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È vero che n o(1)=o(n)?

Teoria sulle Successioni

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In questo articolo studiamo la questione se n o(1)=o(n).
Gli o-piccoli costituiscono un utile linguaggio per confrontare reciprocamente successioni e funzioni nell’intorno di un comune punto limite: ad esempio la scrittura a_n=o(b_n) significa che la successione a_n è “trascurabile”, se confrontata con la successione b_n, per n \to +\infty. Consideriamo ora una successione a_n infinitesima, ossia “trascurabile” rispetto a 1 per n \to +\infty. È ragionevole aspettarsi che la successione n a_n sia “trascurabile rispetto a n, e in nel breve articolo che segue dimostreremo questa affermazione.

Per la teoria completa sugli o-piccoli e il loro utilizzo, consigliamo

Per ampie raccolte di esercizi su questi temi si consiglia invece

Buona lettura!

 
 

Esercizio 1. Stabilire se è vera l’identità tra classi di successioni n\,o(1)=o(n).

\[\,\]

\[\,\]

Svolgimento.
Si ricorda che per due successioni a_n e b_n, si dice che a_n= o(b_n) se e solo se

\[\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=0.\]

Notiamo che tale condizione implica che b_n\neq 0 per n sufficientemente grande. Da tale definizione segue che

\[a_n = o(1) \iff \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{1}=0 \iff \lim_{n\to+\infty}\frac{n \cdot a_n}{n}=0 \iff n a_n = o(n).\]

dove nella prima e nella terza equivalenza abbiamo usato la definizione di o-piccolo, mentre nella seconda abbiamo moltiplicato numeratore e denominatore per n.
Ciò consente di concludere che l’identità n\,o(1)=o(n) è vera.

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

Leggi...

  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.