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Esercizio moti relativi 19

Moti relativi in Meccanica classica

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Esercizio sui moti relativi 19 è il diciannovesimo esercizio della raccolta esercizi dedicati ai moti relativi. Il successivo esercizio disponibile nella sequenza è Esercizio sui moti relativi 20, mentre il precedente è Esercizio sui moti relativi 18. L’argomento dei moti relativi precede lo studio degli esercizi svolti sul lavoro e sull’energia e prosegue con l’analisi degli esercizi svolti sui sistemi di punti materiali. Questo esercizio è rivolto agli studenti del corso di Fisica 1, risultando particolarmente utile per i percorsi di studio in ingegneria, fisica e matematica.

 

Testo dell’Esercizio sui moti relativi 19

Esercizio 19 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Una piattaforma ruota con velocità angolare \vec{\omega}_0 di modulo, direzione e verso costante, rispetto ad un’asse passante per il centro del disco e perpendicolare sul piano sul quale giace. Si assuma che il modulo della velocità sia \omega_0 = 10\, \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}. Si consideri un sistema di riferimento solidale alla piattaforma con origine nel centro (dove passa l’asse di rotazione) e un altro, con la stessa origine, solidale al suolo. Un dischetto è legato tramite un filo lungo \ell = \text{1,5} m all’origine e ruota anch’esso con velocità angolare \vec{\omega}_0; tra dischetto e piattaforma non c’è attrito. Si osserva che la tensione del filo vale T = 15 N. Con un freno la velocità angolare della piattaforma viene ridotta al valore \omega=2\, \text{rad}\cdot\text{s}^{-1} e mantenuta poi costante a questo valore. Calcolare:

  1. la velocità tangenziale del dischetto, vista dal sistema solidale con la piattaforma;
  2. l’accelerazione del dischetto, vista dal sistema solidale con la piattaforma;
  3. la massa del dischetto.

Si assuma il filo inestensibile e di massa trascurabile.

 

 

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Figura 1: Geometria del problema.

 

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Figura 2: Schema dei sistemi di rifermento Oxyz ed O^\prime x^\prime y^\prime z^\prime prima dell’azione del freno.

 

Richiami teorici.

La seconda legge della dinamica “modificata” per un sistema di riferimento non inerziale, afferma che dato un sistema di riferimento non inerziale e un punto materiale P, la somma fra la risultante di tutte le forze reali applicate a tale punto e la risultante delle forze apparenti uguaglia la massa del punto materiale per la sua accelerazione relativa rispetto al sistema di riferimento non inerziale. In formule:

(1) \begin{equation*} \vec{F}-m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}}=m\vec{a}^\prime. \end{equation*}

Nell’equazione (1):

  • \vec{F} è la risultante di tutte le forze reali applicate al punto materiale;
  • \vec{a}_{O^\prime} è l’accelerazione del sistema di riferimento non inerziale rispetto ad un sistema di riferimento inerziale;
  • \vec{a}_t=\vec{\alpha}\wedge\vec{r}^{\, \prime }=\dfrac{d\vec{\omega}}{dt}\wedge \vec{r}^{\, \prime }, dove \vec{\omega} la velocità angolare con il quale ruota il sistema di riferimento non inerziale rispetto al sistema di riferimento inerziale e \vec{r}^{\, \prime } il vettore posizione di m rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • -m\vec{a}_c è la forza centrifuga, dove \vec{a}_c=\vec{\omega}\wedge \left(\vec{\omega} \wedge \vec{r}^{\, \prime } \right);
  • -m\, \vec{a}_{\text{Coriolis}} è la forza di Coriolis, dove \vec{a}_{\text{Coriolis}}=2\vec{\omega}\wedge \vec{v}^{\, \prime }, essendo \vec{v}^{\, \prime } la velocità relativa del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale;
  • \vec{a}^{\,\prime} è l’accelerazione relativa di m nel sistema di riferimento non inerziale.

In particolare

(2) \begin{equation*} -m\vec{a}_{O^\prime}-m\vec{a}_c-m\vec{a}_t-m\vec{a}_{\text{Coriolis}} \, = \, \text{somma delle forze apparenti}. \end{equation*}

   


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