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Il teorema di Fermat

Teoria sui Teoremi del calcolo differenziale

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Il teorema di Fermat è un importante risultato dell’Analisi Matematica che stabilisce un collegamento tra la presenza di punti di massimo e minimo di una funzione e i valori assunti dalla sua derivata. Poiché la derivata rappresenta il “tasso di variazione infinitesimale” di una funzione in un punto, il teorema afferma che tale variazione deve essere nulla in un punto di massimo o minimo interno al dominio. Poiché quindi i punti di estremo di una funzione f \colon (a,b) \to \mathbb{R} derivabile devono essere cercati tra le soluzioni dell’equazione f'(x)=0, ciò fornisce un importante strumento nella soluzione di problemi di ottimizzazione.

Questo breve e dettagliato articolo esplora il teorema e i seguenti argomenti a esso collegati:

  • Il teorema di Fermat per punti interni al dominio e la sua dimostrazione;
  • La generalizzazione del teorema di Fermat per punti estremi del dominio e sua interpretazione, includendo il caso di una funzione non derivabile, mediante le cosiddette derivate di Dini;
  • Alcuni controesempi sulla sufficienza della condizione affinché il punto sia di estremo;
  • Una condizione sufficiente sul segno della derivata per punti al bordo, affinché essi siano di massimo o minimo relativo.

Ogni risultato ed esempio è chiarito da spiegazioni intuitive e illustrazioni grafiche. Se cerchi una risorsa sul teorema di Fermat che ti consenta sia di soffermarti sull’essenziale, sia di avere a disposizione materiale aggiuntivo difficilmente reperibile altrove, sei nel posto giusto!

Oltre alle seguenti raccolte di esercizi

segnaliamo i seguenti articoli sulla teoria collegata:

 

Autori e revisori

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Autore: Luigi De Masi.  

Revisori: Roberto Castorrini, Matteo Talluri, Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci.  

 

Introduzione

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In questa dispensa trattiamo il teorema di Fermat per i punti stazionari di una funzione, che mette in relazione i concetti di estremo locale e di derivata di una funzione (si veda la sezione 1 per le definizioni precise). Infatti, esso afferma che la derivata di una funzione derivabile si annulla nei punti di massimo e minimo relativi interni al dominio.

L’intuizione dietro al teorema (e alla sua dimostrazione) è che la derivata f'(x_0) rappresenta il “tasso di variazione infinitesimale” di f in x_0. Se x_0 è ad esempio un punto di massimo, tale variazione deve essere non-negativa per x < x_0 e non-positiva per x > x_0. Unendo queste due informazioni, si ottiene f'(x_0)=0.

Ricordando che f'(x_0) rappresenta la pendenza della retta tangente al grafico di f nel punto x_0, in altre parole il teorema afferma che la retta tangente al grafico di f in un punto di estremo relativo è orizzontale.

Il teorema di Fermat dà un’idea di come lo studio delle derivate di una funzione possa rivelarsi utile nell’affrontare un problema sostanzialmente pratico come quello della ricerca degli estremi locali di una funzione. Infatti esso suggerisce che un metodo per la ricerca di questi ultimi consiste nel risolvere l’equazione f'(x)=0, per poi stabilire (generalmente con altre considerazioni) se i punti trovati costituiscono o meno dei punti di estremo locale di f.

Il lavoro è organizzato come segue:

  • Nella sezione 1 richiamiamo le definizioni utilizzate nel seguito;
  • Nella sezione 2 enunciamo e dimostriamo il teorema 5 che costituisce il risultato principale di questa dispensa. Come abbiamo già detto, esso afferma che la derivata di una funzione derivabile in un punto interno di estremo locale è nulla.
  • Nella sezione 3 presentiamo il teorema 8, che è una generalizzazione del teorema di Fermat per punti al bordo del dominio della funzione. Infatti, per tali punti, la conclusione del teorema 5 è falsa. Possiamo chiederci se si possano comunque dedurre delle informazioni (magari più deboli) sulla derivata della funzione. Come si evincerà, si può determinare il segno della derivata.

    • Nella sezione 3, presentiamo il teorema 12 che costituisce un’ulteriore generalizzazione del teorema 8 al caso in cui la funzione f non sia derivabile; ciò viene fatto in termini delle cosiddette derivate di Dini, introdotte nella definizione 9.

  • Nella sezione 4 esaminiamo alcuni controesempi che mostrano come la condizioni dei teoremi 5 e 8 non siano sufficienti a garantire che il punto in considerazione sia di estremo relativo.
  • Nella sezione 5 mostriamo invece una condizione sufficiente per punti al bordo del dominio affinché essi siano di estremo relativo.

 

Definizioni

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Come abbiamo già anticipato nell’introduzione, il teorema di Fermat lega le nozioni di estremo locale e di derivata di una funzione. Nonostante esse saranno già note al lettore, le riportiamo per comodità e completezza.

Cominciamo con la definizione di estremo locale.

 

Definizione 1 (estremi relativi). Sia E \subseteq \mathbb{R} e sia f \colon E \to \mathbb{R}; un punto x_0 \in E si dice punto di massimo relativo o locale per f se esiste \delta >0 tale che

(1) \begin{equation*} f(x) \leq f(x_0) \qquad \forall x \in E \cap (x_0- \delta, x_0 + \delta). \end{equation*}

Analogamente, un punto x_0 \in E si dice punto di minimo relativo o locale per f se esiste \delta >0 tale che

(2) \begin{equation*} f(x) \geq f(x_0) \qquad \forall x \in E \cap (x_0- \delta, x_0 + \delta). \end{equation*}

In entrambi i casi sopra descritti, un tale x_0 viene detto punto di estremo relativo o locale per f.

 

In altre parole, un punto x_0 è di massimo locale per f se, per punti abbastanza vicini a x_0, f assume valori non superiori a f(x_0). Analoga considerazione vale per i punti di minimo.

Passiamo ora alla definizione di funzione derivabile.

Definizione 2 (funzione derivabile). Sia f \colon [a,b] \to \mathbb{R} una funzione e sia x_0 \in [a,b]; f si dice derivabile a sinistra in x_0 [rispettivamente a destra] se il limite

(3) \begin{equation*} f'^-(x_0) \coloneqq \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \qquad \bigg[ \text{rispett. } f'^+(x_0) \coloneqq \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} \bigg] \end{equation*}

esiste ed è finito; il valore di tale limite viene detto derivata sinistra [risp. destra] di f in x_0.

Se esiste il limite

(4) \begin{equation*} f'(x_0) \coloneqq \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}, \end{equation*}

f si dice derivabile in x_0 e il valore di tale limite viene detto derivata di f in x_0. Se f'(x_0)=0, x_0 è detto un punto stazionario per f.

La funzione f si dice derivabile in [a,b] (o, più semplicemente, derivabile) se essa è derivabile per ogni x_0 \in [a,b].

Osservazione 3. Dalla definizione 2 discende chiaramente che f è derivabile a destra in a se e solo se f è derivabile in a e inoltre

(5) \begin{equation*} f'(a) = f'^+(a). \end{equation*}

Similmente, f è derivabile a sinistra in b se e solo se f è derivabile in b e inoltre

(6) \begin{equation*} f'(b) = f'^-(b). \end{equation*}

 

Osservazione 4. Se f è derivabile in x_0, allora chiaramente f è derivabile sia a sinistra che a destra e vale

(7) \begin{equation*} f'(x_0) = f'^-(x_0) = f'^+(x_0). \end{equation*}

Viceversa, se f è derivabile sia a sinistra che a destra e f'^-(x_0) = f'^+(x_0), allora f è derivabile e vale la (7).

 

Il teorema di Fermat

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Siamo quindi pronti per affrontare la dimostrazione del teorema di Fermat.

Teorema 5 (Fermat). Sia f \colon (a,b) \to \mathbb{R} e sia x_0 \in (a,b) un punto di estremo locale per f tale che f sia derivabile in x_0. Allora si ha

(8) \begin{equation*} f'(x_0)=0. \end{equation*}

 

Dimostrazione. Senza ledere la generalità possiamo supporre che x_0 sia un punto di massimo locale (l’altro caso è analogo). Per la definizione 1 esiste \delta>0 tale che

(9) \begin{equation*} f(x) \leq f(x_0) \qquad \forall x \in (x_0- \delta, x_0 + \delta). \end{equation*}

Per x \in (x_0- \delta, x_0 + \delta) \setminus \{x_0\} consideriamo il rapporto incrementale

(10) \begin{equation*} R_{f,x_0}(x) = \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. \end{equation*}

Per la (9) si ha (figura 1)

(11) \begin{equation*} %\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} R_{f,x_0}(x) \begin{cases} \leq 0 & \text{se } x \in (x_0, x_0 + \delta),\\ \geq 0 & \text{se }x \in (x_0 - \delta, x_0). \end{cases} \end{equation*}

   

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Figura 1: rappresentazione grafica della dimostrazione del teorema 5.

   

Quindi otteniamo

(12) \begin{equation*} 0 \leq \lim_{x \to x_0^-} R_{f,x_0}(x) %\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0) = \lim_{x \to x_0^+} R_{f,x_0}(x) %\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \leq 0, \end{equation*}

dove le due disuguaglianze seguono da (11), mentre l’esistenza dei due limiti e le due uguaglianze seguono dal fatto che f è derivabile in x_0. La (12) implica che

(13) \begin{equation*} f'(x_0) = 0. \end{equation*}

 

Osservazione 6. Si potrebbe visualizzare l’idea della dimostrazione con la seguente osservazione euristica: “andando verso il punto P di massima (o minima) altezza delle montagne russe si sale, allontanandosi da esso si scende. Pertanto in P si è in piano.”

 

Il teorema di Fermat generalizzato

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