Forme indeterminate nelle successioni: esercizi svolti sui limiti

Forme indeterminate successioni

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Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi sulle forme indeterminate nei limiti di successioni. In questo articolo proponiamo 20 esercizi di varia difficoltà sul calcolo di limiti di successioni che presentino delle forme indeterminate. I problemi sono corredati di soluzione completa e offrono quindi una panoramica ampia delle principali tecniche risolutive, risultando così un ottimo banco di prova per la propria preparazione in vista dell’esame di Analisi Matematica 1.

Oltre alla risorsa completa sulla Teoria sulle Successioni, consigliamo le ulteriori raccolte di esercizi su questo argomento:

Buona lettura!

Sommario

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Questa dispensa raccoglie 20 esercizi sul calcolo dei limiti di successioni. Non include esercizi sui limiti notevoli. Gli esercizi proposti sono progettati per introdurre gradualmente lo studente al tema dei limiti, partendo da esempi di base fino a esercizi di livello intermedio. Ogni passaggio della risoluzione è dettagliatamente esplicitato, senza dare nulla per scontato. Gli ultimi due esercizi hanno un contenuto di natura teorica, offrendo un’opportunità per approfondire gli aspetti concettuali del tema.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Matteo Talluri.

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Se esiste, calcolare il seguente limite di successione:

$\lim_{n \to +\infty} \frac{3n^2 - 5n}{5n^2 + 2n - 6}.$

Svolgimento.

Per calcolare il limite

$\lim_{n \to +\infty} \dfrac{3n^2 - 5n}{5n^2 + 2n - 6},$

si divide numeratore e denominatore per $n^2$ , il termine di grado massimo. In questo modo, la successione diventa

$\dfrac{3 - \dfrac{5}{n}}{5 + \dfrac{2}{n} - \dfrac{6}{n^2}}.$

Poiché i termini $\dfrac{5}{n}$ , $\dfrac{2}{n}$ e $\dfrac{6}{n^2}$ tendono a zero per $n \to +\infty$ , il limite vale $\dfrac{3}{5}.$

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Se esiste, calcolare il seguente limite di successione:

$\lim_{n \to +\infty}\left( \frac{n(n+2)}{n+1} - \frac{n^3}{n^2+1}\right).$

Svolgimento.

Osserviamo che:

$\dfrac{n(n+2)}{n+1} - \dfrac{n^3}{n^2+1} = \dfrac{n(n+2)(n^2+1) - n^3(n+1)}{(n+1)(n^2+1)}.$

Calcoliamo

$n(n+2)(n^2+1) = n(n^3 + 2n^2 + n + 2) = n^4 + 2n^3 + n^2 + 2n,$

e

$n^3(n+1) = n^4 + n^3,$

da cui

$n^4 + 2n^3 + n^2 + 2n - (n^4 + n^3) = n^4 - n^4 + 2n^3 - n^3 + n^2 + 2n = n^3 + n^2 + 2n.$

La successione si riscrive come:

$\dfrac{n^3 + n^2 + 2n}{(n+1)(n^2+1)}.$

Per calcolare il limite, dividiamo numeratore e denominatore per $n^3$ (il termine di grado massimo):

$\dfrac{n^3 + n^2 + 2n}{(n+1)(n^2+1)} = \dfrac{1 + \dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{n^2}}{(1 + \dfrac{1}{n})(1 + \dfrac{1}{n^2})}.$

Passando al limite per $n \to +\infty$ , i termini $\dfrac{1}{n}$ , $\dfrac{2}{n^2}$ , e $\dfrac{1}{n^2}$ tendono a zero, quindi

$\lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{n(n+2)}{n+1} - \dfrac{n^3}{n^2+1} \right)=1.$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Se esiste, calcolare il seguente limite di successione:

$\lim_{n \to +\infty} \left( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \right).$

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