Limite di una successione monotona

In questo articolo dimostriamo che ogni successione monotona ha limite.

Intuitivamente, una successione reali può essere infatti pensata come una “lista infinita” di numeri reali e il suo limite rappresenta il valore a cui gli elementi di questa lista si avvicinano.
Se gli elementi della lista sono ordinati in maniera crescente o decrescente, allora essi si avvicinano necessariamente a un valore (possibilmente infinito) che risulta appunto essere il limite della successione.

Questa semplice proprietà è un esempio di come la monotonia di un oggetto matematico implichi delle caratteristiche di regolarità e possiede risvolti importantissimi in Analisi Matematica. Dopo dei brevi richiami sulle definizioni, presentiamo il teorema che formalizza l’idea precedente e ne forniamo una dimostrazione.

Se desideri approfondire questo importante capitolo della teoria delle successioni, non ti resta che continuare la lettura!

Oltre agli esercizi misti sulle successioni, consigliamo la lettura dei seguenti articoli sulla teoria delle successioni:

• Criterio del rapporto per le successioni;
• Definizione e proprietà del numero di Nepero;
• Successioni di Cauchy;
• Teorema di Bolzano-Weierstrass per le successioni;
• Il teorema ponte.

Autori e revisori

In altri termini, una successione è non decrescente se, all’aumentare dell’indice della successione, aumenta (o rimane invariato) anche il valore della successione.

Diamo ora una definizione più restrittiva in cui la successione deve necessariamente crescere al crescere dell’indice.

Osserviamo dunque esplicitamente che ogni successione strettamente monotona crescente è, per definizione, monotona non decrescente. Non è vero però il contrario: ad esempio, si consideri la successione , è chiaro che è monotona non decrescente ma non strettamente monotona crescente. Pertanto una successione strettamente monotona crescente è non decrescente, ma non vale il viceversa.

In altri termini, una successione è non crescente se, all’aumentare dell’indice della successione, diminuisce (o rimane invariato) il valore della successione.

Diamo ora una definizione più restrittiva.

Come prima, osserviamo esplicitamente che ogni successione strettamente monotona decrescente è, per definizione, monotona non crescente.

Prima di enunciare e passare alla dimostrazione principale di queste note, diamo la definizione, ancora più generale, di successione definitivamente monotona.

Più precisamente, diremo, per esempio, che una successione è definitivamente monotona non decrescente se tale che

Osserviamo esplicitamente che ogni successione monotona è quindi per definizione definitivamente monotona, prendendo .

Limite di una successione monotona.

Eccoci al cuore di queste note: passiamo ad enunciare e a dare una dimostrazione del teorema di esistenza del limite di successioni monotone.

Dimostrazione. Supponiamo per iniziare che sia monotona non decrescente, ovvero

Procediamo ora a seconda che sia limitata oppure illimitata.

1: limitata superiormente.  Fissiamo arbitrario e sia . Se è limitata superiormente, per definizione di estremo superiore deve valere che è più grande di tutti i termini della successione , ovvero

ma appena si toglie da esiste sempre un termine della successione più grande di (per definizione di estremo superiore), ovvero:

Ma, per monotonia, per ogni abbiamo

ovvero che , che è un modo esplicito per dire che, dall’-esimo in poi, tutti i termini della successione si trovano in un intorno centrato in e di raggio :

Per arbitrarietà di concludiamo che