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Dominio di una funzione – Esercizi 5

Dominio di una funzione

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In questo articolo presentiamo 5 esercizi sulla determinazione dell’insieme di definizione (o “dominio”) di una funzione definita da un’espressione. Gli esercizi sono completamente risolti, al fine di consentire una comprensione completa dell’argomento nei suoi dettagli. Segnaliamo anche la precedente raccolta Dominio di una funzione – Esercizi 4 e la successiva Dominio di una funzione – Esercizi 6 per ulteriore materiale sull’argomento.

Ricordiamo che, oltre all’esauriente lista presente alla fine dell’articolo, è possibile consultare il seguente materiale teorico di riferimento:

Buona lettura!

 

Esercizio 21 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia la funzione f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} tale che

\[f(x)=\dfrac{\arcsin(x^2-1)}{\sqrt{x-7}}\]

dove \mathcal{D} è il dominio naturale della funzione. Si determini \mathcal{D}.

 

Svolgimento.

Il dominio naturale di f è dato da tutti i numeri reali che rendono l’argomento dell’arcoseno compreso tra -1 e 1 e l’argomento del denominatore positivo perché essendo al denominatore è necessario che sia diverso da zero. Dunque

(1) \begin{align*} &\begin{cases} -1\leq x^2-1\leq1\\ x-7>0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x^2-1\geq-1\\x^2-1\leq1\\x>7 \end{cases}\\ \Leftrightarrow \quad &\begin{cases} x^2\geq 0\\ x^2\leq 2\\ x>7 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \forall x \in \mathbb{R}\\ \left \vert x \right \vert \leq \sqrt{2}\\ x>7 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} \forall x \in \mathbb{R}\\ -\sqrt{2}\leq x \leq \sqrt{2}\\ x>7 \end{cases} \end{align*}

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Pertanto il dominio naturale di f non è definito.

 

Esercizio 22 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia la funzione f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} tale che

\[f(x)=\dfrac{e^x}{\cos^2(x)-\sin^2(x)+\cos^2(2x)}\]

dove \mathcal{D} è il dominio naturale della funzione. Si determini \mathcal{D}.

 

Svolgimento.

Riscriviamo la funzione come segue ricordando che \cos\left(2x\right)=\cos^2\left(x\right)-\sin^2\left(x\right):

(2) \begin{equation*} f(x)=\dfrac{e^x}{\cos\left(2x\right)+\cos^2\left(2x\right)}. \end{equation*}

Il dominio naturale di f è da tutti i numeri reali che rendono il denominatore diverso da zero

(3) \begin{equation*} \cos\left(2x\right)+\cos^2\left(2x\right) \neq 0. \end{equation*}

Dunque

(4) \begin{align*} \cos\left(2x\right)+\cos^2\left(2x\right) \neq 0 & \quad \Leftrightarrow \quad (\cos(2x)+1)\cos(2x)\ne0 \quad \Leftrightarrow \\ & \quad \Leftrightarrow \quad \cos(2x) \neq 0 \vee \cos(2x)+1 \neq 0\quad \Leftrightarrow \quad\\ &\quad \Leftrightarrow \quad 2x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi \vee 2x \neq \pi+2k\pi \quad \Leftrightarrow \quad \\ & \quad \Leftrightarrow \quad x\ne\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\vee x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\quad \text{con}\,\, k\in \mathbb{Z}. \end{align*}

Pertanto il dominio naturale di f è:

\[\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{x\in\mathbb{R}\vert x\ne\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\vee x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in \mathbb{Z} \right\}. }\]

 

Esercizio 23 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Sia la funzione f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} tale che

\[f(x)=\dfrac{\sqrt{(x^2-9)(x^2-4)}}{\ln(x-2)}\]

dove \mathcal{D} è il dominio naturale della funzione. Si determini \mathcal{D}.

 

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