Criterio del rapporto per le successioni

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Il criterio del rapporto è un risultato fondamentale della teoria delle successioni a termini positivi. Esso infatti risponde alla seguente domanda:

Si può determinare il carattere di una successione studiando il rapporto tra i suoi termini consecutivi?

Il fatto se il rapporto $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ tra i termini consecutivi di una successione sia maggiore o minore di $1$ stabilisce se $a_n$ sia crescente o decrescente al variare dell’indice $n$ , oltre a fornire un’informazione quantitativa sul suo “tasso di crescita”. Portando tale informazione al limite per $n \to +\infty$ , si ottiene una condizione sufficiente affinché la successione sia infinitesima o diverga.

Il presente articolo offre una versione di questo criterio includendo una sua dimostrazione chiara, fornendo uno strumento fondamentale per interpretare il carattere di una successione, essenziale per gli sviluppi successivi dell’Analisi Matematica.

Oltre agli esercizi misti sulle successioni, consigliamo la lettura dei seguenti articoli sulla teoria delle successioni:

Criterio del rapporto per le successioni. Sia ${\{a_n\}}_{n\in\mathbb{N}}$ una successione tale che $a_n>0$ definitivamente. Se esiste

(1) $\begin{equation*} \lim_{n \rightarrow +\infty }\dfrac{a_{n+1 }}{a_n}=L, \end{equation*}$

abbiamo tre casi possibili:

$L \in \left[0,1\right)$ . In questo caso ${\{a_n\}}_{n\in\mathbb{N}}$ è una successione definitivamente monotona decrescente e $\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty }a_n=0$ .
$L=1$ . In questo caso non possiamo dire nulla sul comportamento della successione ${\{a_n\}}_{n\in\mathbb{N}}$ .
$L\in \left(1,+\infty\right]$ . In questo caso ${\{a_n\}}_{n\in\mathbb{N}}$ è una successione definitivamente monotona crescente e $\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty }a_n=+\infty$ .

$\,\,$

Dimostrazione.

Caso $\bm{L\in[0,1)}.$
Dall’ipotesi (1) e per definizione di limite abbiamo

$\forall \varepsilon >0, \; \exists\, N_{\varepsilon}>0 : \; n >N_{\varepsilon} \Rightarrow \left| \dfrac{a_{n+1 }}{a_n}-L\right| <\varepsilon,$

da cui ricaviamo in particolare

$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}<L+\varepsilon \quad \text{per}\,\, n>N_\varepsilon.$

Nel caso in cui $0\le L < 1$ , possiamo scegliere ad esempio $\varepsilon_0= \dfrac{1-L}{2}$ avendo così, per $n>N_{\varepsilon_0}$ , quanto segue

$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}<L+\varepsilon_0<1 \quad \Leftrightarrow \quad a_{n+1}<(L+\varepsilon_0)a_n<a_n.$

Quindi $a_n$ è definitivamente monotona decrescente. Inoltre, detto $M=L+\varepsilon_0<1$ , si ha

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