Accedi ai contenuti scaricabili
Qui si risolve LOGO
a

Menu

M

Chiudi

Esercizio moti relativi 22

Moti relativi in Meccanica classica

Home » Esercizio moti relativi 22

Esercizio sui moti relativi 22 è il ventiduesimo esercizio della raccolta esercizi dedicati ai moti relativi. Il successivo esercizio disponibile nella sequenza è Esercizio sui moti relativi 23, mentre il precedente è Esercizio sui moti relativi 21. L’argomento dei moti relativi precede lo studio degli esercizi svolti sul lavoro e sull’energia e prosegue con l’analisi degli esercizi svolti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio è rivolto agli studenti del corso di Fisica 1, risultando particolarmente utile per i percorsi di studio in ingegneria, fisica e matematica.

 

Testo dell’Esercizio sui moti relativi 22

Esercizio 22 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Si consideri un disco di raggio R vincolato a ruotare con velocità angolare costante \vec{\omega} attorno ad un asse verticale passante per il suo centro. La velocità angolare \vec{\omega} è costante in modulo, direzione e verso. Lungo un diametro del disco è realizzata una scanalatura dove può scorrere senza attrito una pallina di massa m, collegata al centro O del disco da una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla. Se inizialmente la pallina è tenuta in quiete rispetto al disco, alla distanza di {R}/{2} da O, determinare la sua velocità radiale quando sta per uscire dalla scanalatura. Si trascuri qualsiasi forma di attrito e ipotizzare che la molla sia ideale e priva di massa. Supporre che valga -k + \omega^2 m>0.

 

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale P, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1) \begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}

Nell’equazione (1):

  • \vec{F} è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
  • \vec{a}_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
  • \vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }, dove \vec{\omega} la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{r}^{\, \prime } il vettore posizione di m rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • -m\vec{a}_c è la forza centrifuga, dove \vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right);
  • -m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}} è la forza di Coriolis, dove \vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }, essendo \vec{v}^{\, \prime } la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • \vec{a}^{\,\prime} è l’accelerazione relativa di m nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2) \begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}

   


Svolgimento.

Scegliamo un sistema di riferimento inerziale Oxyz ed uno non inerziale O^\prime x^\prime y^\prime z^\prime tali che O \equiv O^\prime e z\equiv z^\prime. Gli assi z e z^\prime sono coincidenti con l’asse di rotazione. All’istante iniziale t=0 i due sistemi di riferimento coincidono, come rappresentato in figura 2.    

Rendered by QuickLaTeX.com

    Il sistema non inerziale è solidale con il disco. All’istante t=0 la massa m si trova in {R}/{2}, come illustrato nella figura 3.    

Rendered by QuickLaTeX.com

    Osservando dal sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime la pallina di massa m è sottoposta alla forza centrifuga (forza apparente) e alla forza della molla lungo l’asse x^\prime. All’istante t=0, la pallina ha velocità relativa nulla rispetto al disco, la forza centrifuga genera un’accelerazione diretta radialmente, ovvero orientata lungo l’asse x^\prime (si veda la figura 4), ed istante per istante la massa m si trova vincolata a muoversi lungo l’asse x^\prime; tale accelerazione dà una velocità relativa diversa da zero e quindi m inizierà a muoversi. Sia \vec{v}^{\,\prime} la velocità lungo l’asse x^\prime per la massa m e x^\prime(t) la posizione di m lungo l’asse x^\prime. Ricordando che la forza di Coriolis è definita come segue

(3) \begin{equation*} \vec{F}_{\mbox{\tiny Coriolis}} = - 2m \,\vec{\omega} \wedge \vec{v}^{\,\prime}, \end{equation*}

deduciamo che la massa m sarà sottoposta alla forza di Coriolis perché \vec{v}^{\,\prime}\neq 0. La forza di Coriolis è diretta in una direzione parallela all’asse delle y^\prime, cioè perpendicolarmente al moto di m, dato che si muove lungo x^\prime. Osserviamo che per la fisica del problema gli effetti della forza di Coriolis vengono annullati dalle reazioni vincolari generate dalla parete; in altri termini la forza di Coriolis cerca di spostare la massa m in una direzione parallela all’asse x^\prime, ma dato che m è vincolata a muoversi solo lungo l’asse x^\prime si viene a generare una forza per via del vincolo uguale ed opposta alla forza di Coriolis che nè annulla gli effetti. Il corpo è soggetto alla reazione vincolare \vec{N}, alla forza di Coriolis \vec{F}_{\mathrm{Coriolis}}, alla forza centrifuga \vec{F}_{\mathrm{centrifuga}} e, infine, alla forza generata dalla molla \vec{F}_{\mathrm{molla}}. Ovviamente lungo l’asse z^\prime è presente anche la forza peso e un ulteriore reazione vincolare, ma queste due forze sono ininfluenti alla fine dei calcoli successivi dato che non ci sono attriti. Lo schema delle forze reali e apparenti è rappresentato in figura 4.    

Rendered by QuickLaTeX.com

    Di seguito, in figura 5, rappresentiamo il moto di m in un generico istante t>0.    

Rendered by QuickLaTeX.com

    Di seguito, in figura 6, rappresentiamo il sistema visto dall’alto.    

Rendered by QuickLaTeX.com

    Consideriamo l’istante t=t^\star>0 tale che m si trova in x^\prime(t^\star) = R e l’istante t=0 tale che m si trova in x^\prime(0) = R/2. Per il teorema dell’energia nell’intervallo di tempo [0,t^\star] si ha

(4) \begin{equation*} \dfrac{1}{2}m\left(v^\prime \right)^2 = L_{FM} + L_{FC}, \end{equation*}

dove L_{FM} è il lavoro forza della molla nell’intervallo di tempo [0,t^\star], L_{FC} è lavoro forza centrifuga nell’intervallo di tempo [0,t^\star] e v^\prime è il modulo della velocità che ha m all’istante t=t^\star nel sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime z^\prime. Il lavoro della molla nell’intervallo di tempo [0,t^\star] è

(5) \begin{equation*} L_{FM} = -\Delta U = \dfrac{1}{2}k \left(\Delta x_0^2 - \Delta x_f^2\right), \end{equation*}

dove \Delta x_0 è la compressione iniziale della molla e \Delta x_f è la compressione finale della molla. Tendendo conto che all’istante iniziale m si trova in x^\prime(0) = {R}/{2} e la molla ha lunghezza a riposo nulla, possiamo scrivere \Delta x_0 = {R}/{2}. Quando m si trova in x^\prime(t^*)= R abbiamo che \Delta x_f = R. Dunque, avvalendoci di quanto detto la precedente equazione diventa

(6) \begin{equation*} L_{FM} = \dfrac{1}{2}k \left(\left(\dfrac{R}{2}\right)^2 - R^2\right) = \\ = \dfrac{1}{2}k \left( \dfrac{R^2}{4}- R^2\right) =\\ = -\dfrac{3}{8}k R^2. \end{equation*}

Calcoliamo il lavoro della forza centrifuga, ricordando che il modulo della forza centrifuga in un generico istante è pari a F_{\mbox{\tiny FC}} = m\omega^2 x^\prime e ricordando che il lavoro è definito come

\[L = \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d\vec{s},\]

dove \gamma è il sostegno (percorso fatto da m nel sistema di riferimento O^\prime x^\prime y^\prime z^\prime) percorso da m. Siccome stiamo considerando l’istante t=0 e t=t^*>0 e in tale sistema di riferimento m si muove di moto rettilineo, abbiamo che

(7) \begin{equation*} L_{FC} = \int_{\frac{R}{2}}^R m\omega^2 \, x^\prime \, dx\prime = m\omega^2 \, \dfrac{(x^\prime)^2}{2} \bigg\vert_{\frac{R}{2}}^R =\\ = \dfrac{m\omega^2}{2} \left(R^2 - \dfrac{R^2}{4}\right) = \\ = \dfrac{3}{8} m \omega^2 R^2. \end{equation*}

Avvalendoci delle equazioni (6) e (7) l’equazione (4) diventa

(8) \begin{equation*} \dfrac{1}{2}m (v^\prime)^2 = - \dfrac{3}{8} kR^2 + \dfrac{3}{8}m \omega^2 R^2 \end{equation*}

conseguentemente

(9) \begin{equation*} v^\prime = \sqrt{\dfrac{2}{m} \left(- \dfrac{3}{8} k R^2 + \dfrac{3}{8} m \omega^2 R^2\right)}, \end{equation*}

cioè

\[\boxcolorato{fisica}{v^\prime=\sqrt{\dfrac{3}{4m}R^2 \left( -k + \omega^2 m\right)}.}\]

   


Approfondimento.

Nel nostro esercizio la forza centrifuga è

(10) \begin{equation*} F_{\mbox{\tiny FC}} = m\omega^2 x^\prime, \end{equation*}

dove \omega è il modulo della velocità angolare e x^\prime è la posizione del corpo di massa m lungo l’asse x^\prime. Osserviamo che la forza centrifuga non dipende dal tempo perché \omega è costante, di conseguenza la forza centrifuga dipende solo dalla posizione x^\prime. Dato che la forza centrifuga dipende dalla sola posizione x^\prime è conservativa. Calcoliamo un pontenziale U_{FC} tale che

(11) \begin{equation*} -\dfrac{dU_{FC}}{dx^\prime}=F_{\mbox{\tiny FC}}=m\omega^2 x^\prime, \end{equation*}

da cui integrando ambo i membri la precedente equazione rispetto alla variabile x^\prime si ha

(12) \begin{equation*} U_{FC}=-\dfrac{1}{2}m\omega^2 x^{\prime 2}+\text{costante}. \end{equation*}

Dato che la forza centrifuga è conservativa è possibile calcolare (7) come di seguito

(13) \begin{equation*} L_{FC}=-\left(U_{FC}(R)-U_{FC}\left(\dfrac{R}{2}\right)\right)=-\left(-\dfrac{1}{2}m\omega^2R^2+\dfrac{1}{2}m\omega^2\,\dfrac{R^2}{4}\right)=\dfrac{3}{8}m\omega^2R^2. \end{equation*}

 

Scarica gli esercizi svolti

Ottieni il documento contenente 37 esercizi risolti, contenuti in 131 pagine ricche di dettagli, per migliorare la tua comprensione dei moti relativi in meccanica classica.

 
 

Esercizi di Meccanica classica

Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica Classica, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

Leggi..


 
 

Tutti gli esercizi di elettromagnetismo

Se si desidera proseguire con gli esercizi, di seguito è disponibile una vasta raccolta che copre interamente gli argomenti del programma di

  • Elettromagnetismo. Questa raccolta include spiegazioni dettagliate e gli esercizi sono organizzati in base al livello di difficoltà, offrendo un supporto completo per lo studio e la pratica.

    Leggi...

    Per chi intende verificare le proprie competenze, è stata predisposta una raccolta di esercizi misti di elettromagnetismo.


     
     

    Esercizi di Meccanica razionale

    Se siete interessati ad approfondire argomenti inerenti alla Meccanica razionale, di seguito troverete tutte le cartelle relative presenti sul sito Qui Si Risolve. Ciascuna cartella contiene numerosi esercizi con spiegazioni dettagliate, progettate per offrire una preparazione solida e una conoscenza approfondita della materia.

    Leggi...


     
     

    Ulteriori risorse didattiche per la fisica

    Leggi...

    • Physics Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla fisica. È un’ottima risorsa per discutere e risolvere problemi di fisica a tutti i livelli, dall’elementare all’avanzato.
    • ArXiv – ArXiv è un archivio di preprint per articoli di ricerca in fisica (e in altre discipline scientifiche). Gli articoli non sono peer-reviewed al momento della pubblicazione su ArXiv, ma rappresentano un’importante risorsa per rimanere aggiornati sugli sviluppi più recenti nella ricerca fisica.
    • Phys.org – Questo sito offre notizie e aggiornamenti su una vasta gamma di argomenti scientifici, con un focus particolare sulla fisica. È una risorsa utile per rimanere aggiornati sugli ultimi sviluppi nella ricerca e nelle scoperte fisiche.
    • Physics Forums – Una delle comunità online più grandi per la fisica e la scienza in generale. Offre discussioni su vari argomenti di fisica, aiuto con i compiti, e discussioni su articoli di ricerca.
    • The Feynman Lectures on Physics – Questo sito offre accesso gratuito alla famosa serie di lezioni di fisica di Richard Feynman, un’ottima risorsa per studenti di fisica di tutti i livelli.
    • American Physical Society (APS) – La APS è una delle organizzazioni più importanti per i fisici. Il sito offre accesso a pubblicazioni, conferenze, risorse educative e aggiornamenti sulle novità del mondo della fisica.
    • Institute of Physics (IOP) – L’IOP è un’importante organizzazione professionale per i fisici. Il sito offre risorse per l’apprendimento, accesso a riviste scientifiche, notizie e informazioni su eventi e conferenze nel mondo della fisica.
    • Physics World – Physics World è una rivista online che offre notizie, articoli, interviste e approfondimenti su vari argomenti di fisica. È una risorsa preziosa per chiunque sia interessato agli sviluppi contemporanei nella fisica.
    • Quanta Magazine (sezione Fisica) – Quanta Magazine è una pubblicazione online che copre notizie e articoli di approfondimento su matematica e scienze. La sezione fisica è particolarmente interessante per i contenuti di alta qualità e le spiegazioni approfondite.
    • Perimeter Institute – Il Perimeter Institute è un importante centro di ricerca in fisica teorica. Il sito offre accesso a conferenze, workshop e materiale educativo, ed è un’ottima risorsa per chi è interessato alla fisica teorica avanzata.

     
     






    Document