Esercizio moti relativi 36

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Esercizio sui moti relativi 36 è il trentaseiesimo esercizio della raccolta esercizi dedicati ai moti relativi. Il successivo esercizio disponibile nella sequenza è Esercizio sui moti relativi 37, mentre il precedente è Esercizio sui moti relativi 35. L’argomento dei moti relativi precede lo studio degli esercizi svolti sul lavoro e sull’energia e prosegue con l’analisi degli esercizi svolti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio è rivolto agli studenti del corso di Fisica 1, risultando particolarmente utile per i percorsi di studio in ingegneria, fisica e matematica.

Testo dell’Esercizio sui moti relativi 36

Esercizio 36 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Un’asta rigida viene fatta ruotare in un piano orizzontale a velocità angolare costante $\vec{\omega}$ attorno ad un suo estremo fisso $O$ . Lungo l’asta è presente una scanalatura nella quale possono scorrere senza attrito tre masse $m_1=m$ , $m_2=2m$ e $m_3=m$ , poste in serie una dopo l’altra come rappresentato in figura 1. La massa $m_1$ è collegata all’estremo $O$ da una molla ideale (di massa trascurabile e che rispetta la legge di Hooke) con costante elastica $k$ e lunghezza a riposo nulla. Alla massa $m_1$ è anche collegato un filo ideale (inestensibile e di massa trascurabile) di lunghezza $\ell_1$ che la lega alla massa $m_2$ . Questa è a sua volta collegata tramite un altro filo ideale di lunghezza $\ell_2$ alla massa $m_3$ (si veda la figura 1, dove l’asta è rappresentata in nero ed i fili che collegano le masse sono rappresentati in rosso). Il sistema fisico composto dalle tre masse è in equilibrio in un sistema di riferimento solidale con l’asta che ruota.

Si determini la lunghezza della molla e la tensione dei fili esercitata sulle masse.
Si calcoli il modulo dell’accelerazione della massa $m_2$ nel sistema di riferimento fisso $Oxy$ rappresentato in figura 1.

Si esprimano i risultati in funzione di $\omega$ , $k$ , $m$ , $\ell_1$ e $\ell_2$ . Si assuma durante tutto lo svolgimento dell’esercizio che $k>4m\omega^2$ ; si veda l’approfondimento in fondo al testo per un’analisi del problema nel caso in cui $k\leq 4m\omega^2$ .

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Figura 1: rappresentazione schematica del problema e del sistema di riferimento fisso $Oxy$ .

Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale $P$ , la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1) $\begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}$

Nell’equazione (1):

$\vec{F}$ è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
$\vec{a}_{O^\prime}$ è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
$\vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }$ , dove $\vec{\omega}$ la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e $\vec{r}^{\, \prime }$ il vettore posizione di $m$ rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
$-m\vec{a}_c$ è la forza centrifuga, dove $\vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right)$ ;
$-m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}}$ è la forza di Coriolis, dove $\vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }$ , essendo $\vec{v}^{\, \prime }$ la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
$\vec{a}^{\,\prime}$ è l’accelerazione relativa di $m$ nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2) $\begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}$

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