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Integrali di funzioni razionali – Esercizi

Integrali di funzione razionale

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In questo articolo presentiamo la nostra raccolta di esercizi sugli integrali indefiniti di funzioni razionali, composta da 28 esercizi, tutti completamente risolti. Se stai preparando l’esame di Analisi Matematica 1 e vuoi irrobustire la tua preparazione sugli integrali di funzioni razionali, questo articolo è quello di cui hai bisogno!

Segnaliamo il materiale teorico di riferimento:

Consigliamo inoltre la consultazione delle seguenti raccolte di esercizi correlati:

Buona lettura!

 
 

Sommario

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Questa dispensa contiene 28 esercizi di diverse difficoltà sul calcolo di integrali indefiniti di funzioni razionali.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Donato Ciampa.

Revisori: Sergio Fiuorucci, Sara Sottile.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente integrale indefinito

\[\int \frac{x}{5x+3}\ dx.\]

Svolgimento.

Osserviamo che la funzione integranda si può riscrivere nel modo seguente:

\[\begin{aligned} \frac{x}{5x+3} &= \frac{1}{5}\,\frac{5x}{5x+3} \\ &= \frac{1}{5}\,\frac{5x+3-3}{5x+3} \\ &= \frac{1}{5}\left(1 - \frac{3}{5x+3}\right). \end{aligned}\]

Pertanto

\[ \begin{aligned} \int \frac{x}{5x+3}\,dx &= \int \frac{x}{5x+3}\,dx \\ &= \int \frac{1}{5}\,\frac{5x}{5x+3}\,dx \\ &= \frac{1}{5}\int\frac{5x+3-3}{5x+3}\,dx \\ &= \frac{1}{5}\int\left(1-\frac{3}{5x+3}\right)\,dx \\ &= \frac{1}{5}\left( \int 1\,dx - 3\int\frac{1}{5x+3}\,dx \right) \\ &= \frac{1}{5}\left( x - \frac{3}{5}\ln|5x+3| \right) + C, \qquad C\in\mathbb{R}. \end{aligned} \]

Dunque

\[\boxcolorato{analisi}{\int\frac{x}{5x+3}\ dx=\frac{1}{5}\left(x-\frac{3}{5}\ln|5x+3|\right)+c, \qquad c \in \mathbb{R}.}\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguenti integrale indefinito

\[\int \dfrac{3x-5}{x^2-2x-3}dx.\]

Svolgimento.

La funzione integranda può essere riscritta come segue

(1) \begin{equation*} \dfrac{3x-5}{(x-3)(x+1)}= \dfrac{A}{(x-3)} +\dfrac{B}{(x+1)},\,\,\text{con}\,\,A,B \in \mathbb{R}. \end{equation*}

Svolgendo i calcoli in (1) si ha che

\[\dfrac{A}{(x-3)} +\dfrac{B}{(x+1)} = \dfrac{A(x+1)+B(x-3)}{(x-3)(x+1)} = \dfrac{(A+B)x + A-3B}{(x-3)(x+1)},\]

da cui, per il principio di identità dei polinomi, segue che

\[A+B = 3 , A-3B= 5 \iff A = 1, B=2.\]

Torniamo all’integrale

\[\int \dfrac{3x-5}{x^2-2x-3}dx=\int \dfrac{1}{x-3}dx+2 \int \dfrac{1}{x+1}dx= \ln \vert x-3 \vert +2 \ln \vert x+1 \vert +c, \quad c\in \mathbb{R}.\]

Quindi

\[\boxcolorato{analisi}{\int \dfrac{3x-5}{x^2-2x-3}dx= \ln \vert x-3 \vert +2 \ln \vert x+1 \vert +c, \quad c\in \mathbb{R}. }\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente integrale indefinito

\[\int \frac{1-x^2}{x(1+x)} \, dx.\]

Svolgimento.

Scomponendo il numeratore abbiamo

\[\begin{aligned} \int\frac{1-x^2}{x(1+x)}\ dx&=\int\frac{(1-x)(1+x)}{x(1+x)}\ dx\\ &=\int\frac{1-x}{x}\ dx=\int\left(\frac{1}{x}-1\right)\ dx=\ln|x|-x+c, \qquad c \in \mathbb{R}. \end{aligned}\]

Dunque

\[\boxcolorato{analisi}{\int\frac{1-x^2}{x(1+x)}\ dx=\ln|x|-x+c, \qquad c \in \mathbb{R}. }\]


 
 

Esercizio 4 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente integrale indefinito

\[\int \dfrac{x^4}{4+4x^2}dx.\]

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