Numero di Nepero: definizione e proprietà

Limiti notevoli, Teoria sulle Successioni

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Il numero di Nepero è una delle costanti più importanti della Matematica. Presente in ogni sua branca, le sue applicazioni spaziano dalla Fisica all’Ingegneria, fino all’Economia e alla Finanza. Questo articolo mostra le sue definizioni e le proprietà essenziali, oltre ad alcune curiosità come una semplice dimostrazione della sua irrazionalità.
Punto di partenza per ogni studio successivo e applicazione, il testo è una finestra sulle meraviglie della matematica e le sorprendenti proprietà di questa importantissima costante.

Se desideri approfondire la sua conoscenza, questo articolo è quello che fa per te!

Consigliamo gli esercizi sul numero di Nepero e gli esercizi sulle forme indeterminate, oltre alla lettura dei seguenti articoli su materiale di teoria correlato:

Autori e revisori

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Autori:Valerio Brunetti, Daniele Malesani.

Revisore: Matteo Talluri.

Sommario

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In questa sezione ci occupiamo di una delle costanti più importanti in matematica: il numero di Nepero $e$ , così chiamato (in italiano¹) in onore del matematico scozzese John Napier (1550–1617). Iniziamo introducendo la sua definizione più semplice, passando poi ad alcuni risultati utili per la risoluzione degli esercizi sui limiti. Per finire, concludiamo con alcuni approfondimenti un po’ più avanzati, e cioè la definizione alternativa di $e$ tramite una serie e la dimostrazione della sua irrazionalità (per quest’ultima parte, è necessaria una conoscenza almeno elementare delle serie).

Teorema 1. La successione

(1) $\begin{equation*} a_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n \quad (n>0) \end{equation*}$

è convergente. Il suo limite per $n \to +\infty$ è detto numero di Nepero $e$ .

Dimostriamo che la successione $\{a_n\}$ è crescente e superiormente limitata, e dunque, per il teorema di monotonia, è convergente.

Crescenza della successione $\{a_n\}$ .
Dimostriamo che $\forall \, n \in \mathbb{N}^+$ si ha $a_{n+1} > a_n$ .Utilizzando la formula del binomio di Newton², possiamo esprimere $a_n$ come una sommatoria:

$a_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{n} {\binom{n}{k} \frac{1}{n^k}}.$

Ora, osserviamo che, per $n > 0$ :

$\begin{equation*} \begin{split} a_{n+1} &= \left(1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} {\binom{n+1}{k}\frac{1}{(n+1)^k}} = \\ & = \sum_{k=0}^{n} \binom{n+1}{k}\frac{1}{(n+1)^k}+\underbrace{\frac{1}{(n+1)^{n+1}}}_{>0} > \sum_{k=0}^{n} \binom{n+1}{k}\frac{1}{(n+1)^k} \overset{(\bullet)}{\ge} \\ & \overset{(\bullet)}{\ge} \sum_{k=0}^{n} {\binom{n}{k} \frac{1}{n^k}} = \left({1+\frac{1}{n}}\right)^n = a_n. \end{split} \end{equation*}$

La minorazione $(\bullet)$ si giustifica così:

(2) $\begin{equation*}\begin{align*} \binom{n+1}{k}\frac{1}{(n+1)^k} = {} & \frac{(n+1)!}{k!\,(n+1-k)!}\cdot\frac{1}{(n+1)^k} = \\ = {} & \frac{\overbrace{(n+1)n\cdots(n+1-k+1)}^{\text{$k$ fattori}}}{k!}\cdot\frac{1}{\underbrace{(n+1)\cdots(n+1)}_{\text{$k$ fattori}}} = \\ = {} & \frac{1}{k!} \cdot \frac{n+1}{n+1} \frac{(n+1)-1}{n+1} \cdots \frac{(n+1)-(k-1)}{n+1} \ge \\ \ge {} & \frac{1}{k!} \cdot \frac{n}{n} \frac{n-1}{n} \cdots \frac{n-(k-1)}{n}= \\ =& \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)(n-k)!}{k!(n-k)!}\frac{1}{n^k}=\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}, \end{align*}\end{equation*}$

in quanto

$\frac{n+1-j}{n+1} = 1 - \frac{j}{n+1} \geq 1 - \frac{j}{n} = \frac{n-j}{n} \quad \forall \; j \geq 0.$
Limitatezza superiore della successione $\{a_n\}$ . $\forall \; n> 0$ abbiamo che

(3) $\begin{equation*} \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = 1 + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \frac{1}{n^k}. \end{equation*}$

Ora, osserviamo che, per $k > 0$ :

(4) $\begin{equation*} \binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \underbrace{\frac{n}{n}}_{=1} \cdot \underbrace{\frac{n-1}{n}}_{< 1} \cdots \underbrace{\frac{n-k+1}{n}}_{< 1} \cdot \frac{1}{k!} \leq \frac{1}{k!}. \end{equation*}$

Ricordiamo che vale la seguente disuguaglianza:

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