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Integrali indefiniti misti – Esercizi

Esercizi misti integrali indefiniti

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Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi misti sugli integrali indefiniti. In questo articolo proponiamo 28 problemi di carattere misto e di difficoltà varia sugli integrali indefiniti. La raccolta, per la sua varietà di tecniche impiegate e di casi presentati, è l’ideale come banco di prova per l’esame di Analisi Matematica 1.

Segnaliamo il materiale teorico di riferimento:

Consigliamo inoltre la consultazione delle seguenti raccolte di esercizi correlati:

Buona lettura!

 
 

Sommario

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Questa dispensa contiene 28 esercizi di diverse difficoltà sul calcolo di integrali indefiniti con l’utilizzo delle diverse tecniche di integrazione.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Donato Ciampa.

Revisori: Sergio Fiuorucci, Sara Sottile.


 
 

Integrali indefiniti misti: testi degli esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente integrale indefinito

\[\int \frac{x}{\sqrt{1+x}} \, dx.\]

Svolgimento.

Poniamo

\[t=\sqrt{1+x} \ \iff x=t^2-1 \,\]

da cui

\[dx = 2 t dt.\]

Sostituendo nell’integrale si ha

\[\begin{aligned} \int\frac{x}{\sqrt{x+1}}\ dx & = \int(t^2-1)\cdot 2dt= 2\left(\frac{t^3}{3}-t\right)+c, \quad c\in \mathbb{R}\\ & =2\left(\frac{\sqrt{(1+x)^3}}{3}-\sqrt{1+x}\right)+c, \quad c\in \mathbb{R} \end{aligned}\]

Dunque

\[\boxcolorato{analisi}{\int\frac{x}{\sqrt{x+1}}\ dx=\dfrac{2}{3}(x-2)\sqrt{x+1}+c, \quad c\in \mathbb{R}}\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente integrale indefinito

\[\int \cos^3 2x\ dx.\]

Svolgimento.

Possiamo scrivere

\[\begin{aligned} \int \cos^3 2x\ dx &=\int\cos^2(2x)\cdot\cos(2x)\ dx=\int\left(1-\sin^2(2x)\right)\cos(2x)\ dx\\ &=\int\cos(2x)\ dx-\int\cos(2x)\cdot\sin^2(2x)\ dx\\ &=\frac{1}{2}\sin(2x)-\frac{1}{6}\sin^3(2x)+c, \quad c \in \mathbb{R}. \end{aligned}\]

Quindi

\[\boxcolorato{analisi}{\int \cos^3 2x\ dx=\frac{1}{2}\sin(2x)-\frac{1}{6}\sin^3(2x)+c, \quad c\in \mathbb{R}}\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente integrale indefinito

\[\int \frac{4}{\cos x} \, dx\]

Svolgimento.

Utilizzando la sostituzione t=\tan\frac{x}{2}, dalle relazioni

\[\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad ,\quad dx=\frac{2}{1+t^2}\ dt,\]

abbiamo

\[\begin{aligned} \int\frac{4}{\cos x}\ dx&=4\int\frac{1+t^2}{1-t^2}\cdot\frac{2}{1+t^2}\ dt=8\int\frac{1}{1-t^2}\ dt\\ &=4\left(\int\frac{1}{1-t}\ dt+\int\frac{1}{1+t}\ dt\right)\\ &=4\left(-\ln|1-t|+\ln|1+t|\right)+c, \quad c\in \mathbb{R}\\ &=\ln\left(\frac{1+t}{1-t}\right)^4+c, \quad c\in \mathbb{R}\\ &=\ln\left(\frac{\cos x}{1-\sin x}\right)^4+c, \quad c\in \mathbb{R}, \end{aligned}\]

dove è stata utilizzata l’identità

\[\frac{1+\tan\alpha}{1-\tan\alpha}=\frac{\cos\alpha+\sin\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}=\frac{\cos 2\alpha}{1-\sin 2\alpha}.\]

Dunque

\[\boxcolorato{analisi}{\int\frac{4}{\cos x}\ dx=\ln\left(\frac{\cos x}{1-\sin x}\right)^4+c, \quad c\in \mathbb{R} }\]


 
 

Esercizio 4 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente integrale indefinito

\[\int \frac{x e^{2x}}{(2x+1)^2}\ dx.\]

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