Dominio di una funzione

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In questo articolo presentiamo 5 esercizi sulla determinazione dell’insieme di definizione (o “dominio”) di una funzione definita da un’espressione. Gli esercizi sono completamente risolti, al fine di consentire una comprensione completa dell’argomento nei suoi dettagli. Segnaliamo anche la precedente raccolta Dominio di una funzione – Esercizi 1 e la successiva Dominio di una funzione – Esercizi 3 per ulteriore materiale sull’argomento.

Ricordiamo che, oltre all’esauriente lista presente alla fine dell’articolo, è possibile consultare il seguente materiale teorico di riferimento:

Buona lettura!

Esercizio 6 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

$f(x)=\sqrt{x^2-1}+\sqrt{x-5}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Svolgimento.

Il dominio naturale di $f$ è dato da tutti i numeri reali che rendono l’argomento di entrambi i radicali non negativo ovvero maggiore o uguale a zero. Dunque andiamo a trovare i valori reali di $x$ tali che

$\begin{cases} x^2-1 \ge 0 \\ x-5 \ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \vert x \vert \ge 1\\ x \ge 5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \le -1 \, \vee \, x \ge 1\\ x \ge 5 \end{cases}$

da cui

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Pertanto il dominio naturale di $f$ è

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x\ge 5 \right\}.}$

Esercizio 7 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

$f(x)=\dfrac{2}{\sqrt{1-3x}} + \sqrt{1-x^2}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

Svolgimento.

Il dominio naturale di $f$ è dato da tutti i numeri reali che rendono l’argomento di entrambi i radicali non negativo e tale che il radicale a denominatore non sia nullo. Dunque andiamo a trovare i valori reali di $x$ tali che

$\begin{cases} 1-x^2 \ge 0 \\ 1-3x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \vert x \vert \le 1\\ 3x < 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -1 \le x \le 1 \\ x < \frac{1}{3} \end{cases}$

da cui

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Pertanto il dominio naturale di $f$ è

$\boxcolorato{analisi}{\mathcal{D} = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, -1 \le x < \dfrac{1}{3} \right\}.}$

Esercizio 8 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar).$ Sia la funzione $f: \mathcal{D} \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tale che

$f(x)=\sqrt{4-\vert x \vert}$

dove $\mathcal{D}$ è il dominio naturale della funzione. Si determini $\mathcal{D}$ .

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