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Esercizi sul teorema di esistenza degli zeri – volume 1

Teorema degli zeri

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Benvenuti nel primo volume della nostra raccolta di esercizi sul teorema di esistenza degli zeri. Tale importante risultato, fondamentale nella teoria delle funzioni continue, fornisce l’esistenza di un punto in cui una funzione si annulla, sotto alcune condizioni. Il teorema risulta pertanto di notevole importanza pratica nella ricerca numerica degli zeri di una funzione, in quanto esso fornisce anche una stima dell’intervallo in cui si trova un tale punto.

In questo articolo presentiamo 13 esercizi svolti di varia difficoltà e natura, per la cui soluzione può essere utilizzato il teorema di esistenza degli zeri.

La raccolta è consigliata a studenti dei corsi di Analisi Matematica 1 che vogliono testare la loro preparazione su questo argomento centrale nella teoria sulle funzioni continue, e agli appassionati.

Di seguito le raccolte di esercizi su argomenti correlati:

In aggiunta all’esaustiva lista reperibile alla fine dell’articolo, segnaliamo inoltre il seguente materiale teorico di riferimento:

 

Sommario

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In questa dispensa sono presenti esercizi sull’applicazione del teorema degli zeri.

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Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Sara Sottile, Luigi De Masi, Matteo Talluri.

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Richiami teorici

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In questa sezione sono richiamati brevemente i principali risultati teorici utilizzati nel corso della dispensa. Per le dimostrazioni dei seguenti risultati e per ulteriori approfondimenti si rimanda alla dispensa sulla funzioni continue [1].

Teorema 1.  (teorema degli zeri [1, teorema 5.3]) Per ogni numero reale x esiste un numero naturale n più grande di x ovvero n > x.

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Il seguente risultato riassume i principali risultati sulla continuità delle funzioni elementari che vengono utilizzate negli esercizi.

Proposizione 2.   Valgono le seguenti proprietà:

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  • Ogni polinomio P\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} è una funzione continua, proposizione [1, proposizione 2.8].
  • La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = \sin x per x \in \mathbb{R} è continua, [1, proposizione 2.9].
  • La funzione f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = \cos x per \forall è continua, [1, proposizione 2.10].
  • Sia a > 0 un numero reale. La funzione f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da f(x) = a^x per x \in \mathbb{R} è continua, [1, proposizione 2.12].
  • Sia a >0 un numero reale. La funzione f \colon (0,+\infty)\to \mathbb{R} definita da f(x) = \log_a (x) per x \in (0,+\infty) è continua, [1, proposizione 5.21].

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Il seguente risultato riassume i risultati sulla continuità delle varie operazioni sulle funzioni continue.

Proposizione 3.  Sia A \subseteq \mathbb{R}, e siano f,g \colon A \to \mathbb{R} due funzioni continue.

  • La somma f + g e il prodotto f g sono funzioni continue, [1, proposizione 2.13].
  • Il quoziente \frac{f}{g} è continuo nell’insieme A^* \coloneqq \{x \in A : g(x) \neq 0\}, [1, proposizione 2.13].
  • Siano f\colon A \to \mathbb{R} e g\colon B \to \mathbb{R} funzioni tali che f(A) \subseteq B. Se f è continua in x_0\in A e g è continua in y_0 \coloneqq f(x_0)\in B, allora la funzione composta g \circ f è continua in x_0, [1, proposizione 2.15].
  • Siano f,g \colon A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} funzioni continue con f>0. Allora la funzione f^g è continua, [1, proposizione 5.24].

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Testi degli esercizi

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Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} definita da

\[f(x) =x^4+5x+1 \quad \forall x \in\mathbb{R} .\]

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Stabilire se esiste uno zero di f nell’intervallo [-1,0].

Svolgimento.

La funzione f è continua il tutto il suo dominio \mathbb{R} in quanto funzione polinomiale per la proposizione 2. Agli estremi dell’intervallo [-1,0] assume i seguenti valori:

\[\begin{aligned} & f(-1) = (-1)^4 + 5 \cdot (-1)+1 = 1-5+1= -3< 0,\\ & f(0) = 1 > 0, \end{aligned}\]

per cui f(-1) \cdot f(0) < 0, dunque le ipotesi del teorema degli zeri 1 sono valide e quindi esiste x_0 \in [-1,0] tale che

\[f(x_0) = 0.\]

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Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia f\colon (0,+\infty) \to \mathbb{R} definita da

\[f(x) =1-x-\log x \quad \forall x \in(0,+\infty).\]

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Stabilire se esiste uno zero di f nell’intervallo [1,2].

Svolgimento.

La funzione f è continua il tutto il suo dominio in quanto somma di funzioni continue per le proposizioni 2 e 3 . Agli estremi dell’intervallo [1,2] assume i seguenti valori:

\[\begin{aligned} & f(1) = 1-1-\log 1 = 0,\\ & f(2) = - 1-\log 2< 0. \end{aligned}\]

Segue che le ipotesi del teorema degli zeri 1 non sono soddisfatte; tuttavia uno zero di f è x=1.

Per determinare se esistono altri zeri, fissiamo a \in (0,1] e valutiamo la funzione in x=1+a:

\[f(1+a) = - a - \log(1+a) <0.\]

Poiché tale valore è sempre negativo e a è un valore fissato arbitrariamente nell’intervallo (0,1], segue che la funzione f assume sempre valori negativi nell’intervallo (1,2] e dunque tale funzione non possiede altri zeri nell’intervallo cercato, al di fuori di x=1.

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Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar) Sia f\colon \mathbb{R}\setminus\{-3\} \to \mathbb{R} definita da

\[f(x) = x^2+\frac{1}{x+3} \quad \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{-3\}.\]

\[\,\]

Stabilire se esiste uno zero di f nell’intervallo [-1,2].

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