Insiemi Numerici

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L’insieme numerico che sentiamo più vicini alla nostra esperienza è quello dei naturali, che abbiamo incontrato da piccoli imparando a contare gli oggetti.
Abbiamo poi fatto la conoscenza dei numeri interi relativi, che ci permettono di esprimere anche quantità negative. La necessità di effettuare divisioni in parti non intere ci ha poi condotto alle frazioni e ai numeri razionali.

Cosa sono questi insiemi numerici e quali proprietà possiedono?
Cos’è il principio di induzione e come si usa?
Cosa sono gli assiomi di Peano?

Questa dispensa, arricchita da esempi concreti ed esercizi svolti, è una risorsa indispensabile sia per chi si avvicina a queste domande, sia per chi desidera approfondirne la sua conoscenza. La struttura del testo favorisce un apprendimento graduale ma profondo, ideale per studenti e appassionati che vogliono esplorare la bellezza e la complessità della matematica.

Se desideri fare la conoscenza dei principali insiemi numerici della Matematica, questo articolo è quello che cercavi!

Segnaliamo i seguenti articoli di teoria correlata, tratti dalla lista completa reperibile alla fine della dispensa:

Autori e revisori

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Autore: Martina Moro

Revisore: Valerio Brunetti.

I numeri naturali

Gli assiomi di Peano.

L’insieme numerico basilare è quello dei numeri naturali, ossia quei numeri che possono essere osservati in natura. Tale insieme nasce dalla necessità fondamentale di contare gli oggetti esistenti.

$\begin{equation*} \mathbb{N}=\{0,1,2,...,n,...\} \end{equation*}$

È possibile definire l’insieme $\mathbb{N}$ a prescindere dagli elementi grazie a degli assiomi, detti postulati di Peano.

Definizione 1. L’insieme dei numeri naturali è costituito da una terna $(\mathbb{N},0,\sigma)$ dove $\mathbb{N}$ è un insieme, $0\in\mathbb{N}$ e $\sigma:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}$ è una funzione che definisce il “successivo” di un numero naturale. Formalmente abbiamo tre postulati:

$\mathbb{P}_1$ ) $\sigma$ è iniettiva;

$\mathbb{P}_2$ ) $0\notin\,$ Im( $\sigma$ ) ovvero $\nexists\,n\in\mathbb{N}\,:\,\sigma(n)=0$ ;

$\mathbb{P}_3$ ) Principio di induzione debole: se $U\subseteq\mathbb{N}$ è tale che

$0\in U$
$n\in U\Rightarrow\sigma(n)\in U$

allora $U=\mathbb{N}$ .

Analizziamo più nel dettaglio il significato dei postulati. Se vogliamo definire il concetto di numero naturale abbiamo bisogno di un “ punto di partenza “, ovvero di un numero naturale minimale. In questa esposizione abbiamo scelto lo $0$ come numero naturale di partenza (anche se questa convenzione non è universalmente accettata e talvolta si sceglie di partire dal numero naturale $1$ ). Una volta postulato l’esistenza del numero $0$ (o $1$ a seconda delle convenzione), gli assiomi di Peano richiedono l’esistenza della funzione $\sigma$ che, preso un qualunque numero naturale $n$ in input, restituisce il numero successivo $n+1$ in output. Se avessimo già un’idea di cosa sono i numeri naturali, potremmo scrivere

$\sigma(n)=n+1.$

Alla luce di quanto appena detto, possiamo interpretare i postulati nel seguente modo:

$\mathbb{P}_1$ ) Due numeri diversi hanno due diversi successivi;

$\mathbb{P}_2$ ) Il numero $0$ non è il successivo di un numero naturale;

$\mathbb{P}_3$ ) Principio di induzione debole: se $U$ è un sottoinsieme dei numeri naturali che contiene $0$ e che contiene il successivo di ogni suo elemento, si ha necessariamente $U=\mathbb{N}$ . In altri termini, non esistono sottoinsiemi propri di $\mathbb{N}$ che contengono sia $0$ , sia il successivo di ogni suo elemento.

Osservazione 1. I primi due postulati possono essere interpretati come

$\mathbb{P}_1$ ) $n+1=m+1$ se e solo se $n=m$ ;

$\mathbb{P}_2$ ) L’equazione $n+1=0$ non ha soluzione in $\mathbb{N}$ .

Il terzo postulato, detto Principio di induzione è quello più importante perchè fornisce un vero e proprio metodo dimostrativo, detto dimostrazione per induzione. Supponiamo di voler dimostrare una certa proprietà $P(n)$ per ogni numero naturale. Sia

$\begin{equation*} U=\{n\in\mathbb{N}\,:\, P(n)\text{ è verificata}\} \end{equation*}$

allora possiamo schematizzare il metodo di dimostrazione per induzione in due passi:

Passo base: si dimostra che $0\in U$ , cioè che $P(0)$ è verificata;
Passo induttivo: supponiamo vera la proposizione $P(n)$ per un generico valore $n$ e dimostriamo a partire da questa ipotesi, detta ipotesi induttiva, che la proposizione $P(n+1)$ è vera.

Il Postulato $\mathbb{P}_3$ permette di concludere che $U=\mathbb{N}$ , ovvero che la proprietà $P$ è valida per ogni numero naturale. Infatti, il passo induttivo corrisponde esattamente a verificare che $n \in U \Rightarrow\sigma(n)\in U$ .

Possiamo riassumere in modo formale il Principio di Induzione come segue:

$P(0) \wedge \{ P(n) \Rightarrow P(n+1) \; \forall n \in \mathbb{N} \} \Rightarrow (P(n)\; \forall n \in \mathbb{N}).$

Nella formalizzazione di Peano dei numeri naturali il principio di induzione è dato come assioma, pertanto è assunto come vero e non viene dimostrato. In alternativa viene assunto come assioma il principio del buon ordinamento che invece nella formalizzazione di Peano viene dimostrato. In questo caso il principio di induzione è conseguenza del principio del buon ordinamento. Quindi le due teorie dei numeri naturali sono perfettamente equivalenti.

Teorema 1. I due principi sono equivalenti $\mathbb{P}_3$

Principio di induzione: sia $U\subseteq\mathbb{N}$ tale che

$0\in U$ ;
$n\in U\Rightarrow n+1 \in U$ ;

allora $U=\mathbb{N}$ .

$\mathbb{M}$ Principio del buon ordinamento: Sia $U\subseteq\mathbb{N}$ non vuoto. Allora $U$ contiene un elemento minimo, ovvero

$\begin{equation*} \exists\,u\in U\,:\,u\leq x\,\qquad\forall\,x\in U. \end{equation*}$

Dimostrazione. $(\mathbb{P}_3\Rightarrow\mathbb{M})$ Sia $U\subseteq\mathbb{N}$ un sottoinsieme non vuoto. Se $0\in U$ allora $\min U=0$ .

Se $0\notin U$ allora possiamo considerare l’insieme

$T=\{n\in\mathbb{N}\,:\, n<u\,\,\forall\,u\in U\}.$

Osserviamo che $0\in T$ . Se per ogni $n\in T$ si avesse $n+1\in T$ allora per il principio di induzione $T=\mathbb{N}$ e $U$ sarebbe vuoto. Deve esistere un elemento $n_0\in T$ tale che $n_0+1\notin T$ e allora $\min U=n_0+1$ .

( $\mathbb{M}\Rightarrow\mathbb{P}_3)$ Sia $U$ un sottoinsieme non vuoto di numeri naturali tale che $0\in U$ e se $n\in U$ allora $n+1\in U$ . Supponiamo per assurdo che $U\neq \mathbb{N}$ e consideriamo $T:=\mathbb{N}\setminus U\neq\emptyset$ allora per il principio del minimo esiste un $m\in T$ elemento minimo, ovvero tale che $m\leq t$ per ogni $t\in T$ . Osserviamo che $0\in U$ quindi $1\in U$ : da questo deduciamo che $m>1$ e che $m-1\notin T$ per la minimalità di $m$ . Quindi $m-1\in U$ ; questo porta a un assurdo perché $m=(m-1)+1\in U= \mathbb{N} \setminus T$ .

Il principio del minimo permette di dimostrare il seguente teorema alla base della definizione dell’operazione divisione euclidea

Teorema 2. Siano $a,\,b\,\in\mathbb{N}$ con $b\neq 0$ allora esistono e sono unici $q,\,r\,\in\mathbb{N}$ tale che

$\begin{equation*} a=b\cdot q+r\qquad 0\leq r<b, \end{equation*}$

dove $q$ è detto quoziente e resto della divisione euclidea.

Dimostrazione. Studiamo il caso $a\geq b$ e consideriamo l’insieme

$\begin{equation*} M=\{n\in\mathbb{N}\,:\,\exists\,k\in\mathbb{N},\,n=a-b\cdot k\}. \end{equation*}$

Scegliendo $k=0$ otteniamo

$\begin{equation*} a=a-b\cdot k, \end{equation*}$

quindi $M\neq\emptyset$ perché contiene sicuramente l’elemento $a$ . Per il principio del minimo esiste $r\geq 0$ tale che $r\leq m$ per ogni $m\in M$ . Quindi $\exists \,q\in\mathbb{N}$ tale che

(1) $\begin{equation*} r=a-b\cdot q. \end{equation*}$

Dimostriamo che $r<b$ ; se per assurdo $r\geq b$ allora l’elemento $t=r-b=a-(q+1)b\in M$ e $t<r$ e questo contraddice la minimalità di $r$ .

Dimostriamo l’unicità per assurdo: supponiamo esistano $q,\,q'\in\mathbb{N}$ e $r,\,r'\in\mathbb{N}$ tale che

$\begin{equation*} a=q\cdot b+r\qquad 0\leq q<r, \end{equation*}$

$\begin{equation*} a=q'\cdot b+r'\qquad 0\leq q'<r'. \end{equation*}$

Allora

$\begin{equation*} q\cdot b+r=q'\cdot b+r' \end{equation*}$

Se $r'=r$ allora $bq=bq'\Rightarrow q=q'$
Se $r<r'$ allora
$\begin{equation*} r'-r=b(q-q')\geq b \end{equation*}$

poiché $r'-r\in\mathbb{N}$ . Allora siccome $r'-r\leq r'<b$ otteniamo una contraddizione. Nel caso $r>r'$ si ragiona analogamente.