Algebra delle matrici 5 – esercizi misti

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In questo articolo presentiamo 5 esercizi di carattere generale sulle matrici: operazioni, determinante, rango. L’articolo si propone quindi come un banco di prova di esercizi sulle matrici per chi ha una preparazione solida su tali argomenti, che può ottenere dallo svolgimento delle seguenti raccolte:

Segnaliamo inoltre le raccolte successive Algebra delle matrici 6 – determinante e matrici inverse oltre a Algebra delle matrici 7 – determinante, orlati e regola di Cramer per altri esercizi sulle matrici.

Esercizi matrici: autori e revisori

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Autore: Jacopo Garofali

Revisori: Valerio Brunetti, Daniele Volpe

Testi degli esercizi misti sull’algebra delle matrici

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sia

$A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}.$

Verificare che $A^2=3A$ e usare quest’uguaglianza per trovare una matrice $B \neq 0, \operatorname{Id}$ tale che $B^2=B$ .

Svolgimento.

Verifichiamo tramite un calcolo esplicito che $A^2=3A$ :

$A^2=\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 6 & -3 & -3 \\ -3 & 6 & -3 \\ -3 & -3 & 6 \end{pmatrix}=3A.$

Cerchiamo una matrice $B$ che soddisfi la proprietà richiesra fra quelle proporzionali ad $A$ , ovvero tali che $B=kA$ con $k\neq 0$ . Si ha

$B^2=k^2A^2=3k^2A=3k(kA)=3kB.$

Tale identità è soddisfatta se e solo se $k=1/3$ .

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ Siano

$A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \quad \mathbbm{1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

e infine

$M=\begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & 0 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Dimostrare per induzione che $A^k= \operatorname{Id}+ (2^{k}-1)B$ , $\forall \;k \geq 1$ ;
Usare il punto precedente per calcolare $A^4$ ;
Calcolare $M^{2022}$ .

Svolgimento punto 1.

Il passo base è ovvio perché dalla definizione stessa di $A$ , ponendo $k=1$ , troviamo $A=\operatorname{Id}+B$ . Supponiamo vera la tesi per $k$ generico e calcoliamo

$A^{k+1}=A A^k=A(\operatorname{Id}+ (2^{k}-1)B)=A+(2^{k}-1)AB.$

Osservando che $AB=2B$ possiamo riscrivere il risultato come segue

$A^{k+1}=\operatorname{Id}+B+(2^{k}-1)2B=\operatorname{Id}+(2^{k+1}-1)B.$

Svolgimento punto 2.

Dal risultato ottenuto al punto precedente segue quindi

$A^4=\operatorname{Id}+15B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 15&15&0\\0&0&0\\0&0&15 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 16 & 15 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 16 \end{pmatrix}.$

Svolgimento punto 3.

Si osservi che $M$ è un proiettore:

$M^2=\begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & 0 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & 0 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & 0 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=M.$

Dunque $M^k=M$ per ogni $k\in\mathbb{N}$ . In particolare:

$M^{2022}=M.$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ Sia

$Z(\theta)=\begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}.$

Dimostrare che $Z(\theta)Z(\theta')=Z(\theta+\theta')$ $\forall\; \theta,\theta' \in \mathbb{R}$ .
Utilizzare il punto precedente per dimostrare che $Z^{-1}(\theta)=Z^T(\theta)=Z(-\theta)$ e che $Z^n(\theta)=Z(n\theta)$ $\forall\; n \in \mathbb{Z}$ .