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Integrali per sostituzione – Esercizi

Integrali per sostituzione

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Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi sugli integrali per sostituzione!
In questo articolo proponiamo 45 esercizi svolti sugli integrali indefiniti, affrontati mediante la tecnica della sostituzione. I problemi sono corredati di soluzione completa, così da offrire al lettore la possibilità di confrontare le proprie soluzioni con quelle da noi fornite e massimizzare l’efficienza del suo studio. L’articolo è quindi un ottimo punto di allenamento e banco di prova, in vista della preparazione dell’esame di Analisi Matematica 1 dei corsi di Laurea delle facoltà scientifiche.

Segnaliamo il materiale teorico di riferimento:

Consigliamo inoltre la consultazione delle seguenti raccolte di esercizi correlati:

Buona lettura!

 
 

Esercizi sugli integrali per sostituzione: sommario

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Questa dispensa contiene 45 esercizi di diverse difficoltà sul calcolo di integrali indefiniti con la tecnica di sostituzione.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Donato Ciampa.

Revisori: Sergio Fiuorucci, Sara Sottile.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente integrale indefinito

\[\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}\ \arcsin x}\ dx.\]

Svolgimento.

Posto t=\arcsin x da cui dt=dx/\sqrt{1-x^2} segue

\[\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}\ \arcsin x}\ dx=\int\frac{1}{t}\ dt=\ln|t|+c=\ln|\arcsin x|+c, \quad c\in \mathbb{R}.\]

Allora

\[\boxcolorato{analisi}{\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}\ \arcsin x}\ dx=\ln|\arcsin x|+c, \quad c\in \mathbb{R}.}\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente integrale indefinito

\[\int \frac{\arcsin^{-4/7}x}{\sqrt{1-x^2}}\, dx.\]

Svolgimento.

Poniamo

\[t=\arcsin x \quad \Longrightarrow \quad dt=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}},\]

segue

\[\int\frac{\arcsin^{-4/7}x}{\sqrt{1-x^2}}\ dx=\int t^{-4/7}\ dt=\frac{7}{3} t^{3/7}+c=\frac{7}{3}\arcsin^{3/7} x+c, \quad c\in \mathbb{R}.\]

Quindi concludiamo che

\[\boxcolorato{analisi}{\int\frac{\arcsin^{-4/7}x}{\sqrt{1-x^2}}\ dx=\frac{7}{3}\arcsin^{3/7} x+c, \quad c\in \mathbb{R}.}\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente integrale indefinito applicando le formule parametriche

\[\int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx.\]

Svolgimento.

Utilizzando le formule parametriche ponendo t= \tan \frac{x}{2} si ha che

\[\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\quad \Longrightarrow\quad dx=\frac{2}{1+t^2}\ dt,\]

da cui segue

\[\begin{aligned} \int\frac{1}{\sin^2 x}\ dx&=\int\frac{(1+t^2)^2}{4t^2}\cdot\frac{2}{1+t^2}\ dt\\&=\frac{1}{2}\int\frac{1+t^2}{t^2}\ dt\\ &=\frac{1}{2}\int\left(1+\frac{1}{t^2}\right)\ dt \\&=\frac{1}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)+c, \quad c \in \mathbb{R}\\ &=\frac{t^2-1}{2t}+c, \quad c \in \mathbb{R}\\ &=\frac{\sin^2 \left(\dfrac{x}{2}\right) -\cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)}{2\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)}+c, \quad c \in \mathbb{R}\\ &=-\frac{\cos x}{\sin x}+c, \quad c \in \mathbb{R}\\ &=-\cot x+c, \quad c\in \mathbb{R}. \end{aligned}\]

Quindi

\[\boxcolorato{analisi}{\int\frac{1}{\sin^2 x}\ dx=-\frac{\cos x}{\sin x}+c=-\cot x+c, \quad c\in \mathbb{R}.}\]


 
 

Esercizio 4 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente integrale indefinito

\[\int \frac{x^3-1}{x^4-4x+1}\, dx.\]

Svolgimento.

Osserviamo che la derivata del denominatore della funzione integranda è uguale 4x^3 - 4 = 4(x^3-1). Poniamo dunque

\[t=x^4-4x+1 \ \quad \Longrightarrow \quad \ dt=4(x^3-1)dx,\]

da cui

\[\displaystyle \int\frac{x^3-1}{x^4-4x+1}\ dx=\int\frac{1}{t}\cdot\frac{dt}{4}=\frac{1}{4}\ln|t|+c= \frac{1}{4}\ln|x^4-4x+1|+c, \quad c\in \mathbb{R}.\]

Si conclude che

\[\boxcolorato{analisi}{\int\frac{x^3-1}{x^4-4x+1}\ dx= \frac{1}{4}\ln|x^4-4x+1|+c, \quad c\in \mathbb{R}.}\]


 
 

Esercizio 5 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente integrale indefinito

\[\int \frac{\tan\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}}\, dx.\]

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