità \vec{v} e \hat{t} come il versore nella direzione della velocità \vec{v}, tangente alla traiettoria. Si osserva che v = \frac{ds}{dt} è il modulo della velocità poiché la direzione e il verso del vettore \vec{v} sono determinati dal versore \hat{t}. Il fattore \frac{ds}{dt} è comunemente definito come la velocità scalare del punto P.

È rilevante sottolineare che questa scelta non è universale. Si potrebbe, infatti, adottare una convenzione in cui il versore \hat{t} giace sulla stessa retta del vettore \vec{v} mantenendo però una direzione fissa, senza inversioni di verso. Con tale impostazione, il termine v = \frac{ds}{dt} rappresenterebbe la proiezione del vettore \vec{v} lungo la direzione di \hat{t}, e in questo caso v non coinciderebbe con il modulo del vettore, e potrebbe essere sia negativo che positivo.

Per chiarire meglio questo concetto, consideriamo un esempio: supponiamo che il punto P si muova di moto rettilineo uniforme lungo l’asse x con velocità \vec{v}. In questo scenario, possiamo esprimere la velocità come \vec{v} = v \, \hat{x}, dove v rappresenta la componente della velocità, che può assumere valori sia positivi che negativi, a seconda che il punto P si muova rispettivamente nel verso positivo o negativo dell’asse x, mentre \hat{x} è un versore con direzione e verso costanti, orientato lungo il semiasse positivo delle x. In questo caso, si è scelto di mantenere fisso il versore \hat{x}.

Supponiamo ora di definire un versore \hat{x}^\prime(t) in modo che la sua direzione sia sempre lungo l’asse x e il suo verso sempre nella direzione del moto, permettendo al punto P di invertire il suo moto. Ad esempio, in un intervallo di tempo \Delta t_1, il punto P può muoversi nel verso positivo delle x, per poi invertire il moto e procedere nel verso negativo. In tale situazione, possiamo scrivere \vec{v} = v \, \hat{x}^\prime(t), dove v = \left| \vec{v} \right| e \hat{x}^\prime(t) è sempre orientato nella direzione di \vec{v}, cioè ha la stessa direzione e verso del vettore velocità. Pertanto, il versore \hat{x}^\prime(t) può puntare sia nella direzione positiva che negativa dell’asse x, a seconda del moto del punto P. Questo concetto è generalizzabile a qualsiasi traiettoria.

 

L’energia cinetica e i sistemi di riferimento

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L’energia cinetica è la forma di energia associata al movimento di un corpo. Essa dipende dalla massa del corpo e dalla velocità con cui si muove. La formula per l’energia cinetica di un corpo con massa m che si muove con velocità \vec{v} è data da

    \[ E_k = \frac{1}{2} m v^2, \]

dove v è il modulo della velocità \vec{v}.

L'energia cinetica dipende dal sistema di riferimento?

L’energia cinetica dipende dal sistema di riferimento scelto perché la velocità di un corpo è relativa al sistema di riferimento dell’osservatore. Consideriamo due sistemi di riferimento inerziali S e S', dove S' si muove con velocità costante \vec{V} rispetto a S. Se un corpo ha velocità \vec{v} rispetto al sistema S, la sua velocità \vec{v}^{\,'} rispetto al sistema S' è

    \[ \vec{v}^{\,'} = \vec{v} - \vec{V}. \]

Di conseguenza, l’energia cinetica del corpo nei due sistemi di riferimento è diversa

 

  • nel sistema S, l’energia cinetica è

        \[ E_k = \frac{1}{2} m v^2; \]

  • nel sistema S', l’energia cinetica è

        \[ E_k' = \frac{1}{2} m v'^2 = \frac{1}{2} m \left \vert \vec{v} - \vec{V}\right \vert^2. \]

Esempio illustrativo.

Immaginiamo un’auto che si muove a 60\, \text{km}\cdot\text{h}^{-1} lungo una strada rettilinea. Consideriamo due osservatori  

  • l’osservatore A è fermo rispetto alla strada.
  • l’osservatore B si muove a 20 \, \text{km}\cdot\text{h}^{-1} nella stessa direzione dell’auto.

Dal punto di vista dell’osservatore A, la velocità dell’auto è 60\, \text{km}\cdot\text{h}^{-1} . Dal punto di vista dell’osservatore B, la velocità dell’auto è

    \[v' = 60\, \text{km}\cdot\text{h}^{-1} - 20\, \text{km}\cdot\text{h}^{-1} = 40\, \text{km}\cdot\text{h}^{-1}. \]

L’energia cinetica dell’auto, assumendo una massa m, è quindi

 

  • per l’osservatore A:

        \[ E_{k,A} = \frac{1}{2} m (60 \,\text{km}\cdot \text{h})^2.; \]

  • per l’osservatore B:

        \[ E_{k,B} = \frac{1}{2} m (40 \,\text{km}\cdot \text{h})^2. \]

Come si può vedere, l’energia cinetica dell’auto è diversa per i due osservatori perché dipende dalla velocità relativa al sistema di riferimento scelto.

 

Derivata di un versore

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Consideriamo un versore \hat{u}(t), cioè un vettore di modulo costante e pari a 1 per ogni istante di tempo t e che, in generale, possa cambiare la propria direzione e verso nel corso del tempo. Quindi, abbiamo

    \[ |\hat{u}(t)| = 1 \quad \forall t \geq 0. \]

Per calcolare la derivata di \hat{u}(t), utilizziamo la relazione che definisce il modulo costante di \hat{u}(t)

    \[ \hat{u}(t) \cdot \hat{u}(t) = 1. \]

Si osservi che con \cdot si intende il prodotto scalare. Deriviamo entrambi i membri rispetto al tempo t

    \[ \frac{d}{dt} \left( \hat{u}(t) \cdot \hat{u}(t) \right) = \frac{d}{dt} (1). \]

Applichiamo la regola di derivazione del prodotto

    \[ 2 \left( \hat{u}(t) \cdot \frac{d\hat{u}(t)}{dt} \right) = 0. \]

In definitiva otteniamo

    \[ \hat{u}(t) \cdot \frac{d\hat{u}(t)}{dt} = 0. \]

Questo risultato ci dice che la derivata del versore \hat{u}(t) è ortogonale al versore stesso. In altre parole, \frac{d\hat{u}(t)}{dt} è perpendicolare a \hat{u}(t). Di conseguenza, possiamo scrivere

    \[ \frac{d\hat{u}(t)}{dt} = \omega(t) \,\hat{n}(t); \]

dove \omega(t) è il modulo della derivata del versore \hat{u} e \hat{n}(t) è un versore ortogonale a \hat{u}(t).

Consideriamo ora il generico versore in coordinate polari

    \[ \hat{v}(t) = \cos(\theta(t)) \,\hat{x} + \sin(\theta(t)) \,\hat{y}. \]

Derivando rispetto a t, otteniamo

    \[ \frac{d\hat{v}(t)}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \cos(\theta(t)) \,\hat{x} + \sin(\theta(t)) \,\hat{y} \right). \]

Applichiamo la derivata a ciascun termine

    \[ \frac{d\hat{v}(t)}{dt} = \frac{d\cos(\theta(t))}{dt} \hat{x} + \frac{d\sin(\theta(t))}{dt} \hat{y}. \]

Utilizzando la regola della catena, otteniamo

    \[ \frac{d\hat{v}(t)}{dt} = -\sin(\theta(t)) \dot{\theta}(t)\, \hat{x} + \cos(\theta(t)) \dot{\theta}(t)\, \hat{y}. \]

Possiamo riscrivere questo risultato come

    \[ \frac{d\hat{v}(t)}{dt} = \dot{\theta}(t) \left( -\sin(\theta(t)) \,\hat{x} + \cos(\theta(t))\, \hat{y} \right). \]

Osserviamo che il termine -\sin(\theta(t)) \,\hat{x} + \cos(\theta(t))\, \hat{y} è un versore ortogonale a \hat{v}(t) (questo fatto era già stato dedotto in precedenza) e di modulo unitario. Quindi, possiamo identificare \omega(t) = \dot{\theta}(t) e \hat{n}(t) = -\sin(\theta(t))\, \hat{x} + \cos(\theta(t))\, \hat{y}, ottenendo

(5)   \begin{equation*} \frac{d\hat{v}(t)}{dt} = \dot{\theta}(t)\, \hat{n}(t). \end{equation*}

Pertanto, il modulo della derivata del versore \hat{v}(t) è \dot{\theta}(t) e in generale la derivata del versore è sempre ortogonale al versore stesso.

 

Derivata intrinseca: teoria e pratica.

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Consideriamo un punto materiale che si muove nello spazio lungo una traiettoria qualsiasi con velocità \vec{v}. La velocità può essere espressa nella forma \vec{v} = v \,\hat{u}, dove v rappresenta il modulo della velocità istantanea e \hat{u} è il versore nella direzione del vettore velocità. È importante notare che la velocità \vec{v} è invariante rispetto al sistema di riferimento scelto. Calcoliamo ora la derivata temporale di \vec{v}(t)

(6)   \begin{equation*} \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{dv}{dt}\, \hat{u} + v \frac{d\hat{u}}{dt}. \end{equation*}

Osserviamo che la variazione del vettore \vec{v} rispetto al tempo t si scompone in due termini distinti: il primo termine, \frac{dv}{dt} \hat{u}, parallelo a \vec{v}, rappresenta la variazione del modulo di \vec{v}; il secondo termine, v \frac{d\hat{u}}{dt}, ortogonale a \vec{v}, come dimostrato nel precedente paragrafo, è dovuto alla variazione della direzione di \vec{v}. Possiamo quindi scrivere usando (5)

(7)   \begin{equation*} \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{dv}{dt} \,\hat{u} + v \frac{d\theta}{dt}\, \hat{n} . \end{equation*}

Il modulo della derivata del vettore velocità è dato da

(8)   \begin{equation*} \left| \frac{d\vec{v}}{dt} \right| = \sqrt{\left( \frac{dv}{dt} \right)^2 + \left( v \frac{d\theta}{dt} \right)^2} . \end{equation*}

È evidente che il modulo della derivata di \vec{v} differisce dalla derivata del modulo di \vec{v}.

In particolare, la presenza di uno solo dei termini in (7) può portare a situazioni specifiche che si incontrano frequentemente:  

  1. \dfrac{d\vec{v}}{dt} = \dfrac{dv}{dt} \, \hat{u}: in questo caso, il vettore varia solo in modulo, mantenendo costante la direzione. Ciò implica che \dfrac{d\theta}{dt} = 0;

    2.  

  2. \dfrac{d\vec{v}}{dt} = v \dfrac{d\theta}{dt}\, \hat{n}: qui, il vettore varia solo in direzione, mantenendo costante il modulo (\dfrac{dv}{dt} = 0). Questo rappresenta una rotazione del vettore.

Dal caso b) possiamo dedurre un risultato significativo: la derivata di un vettore con modulo costante è perpendicolare al vettore stesso. Questo concetto è fondamentale per comprendere la dinamica dei vettori con modulo costante. Di seguito due esempi del caso a) e b).  

  1. Esempio caso a): consideriamo un punto materiale che si muove lungo una retta con accelerazione costante. Supponiamo che il punto parta da fermo e acceleri lungo l’asse x con un’accelerazione a. La velocità del punto è data da

        \[ \vec{v}(t) = a t \,\hat{x}. \]

    In questo caso, la velocità \vec{v} varia solo in modulo, mantenendo costante la direzione \hat{x}. La derivata della velocità è

        \[ \dfrac{d\vec{v}}{dt} = a \,\hat{x}, \]

    dove \dfrac{dv}{dt} = a e \dfrac{d\theta}{dt} = 0.

    2.  

  2. Esempio caso b): consideriamo un punto materiale che si muove lungo una circonferenza con velocità angolare costante \omega. La velocità tangenziale del punto è

        \[ \vec{v}(t) = v \,\hat{t}(t) = R\omega\, \hat{t}(t), \]

    dove R è il raggio del cerchio e \hat{t}(t) è il versore tangente alla traiettoria del punto. In questo caso, il modulo della velocità è costante (v = R\omega), ma la direzione varia nel tempo. La derivata della velocità è

        \[ \dfrac{d\vec{v}}{dt} = R\omega \dfrac{d\hat{t}(t)}{dt} = R\omega \omega\, \hat{n}(t) = v \omega \,\hat{n}(t), \]

    dove \hat{n}(t) è il versore ortogonale alla traiettoria (versore normale) e \dfrac{dv}{dt} = 0.

 

Riferimenti Bibliografici

[1] Qui Si Risolve, Integrali definiti e indefiniti.

[2] Qui Si Risolve, Teorema fondamentale del calcolo integrale.

[3] Qui Si Risolve, Teoria sulle derivate.

 
 

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    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
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    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
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