Quesito teorico 1 ripasso geometria analitica (retta)

Ripasso geometria analitica

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Quesito teorico 1.   (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia r una retta di equazione y=mx+p. Dimostrare che m=\tan\varphi, dove \varphi\in[0,2\pi)\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{3}{2}\pi\right\} è l’angolo che l’asse Ox e la retta r formano in senso antiorario.

 

Svolgimento. Se m=0 è ovvio perché la retta r è parallela all’asse delle x e pertanto m=0=\tan(0^\circ). Sia ora P\in r allora P=(\alpha,m\alpha+p), per ogni \alpha\in\mathbb{R} e m\neq 0. Senza perdita di generalità supponiamo che P giaccia nel primo quadrante e indichiamo con B la proiezione ortogonale di P su Ox. Allora B=(\alpha,0) e |PB|=m\alpha+p. Sia ora \{A\}=r\cap Ox e supponiamo che A si trovi tra O e B, cioè A=(-p/m,0).
Graficamente si ha

 

 

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Abbiamo

    \[A\left(-\frac{p}{m},0\right),\qquad |AB|=\alpha-|OA|=\alpha+\frac{p}{m}.\]

Infine

    \[\tan\varphi=\frac{PB}{BA}=\frac{m\alpha+p}{\alpha+\frac{p}{m}}=m,\]

cioè la tesi.