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Guida sui limiti in due variabili

Limiti in due variabili

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Benvenuti nella nostra guida al calcolo dei limiti in due variabili!
Il calcolo dei limiti di funzioni di due o più variabili può inizialmente risultare ostico in quanto lo spazio in cui si opera è molto più “ampio” della retta reale. Infatti, mentre se x_0 \in \mathbb{R} essenzialmente ci si può “avvicinare” a x_0 solo “da sinistra” o “da destra”, se invece (x_0,y_0) \in \mathbb{R}^2, è possibile immaginare numerosi “percorsi” su cui (x,y) possa avvicinarsi a tale punto. Ciò sicuramente pone maggiori difficoltà nel calcolo dei limiti.

In questo articolo offriamo al lettore alcune tecniche risolutive per superare questa difficoltà iniziale: vedremo che, se vogliamo dimostrare che un determinato limite non esiste, è sufficiente determinare due curve passanti per (x_0,y_0) lungo cui i limiti assunti dalla funzione in esame siano diversi. Invece, se desideriamo dimostrare che un limite esiste, occorre far leva su tecniche più “globali”, come disuguaglianze, sviluppi di Taylor, o le coordinate polari.

Ciascuna di queste tecniche è spiegata in generale e illustrata da numerosi esempi pratici, che mettono in luce i pregi e le debolezze di ciascuna di esse, così che il lettore possa formarsi un giudizio critico e la necessaria esperienza per capire quale strategia sia più conveniente utilizzare.

Oltre alla raccolta di Esercizi sui limiti in più variabili, segnaliamo il materiale di teoria sulle funzioni in più variabili e le seguenti raccolte di esercizi su argomenti correlati:

Buona lettura!

Sommario

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In questa breve guida ci prefiggiamo l’obiettivo di spiegare le principali tecniche per la risoluzioni dei limiti in due variabili. Per la teoria dei limiti in due variabili rimandiamo la lettura al seguente link, teoria funzioni di più variabili.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Daniele Fakhoury.

 
 

Brevi richiami di teoria

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La definizione di limite di funzione in due (o più) variabili è una semplice generalizzazione della definizione di limite di funzione in una sola variabile:

Definizione 1. Siano f: \Omega \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, (x_0, y_0) un punto di accumulazione per \Omega e, preso \delta>0, sia

\[B_\delta =\left\{(x,y)\in\Omega: \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 }< \delta\right\}.\]

con \delta >0a. Allora diremo che

\[\lim_{(x,y)\to (x_0, y_0)} f(x,y) = \ell \in \mathbb{R},\]

cioè che il limite di f per (x,y) che tende a (x_0,y_0) è \ell, se

\[\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta_\varepsilon>0 : \forall \,(x,y)\in B_{\delta_\varepsilon}\setminus\{(x_0,y_0)\},\,\,|f(x, y) - \ell | < \varepsilon.\]

   

  1. B_\delta è la palla di raggio \delta e centro (x_0,y_0). ↩

\[\quad\]

In altri termini, diciamo che il limite di f per (x,y) che tende a (x_0,y_0) è \ell se, fissato un intorno di \ell, riusciamo a trovare un intorno di (x_0,y_0) tale che tutti i punti di questo intorno abbiano immagine nell’intorno di \ell. Detto ancora più informalmente, se possiamo sempre trovare punti vicini a (x_0, y_0) che hanno immagine arbitrariamente vicina a \ell.

Esattamente come nel caso di funzioni di una variabile, la definizione di limite spesso non è sufficiente per risolvere agevolmente gli esercizi, per questo introduciamo alcune tecniche standard.

Se dobbiamo dimostrare che non esiste

\[\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y)\]

ci appoggiamo al teorema di unicità del limite su ogni restrizione del dominio, il quale afferma che se il limite esistesse, questo non dovrebbe dipendere dal modo in cui mi avvicino al punto (x_0,y_0), ma deve essere lo stesso per ogni restrizione del dominio della funzione.


 
 

Calcolo dei limiti in due variabili

Come dimostrare che un limite non esiste.

Teorema 1. Sia f: \Omega \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} e sia (x_0, y_0) un punto di accumulazione per \Omega, se valesse

\[\lim_{(x,y)\to (x_0, y_0)} f(x,y) = \ell\in \mathbb{R} \, \cup \, \{\pm \infty\}.\]

allora per ogni \Omega' \subset \Omega (il punto (x_0, y_0) è di accumulazione anche per \Omega') si deve avere

\[\lim_{(x,y)\to (x_0, y_0)} f_{|\Omega'}(x,y) = \ell\in \mathbb{R} \, \cup \, \{\pm \infty\}\]

dove per f_{|\Omega'}(x,y) si intende la restrizione di f su \Omega'.

\[\quad\]

Per dimostrare che il limite non esiste, è quindi sufficiente trovare due restrizioni del dominio su cui i limiti risultano diversi.

\[\quad\]

Esempio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

\[\lim_{(x,y)\to (0,0)} \; \dfrac{x^2 y}{x^4 + y^2}.\]

\[\quad\]

Svolgimento. Sia f:\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} \rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{x^2 y}{x^4 + y^2}. Cerchiamo due restrizioni del dominio per cui otteniamo due limiti diversi. La prima restrizione è la retta x = 0. Osserviamo che f(0,y)=\dfrac{0}{y^2}= 0, e quindi il limite tende a zero. Similmente, anche per la restrizione y = 0 restituisce lo stesso risultato. Restringiamo f sulla retta di equazione y = mx (m>0), ottenendo

\[f(x,mx)= \frac{x^2 (mx)}{x^4 + (mx)^2} = \frac{mx^3 }{x^4 + m^2x^2} = \frac{mx^3}{x^2(x^2 + m^2)} = \frac{mx}{(x^2 + m^2)},\]

da cui

\[\lim_{x\to 0}f(x,mx)=0,\quad \forall m \in\mathbb{R}.\]

Si osservi che quanto ottenuto ci porta solo a dedurre che il limite potrebbe tendere a zero. Spesso è utile provare tramite un’opportuna restrizione a rendere il grado del numeratore e del denominatore della funzione f uguali. A tal proposito proviamo la restrizione y = x^2, ottenendo

\[f(x,x^2)=\frac{x^2 x^2}{x^4 + x^4} = \frac{x^4 }{2 x^4} = \frac{1}{2}\neq 0,\]

da cui si conclude che il limite non esiste perché non risulta verificato il teorema di unicità del limite.

\[\quad\]

Esempio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare il seguente limite

(1) \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^{2} y^{5}}{x^6 + y^8}. \end{equation*}

\[\quad\]

Svolgimento. Sia f:\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\rightarrow \mathbb{R} tale che f(x,y)=\dfrac{x^{2} y^{5}}{x^6 + y^8}.

Proviamo le ovvie restrizioni y=0, x = 0 o la generica retta y=mx e osserviamo che (1) converge a 0. Proviamo ad uguagliare i gradi di x e y al denominatore con la sostituzione x^6 = y^8 o detto in altri termini x = y^{8/6} = y^{4/3} per y\geq 0 da cui ricaviamo x^2 = y ^{8/3}.

Sostituendo in f abbiamo

\[f(y^{8/6},y) = \frac{y^\frac{8}{3} \cdot{y^5}}{2 y^8} = y^{ \frac{8 + 15 -24}{3}} = \frac{1}{y^\frac{1}{3}}\]

e l’ultima quantità tende a +\infty quando y\rightarrow0^+, contraddicendo l’unicità del limite al variare delle restrizioni del dominio e dunque dimostrando che il limite non può esistere.

\[\quad\]

Esempio 3 (\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare, se esiste, il seguente limite:

(2) \begin{equation*} \lim_{(x,y)\to (0,0)} \;\dfrac{x^4+y^4}{x^2+y^2+2xy}. \end{equation*}

\[\quad\]

Svolgimento. Sia f:\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\,y\neq-x\}\rightarrow \mathbb{R} tale che

\[f(x,y)=\dfrac{x^4+y^4}{x^2+y^2+2xy}=\dfrac{x^4+y^4}{\left(y+x \right)^2}.\]

Proviamo la restrizione y=mx con m\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}, ottenendo

\[f(x,mx)=\tilde{f}(x)=\dfrac{x^4+m^4x^4}{x^2+m^2x^2+2x^2m}=\dfrac{x^4\left(1+m^4\right)}{x^2\left(m^2+2m+1\right)}=x^2 \; \dfrac{m^4+1}{\left(m+1\right)^2}\]

per cui (2) diventa

\[\lim_{x\rightarrow 0 }x^2 \dfrac{m^4+1}{\left(m+1\right)^2} = 0 \quad \forall m\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}.\]

Come seconda restrizione scegliamo una curva di equazione y=-x+x^\alpha\,\,\text{con}\,\,\alpha>1, ottenendo

\[f(x,-x+x^\alpha)=\dfrac{x^4+\left(-x+x^\alpha\right)^4}{\left(-x+x^\alpha+x\right)^4}=\dfrac{x^4+x^4\left(1-x^{\alpha-1}\right)^4}{x^{2\alpha}}=\dfrac{2x^4+o\left(x^4\right)}{x^{2\alpha}}=\dfrac{2}{x^{2\alpha-4}}\quad \text{per}\,\,x\rightarrow 0^+.\]

Per \alpha=2 il limite (2) diventa

\[\lim_{x \rightarrow 0^+}f(x,-x+x^{\frac{1}{2}})=\lim_{x \rightarrow 0^+}2=2.\]

Osserviamo ora che con due restrizioni differenti, il limite ci dà due risultati diversi e questa è una violazione del teorema di unicità del limite, pertanto concludiamo che (2) non esiste.


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