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Integrali per parti – Esercizi

Integrali per parti

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Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi sugli integrali per parti!
In questo articolo proponiamo 16 esercizi sugli integrali indefiniti, risolti con la tecnica dell’integrazione per parti. Di ogni esercizio forniamo la soluzione completa, così da permettere al lettore il confronto col suo svolgimento.

Di seguito gli articoli teorici sull’integrazione di funzioni reali di variabile reale:

Segnaliamo inoltre le seguenti raccolte di esercizi correlati:

Buona lettura!

Sommario

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Questa dispensa contiene 16 esercizi di diverse difficoltà sul calcolo di integrali indefiniti con l’applicazione dell’integrazione per parti.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Donato Ciampa.

Revisori: Sergio Fiorucci, Sara Sottile.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente integrale indefinito

\[\displaystyle \int \frac{\ln x}{x^2} \, dx.\]

Svolgimento.

Poniamo

\[f=\ln x,\qquad g'=x^{-2}, \; \;\;\;\Longrightarrow\;\;\;\ f'=\frac{1}{x},\qquad g=-x^{-1},\]

da cui, usando al formula di integrazione per parti

\[\displaystyle \int fg' \ dx=fg-\displaystyle \int fg'\ dx,\]

abbiamo

\[\begin{aligned} \displaystyle \int\frac{\ln x}{x^2}\ dx&=-\frac{\ln x}{x}+\displaystyle \int\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x}\ dx\\ &=-\frac{\ln x}{x}-\frac{1}{x}+c, \quad c\in \mathbb{R}\\ &=-\frac{1}{x}(\ln x+1)+c,\quad c\in \mathbb{R}. \end{aligned}\]

Dunque

\[\boxcolorato{analisi}{ \int\frac{\ln x}{x^2}\ dx=-\frac{1}{x}(\ln x+1)+c, \quad c\in \mathbb{R}.}\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente integrale indefinito

\[\displaystyle \int e^x \, \cos x \, dx.\]

Svolgimento.

Procediamo ad integrare per parti, ponendo

\[f= e^x, \quad g' = \cos x, \;\;\;\Longrightarrow\;\;\; f' = e^x, \quad g=-\sin x,\]

per cui dalla formula di integrazione per parti

\[\displaystyle \int f g'\ dx=fg-\displaystyle \int f' g\ dx,\]

ricaviamo

\[\begin{aligned} \displaystyle \int e^x \, \cos x \, dx & = e^x \, \cos x - \displaystyle \int e^x (-\sin x) \, dx\\ & = e^x \, \cos x + \displaystyle \int e^x \sin x \, dx \\ & = e^x \, \cos x + e^x \sin x - \displaystyle \int e^x \, \cos x \, dx. \end{aligned}\]

Dunque abbiamo ottenuto

\[\displaystyle \int e^x \, \cos x \, dx = e^x \, \cos x + e^x \sin x - \displaystyle \int e^x \, \cos x \, dx\]

da cui

\[2 \displaystyle \int e^x \, \cos x \, dx = e^x \, \left( \cos x + \sin x \right) + c, \quad c\in \mathbb{R}\]

ovvero

\[\boxcolorato{analisi}{ \int e^x \, \cos x \, dx = \dfrac{e^x}{2} \, \left( \cos x + \sin x \right) + c, \quad c\in \mathbb{R}.}\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente integrale indefinito

\[\displaystyle \int e^{2x} \, \sin x\, dx.\]

Svolgimento.

Procediamo ad integrare per parti prendendo

\[f=e^{2x},\quad g'=\sin x,\ \;\;\;\Longrightarrow\;\;\;\ f'=2e^{2x},\quad g=-\cos x\]

per cui dalla formula di integrazione per parti

\[\displaystyle \int f g'\ dx=fg-\displaystyle \int f' g\ dx,\]

ricaviamo

\[\begin{aligned} \displaystyle \int e^{2x} \, \sin x\, dx & = e^{2x} \; (-\cos x) + 2 \displaystyle \int e^{2x} \, \cos x \, dx \\ & = -e^{2x} \, \cos x + 2 \, \left( e^{2x} \, \sin x - 2 \displaystyle \int e^{2x} \, \sin x \, dx \right) = \\ & = -e^{2x} \, \cos x + 2 \, e^{2x} \, \sin x - 4 \displaystyle \int e^{2x} \, \sin x \, dx . \end{aligned}\]

Si osservi che nel penultimo passaggio abbiamo nuovamente integrato per parti scegliendo f=e^{2x},\ g'=\cos x. Abbiamo così ottenuto l’identità

\[\displaystyle \int e^{2x} \, \sin x\, dx = -e^{2x} \, \cos x + 2 \, e^{2x} \, \sin x - 4 \displaystyle \int e^{2x} \, \sin x \, dx + c, \quad c\in \mathbb{R},\]

da cui

\[\boxcolorato{analisi}{\displaystyle \int e^{2x} \, \sin x\, dx = \dfrac{e^{2x}}{5} \left( 2\sin x - \cos x \right) + c, \quad c\in \mathbb{R}. }\]


 
 

Esercizio 4 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente integrale indefinito

\[\displaystyle \int x^5 e^{-x^3} \, dx.\]

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