Esercizi sugli integrali doppi

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Sommario

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La seguente è una dispensa ricca di integrali doppi da svolgere, con vari livelli di difficoltà e diversi metodi di risoluzione.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Chiara Gambicchia, Fabrizio Caruso.

Revisori: Elisa Bucci, Fabrizio Caruso.

Notazioni

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$\iint_{\Omega} f(x,y)dx\,dy$	integrale doppio di $f$ sull’insieme $\Omega\subset \mathbb{R}^2$ ;
$J_\Phi (u,v)$	matrice Jacobiana associata al cambio di variabili $\Phi$ ;
$\log x$	logaritmo in base $e$ di $x$ .

Introduzione

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Benvenuti nella giungla degli integrali multipli!

Vi accogliamo con una ricca raccolta di esercizi sugli integrali doppi, il cui scopo è quello di consolidare per bene le tecniche di risoluzione più diffuse e divertirsi un po’ nello svolgimento di qualche esercizio meno standard.

Nelle soluzioni che proponiamo noterete che verrà sempre rappresentato il dominio d’integrazione, anche se non è mai una richiesta esplicita dell’esercizio. Questo è un passaggio che certamente non è obbligatorio ma che, come avrete modo di osservare, è spesso molto utile e aiuta, tramite la visualizzazione, nello svolgimento di ciò che viene richiesto.

Vi avvertiamo che non c’è un vero e proprio ordine negli esercizi proposti; vi esortiamo proprio a scorrere la dispensa, esplorandola per cimentarvi negli esercizi che attirano la vostra attenzione e vi incuriosiscono maggiormente. Tuttavia, se vi interessa approfondire i temi del baricentro e del momento di inerzia di figure piane (e solide), non è questa la raccolta che state cercando; vi rimandiamo alle seguenti dispense, sempre messe a disposizione dal nostro sito:

$\quad$

Esercizi sul baricentro;

Esercizi sul momento d’inerzia.

Buon lavoro!

Richiami di teoria

Introduzione.

In questa sezione richiamiamo i risultati e le definizioni fondamentali riguardanti gli integrali doppi, necessari per svolgere gli esercizi presenti nella dispensa. Tutti i risultati che citeremo si possono trovare, ben motivati e approfonditi, nelle dispense di teoria di Qui Si Risolve (divisi in Parte 1 e Parte 2) oltre che in tutte le referenze indicate in tali dispense. Per comodità di lettura non daremo in questa dispensa la definizione formale di integrale multiplo, perché esula dallo scopo di questo lavoro, ma ci limiteremo a ricordarne la definizione intuitiva e i principali teoremi.

Intuitivamente, diciamo che l’integrale di una funzione $f : \Omega \subset \mathbb R^2 \to \mathbb R^+$ è il volume tridimensionale della regione compresa tra il piano $xy$ e il grafico della funzione stessa (si veda la figura 1). In particolare, sempre intuitivamente, diciamo che una funzione $f$ è integrabile se ha senso definirne l’integrale.

$\quad$

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Figura 1: Grafico di una funzione definita in un sottoinsieme $\Omega \subset \mathbb R^2$ a valori positivi.

$\quad$

Una condizione sufficiente perché una funzione sia integrabile è data dalla continuità della funzione sul dominio di integrazione a meno di un insieme di misura nulla.

Le formule di riduzione (o teorema di Fubini).

Ora passiamo a questioni un po’ più pratiche. Ricordiamo la definizione di dominio normale rispetto ad una direzione:

Definizione 1.1. Un dominio $\mathcal D \subset \mathbb R^2$ si dice semplice (o normale) rispetto all’asse $\boldsymbol{x}$ se esistono due funzioni $\alpha , \beta : [a,b] \to \mathbb R$ continue, tali che $\alpha \leq \beta$ in $[a,b]$ e

$\mathcal D = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 \, : \, a \leq x \leq b , \, \alpha(x) \leq y \leq \beta(x) \}.$

Analogamente, $\mathcal D$ si dice semplice (o normale) rispetto all’asse $\boldsymbol{y}$ se esistono due funzioni $\gamma , \delta: [c,d] \to \mathbb R$ continue, tali che $\gamma \leq \delta$ in $[c,d]$ e

$\mathcal D = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 \, : \, c \leq y \leq d , \, \gamma(y) \leq x \leq \delta(y) \}.$

$\quad$

La comodità dei domini normali rispetto ad un particolare asse è che nel calcolo dell’integrale di una funzione $f$ su di essi ci si può ridurre a calcolare degli integrali in una variabile sola tramite le formule di riduzione, note come teorema di Fubini.

Teorema 1.2 (teorema di Fubini). Sia $\mathcal D \subset \mathbb R^2$ e sia $f \colon \mathcal D \to \mathbb R$ una funzione integrabile in $\mathcal D$ .

$\quad$

Se $\alpha,\beta \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ funzioni continue, se
$\mathcal D = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 \, : \, a \leq x \leq b , \, \alpha(x) \leq y \leq \beta(x) \}$

è un dominio semplice rispetto all’asse $x$ e se le restrizioni $f\vert _{S_x}$ di $f$ ai segmenti verticali $S_x$ definiti da

$S_x :=\{ x \} \times [\alpha(x),\beta(x)]=\{x\} \times \{y\in \mathbb R \, : \, \alpha (x) \leq y \leq \beta(x)\} \qquad \forall x \in [a,b]$

sono integrabili per ogni $x \in [a,b]$ , allora la funzione $x \mapsto \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}f(x,y) dy$ è integrabile in $[a,b]$ e vale

$\iint_\mathcal D f(x,y) \, dx dy = \int_a^b \left (\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,y) \, dy \right )dx.$

Se $\gamma, \delta \colon [c,d] \to \mathbb{R}$ sono funzioni continue, se
$\mathcal D = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 \, : \, c \leq y\leq d , \, \gamma(y) \leq x \leq \delta(y) \}$

è semplice rispetto all’asse $y$ e se le restrizioni $f\vert _{S_y}$ di $f$ ai segmenti verticali $S_y$ definiti da

$S_y :=[\gamma(y), \delta(y)] \times \{y\}=\{x\in \mathbb R \, : \, \gamma(y) \leq x \leq \delta(y))\} \times \{y\}$

sono integrabili per ogni $y \in [c,d]$ , allora a funzione $y \mapsto \int_{\gamma(y)}^{\delta(y)}f(x,y) dx$ è integrabile in $[c,d]$ e vale

$\iint_\mathcal D f(x,y) \, dx dy = \int_c^d \left (\int_{\gamma(y)}^{\delta(y)} f(x,y) \, dx \right )dy .$

$\quad$

Una conseguenza immediata delle formule di riduzione in particolare è la seguente:

Proposizione 1.3. Sia $f : [a,b] \times[c,d] \to \mathbb R$ del tipo $f(x,y)=\phi(x)\psi(y)$ con $\phi$ , $\psi$ integrabili. Allora

$\iint_{[a,b] \times[c,d]} f(x,y) \, dx dy = \int_a^b \phi (x) \, dx \int_c^d \psi (y) \, dy .$

Cambi di variabili.

Ora supponiamo di voler deformare il dominio di integrazione tramite una mappa opportuna che cambia le variabili di riferimento (si veda la figura 2): come cambia l’integrale quando prendiamo come riferimento il dominio deformato? La risposta è nel prossimo risultato, noto come teorema del cambio di variabili.

$\quad$

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Figura 2: Un possibile cambio di variabili.

Teorema 1.4 (cambio di variabili). Siano $\mathcal D$ , $\mathcal T \subset \mathbb R^2$ domini di classe $C^1$ e sia $\Phi: \mathcal T \to \mathcal D$ una funzione biunivoca e di classe $C^1$ con inversa $C^1$ , tale che

$\Phi : (u,v) \in \mathcal T \mapsto(x,y)\in \mathcal D ,$

dove $\Phi(u,v)= (\phi_1(u,v), \phi_2(u,v))$ , cioè

$\begin{cases} x=\phi_1(u,v) \\ y=\phi_2 (u,v) . \end{cases}$

Allora, per ogni $f: \mathcal D \to \mathbb R$ integrabile, si ha

$\iint_{\mathcal D} f(x,y) \, dx\,dy= \iint_{\mathcal T=\Phi^{-1}(\mathcal D) }f(\phi_1(u,v), \phi_2 (u,v)) \vert \det J_\Phi (u,v) \vert \, dudv ,$

dove $J_\Phi (u,v)$ è la matrice Jacobiana associata alla mappa $\Phi$ , definita come

(1) $\begin{equation*} J_\Phi (u,v): = \left ( \begin{array}{cc} \dfrac{\partial \phi_1(u,v)}{\partial u} & \dfrac{\partial \phi_1 (u,v)}{\partial v} \\ \dfrac{\partial \phi_2(u,v)}{\partial u} & \dfrac{\partial \phi_2(u,v)}{\partial v} \\ \end{array} \right ). \end{equation*}$

$\quad$

Un cambio di variabili piuttosto celebre e molto utilizzato per svolgere integrali doppi è il passaggio alle coordinate polari.

Consideriamo la funzione $\Phi \colon (\rho, \theta) \in [0,+\infty) \times [0,2\pi)\mapsto (x,y) \in \mathbb{R}^2$ definita come

$\begin{cases} x= \rho \cos \theta \\ y= \rho \sin \theta ,\end{cases}$

la cui matrice Jacobiana è

$J_\Phi (\rho, \theta) = \left ( \begin{array}{cc} \cos \theta & -\rho \sin \theta \\ \sin \theta & \rho \cos \theta \\ \end{array} \right )$

e il determinante Jacobiano, in valore assoluto, è pari a $\vert \det J_\Phi (\rho, \theta) \vert = \rho$ .

Il centro di massa.

Come importante applicazione della teoria degli integrali doppi, richiamiamo infine la definizione di baricentro (o centro di massa) di un dominio dotato di una densità di massa $\sigma$ .

Definizione 1.5 (massa totale e baricentro). Sia $\mathcal D \subset \mathbb R^2$ un dominio e sia $\sigma: \mathcal D \to \mathbb R ^+$ una funzione integrabile.

Chiamiamo massa di $\mathcal D$ con densità $\sigma$ la quantità

(2) $\begin{equation*} m = \iint_{\mathcal D} \sigma (x,y) \, dx\,dy .\end{equation*}$

Inoltre, chiamiamo baricentro di $\mathcal D$ il punto di coordinate $(x^*, y^*)$ date da

(3) $\begin{equation*} x^* = \dfrac{1}{m} \iint_{\mathcal D} x\sigma (x,y) \, dx\,dy\, ,\qquad y^*= \dfrac{1}{m} \iint_{\mathcal D} y\sigma (x,y) \, dx\,dy.\end{equation*}$

$\quad$

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente integrale doppio:

$\iint_D (x^2+y^2) \, dx \, dy$

dove $D=\left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \, \vert \, 0 \le x \le 1, \, 0\le y \le 1 \right\}$ .

Svolgimento.

L’insieme $D$ è il quadrato nel primo quadrante con un vertice nell’origine e lato pari ad uno, si veda la figura 3.

$\quad$

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Figura 3:Il dominio di integrazione $D$ .

$\quad$

Risolviamo l’integrale:

$\begin{aligned} \iint_{D} (x^2+y^2) \; dx \, dy & = \int_0^{1} \left(\int_{0}^{1} (x^2+y^2) \, dy\right) dx = \\ & = \int_0^{1} \left[x^2y+\dfrac{y^3}{3}\right]_0^1 \; dx = \\ & = \int_0^{1} \left(x^2+\dfrac{1}{3}\right) \; dx = \\ & = \left[\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x}{3}\right]_0^1 =\\ & =\dfrac{1}{3} +\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}. \end{aligned}$

Quindi concludiamo che:

$\boxcolorato{analisi}{ \displaystyle \iint_{D} (x^2+y^2) \; dx \, dy=\dfrac{2}{3}. }$

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente integrale doppio:

$\iint_D(x+y)\,dx\,dy,$

dove $D=\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\,x^2+y^2\le1,\,x+\lvert y\rvert>0\bigr\}$ .

Svolgimento.

La zona colorata in figura 4 è il dominio $D$ . Infatti l’equazione $x^2+y^2=1$ è la circonferenza unitaria centrata in $(0,0)$ ; inoltre la disuguaglianza $x+|y|>0$ diventa

$\begin{cases} x>-y\quad y\geq 0,\\ x>y\quad y\leq 0. \end{cases}$

Cioè, nel semipiano inferiore stiamo considerando la parte di cerchio che sta sotto la bisettrice del terzo quadrante, mentre nel semipiano superiore stiamo considerando la parte di cerchio che si trova al di sopra della bisettrice del secondo quadrante.

$\quad$

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Figura 4: Il dominio d’integrazione $D$ .

$\quad$

Osserviamo che $f(x,y)=y$ è dispari rispetto alla variabile $y$ e il dominio $D$ è simmetrico rispetto all’asse $x$ , quindi

$\iint_D y \; dx \; dy=0.$

Resta dunque da calcolare solo

$\iint_D x \; dx \; dy.$

Usiamo le coordinate polari per parametrizzare $D$ :

$\begin{cases} x=\rho\cos\theta\\ y=\rho\sin\theta,\\ \end{cases}$

con $\theta\in \left[-\dfrac{3}{4}\pi,\dfrac{3}{4}\pi\right]$ e $\rho\in[0,1].$

L’integrale diventa così

$\begin{aligned} \iint_D x+y \; dx \; dy =&\iint_D x \; dx \; dy=\\ =&\int_{-\frac{3}{4}\pi}^{\frac{3}{4}\pi} \int_0^1\rho^2\cos\theta d\rho \,d\theta=\\ =&2\sin\theta\bigg|_0^{\frac{3}{4}\pi}\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\biggl(\frac{\sqrt 2}{2}\biggr)=\\ =&\frac{\sqrt 2}{3}, \end{aligned}$

dove è stata usata la parità del coseno per scriverci l’integrale tra $-\frac{3\pi}{4}$ e $\frac{3\pi}{4}$ come il doppio dell’integrale tra $0$ e $\frac{3\pi}{4}$ .

In conclusione si ha che:

$\boxcolorato{analisi}{ \displaystyle \iint_D x+y \; dx \; dy=\frac{\sqrt 2}{3}. }$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare

$\iint_D\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4y^2+4}} \, dx \, dy,$

dove $D= \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \,: \, \dfrac{x^2}{4}+y^2 \le 1 \right\}$ .

Svolgimento.

Il dominio $D$ è un’ellisse di semiassi $2$ e $1$ , centrata nell’origine.

$\quad$

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Figura 5: L’ellisse $D$ del testo dell’esercizio.

$\quad$

Parametrizziamo il dominio $D$ applicando le coordinate ellittiche

$\begin{cases} x = 2 \rho \cos \theta\\ y = \rho \sin \theta, \end{cases}$

al variare di $\rho \in \left[0,1\right], \theta \in \left[0, 2\pi \right]$ . Allora, grazie alla formula del cambio di variabile, abbiamo

$\begin{aligned} \iint_D \dfrac{1}{\sqrt{x^2+4y^2+4}} \, dx \, dy & =2 \int_0^{2\pi} \int_{0}^1 \rho \; \dfrac{1}{\sqrt{4 \rho^2 + 4}} d\rho\, d\theta =\\ & = \dfrac{2}{2} \; \int_0^{2\pi} \int_{0}^1 \dfrac{\rho}{\sqrt{\rho^2 + 1}} d\rho\, d\theta =\\ & = 2 \pi \; \sqrt{\rho^2+1}\bigg\vert_0^1 = \\ & = 2\pi \left( \sqrt{2}-1 \right). \end{aligned}$

Concludiamo quindi che:

$\boxcolorato{analisi}{\displaystyle \iint_D \dfrac{1}{\sqrt{x^2+4y^2+4}} \, dx \, dy = 2\pi \left( \sqrt{2}-1 \right). }$

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Calcolare il seguente integrale doppio:

$\begin{equation*} I=\iint_D \sin^3 \left( x^2+y^2\right) \, dx \, dy, \end{equation*}$

dove

$D = \left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \, : \, y\leq x\,,\,y \geq -x\,,\, \dfrac{\pi}{2}\leq x^2+y^2\leq \pi \right\}.$

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