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Coefficiente angolare di rette perpendicolari – Geometria analitica

Ripasso geometria analitica

Home » Quesito teorico 2 ripasso geometria analitica – Calcolo del coefficiente angolare di due rette perpendicolari con la geometria analitica

Cosa si può dire del coefficiente angolare di rette perpendicolari? E come si può spiegare una tale relazione?
In questo articolo proponiamo la spiegazione del coefficiente angolare di rette perpendicolari mediante strumenti di geometria analitica.

Oltre al nostro materiale su Piano cartesiano e retta consigliamo i seguenti articoli su argomenti correlati:

Buona lettura!

 

Quesito teorico 2.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Dimostrare che due rette y=mx+p e y=m'x+p' sono:
(i) parallele se e solo se m=m';
(ii) perpendicolari se e solo se mm'=-1.

 

Svolgimento.  (i) E’ immediato, per le proprietà note degli angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale, che due rette sono parallele se e solo se formano lo stesso angolo \varphi con l’asse  Ox. Dal precedente, segue che allora m=m'.

(ii) Dimostriamo che r\bot r'\Longrightarrow mm'=-1. Poiché, per il precedente, m\neq m', le rette si intersecano in un solo punto \{P\}=r\cap r', le cui coordinate sono date dalla soluzione del seguente sistema

    \[\begin{cases} y=mx+p\\ y=m^\prime x+p^\prime, \end{cases}\]

da cui

    \[mx+p=m^\prime x+p^\prime\quad \Leftrightarrow \quad x\left(m-m^\prime\right)=p^\prime -p\quad \Leftrightarrow\quad x=\dfrac{p^\prime -p}{m-m^\prime}\,,\]

e quindi

    \[y=mx+p=m\left(\dfrac{p^\prime -p}{m-m^\prime}\right)+p=\frac{mp'-m'p}{m-m'}.\]

Si conclude che il punto cercato è

    \[P=\left(-\frac{p-p'}{m-m'},\frac{mp'-m'p}{m-m'}\right).\]

Inoltre, supponendo m\neq 0, m'\neq 0, segue che le rette r ed r' intersecano l’asse Ox nei punti

    \[r\cap Ox=A=\left(-\frac{p}{m},0\right),\qquad r'\cap Ox=A'=\left(-\frac{p'}{m'},0\right).\]

Calcoliamo ora le seguenti distanze:

    \[\begin{aligned} &|AA'|=\left|\frac{p}{m}-\frac{p'}{m'}\right|,\\ &|AP|=\sqrt{\left(-\frac{p}{m}+\frac{p-p'}{m-m'}\right)^2+\left(\frac{mp'-m'p}{m-m'}\right)^2},\\ &|A'P|=\sqrt{\left(-\frac{p'}{m'}+\frac{p-p'}{m-m'}\right)^2+\left(\frac{mp'-m'p}{m-m'}\right)^2}. \end{aligned}\]

Ipotizziamo che il triangolo PAA' sia rettangolo in P, e quindi deve valere il teorema di Pitagora, per cui

    \[|AA'|^2=|PA|^2+|PA'|^2,\]

cioè

    \[\begin{aligned} &\left(\frac{p}{m}-\frac{p'}{m'}\right)^2=\left(-\frac{p}{m}+\frac{p-p'}{m-m'}\right)^2+\left(\frac{mp'-m'p}{m-m'}\right)^2+\left(-\frac{p'}{m'}+\frac{p-p'}{m-m'}\right)^2+\left(\frac{mp'-m'p}{m-m'}\right)^2. \end{aligned}\]

Quest’ultima identità, dopo opportune semplificazioni, porta alla condizione cercata mm'=-1.

Per dimostare che mm'=-1\Longrightarrow r\bot r', si può procedere seguendo i passi della dimostrazione precedente al contrario. (La dimostrazione viene lasciata al lettore.)

 

 

 

Osservazione conclusiva. La relazione tra i due coefficienti angolari m^\prime=-1/m non vale se le rette r ed s sono parallele agli assi coordinati, in quanto una delle due rette non è rappresentabile in forma esplicita y=f(x). Se si usano invece le equazioni delle due rette in forma implicita:

    \[\begin{aligned} &r:\, ax+by+c=0;\\ &s:\,a^\prime x+b^\prime y+c^\prime=0 \end{aligned}\]

Si può in questo caso ricavare la relazione più generale (valida quando s ed r sono rette perpendicolari qualsiasi):

(1)   \begin{equation*} aa^\prime+bb^\prime=0. \end{equation*}

La dimostrazione è lasciata come esercizio.

 

Ulteriori dimostrazioni.  Per ulteriori dimostrazioni cliccare ai link sotto riportati:

1) dimostrazione trigonometrica clicca qui ;

2) dimostrazione geometrica clicca qui ;

3) dimostrazione algebrica clicca qui

 

 

 
 

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